Was ist der Logarithmus eines Kilometers? Ist es eine dimensionslose Zahl?

Ja, Logarithmen ergeben immer dimensionslose Zahlen, aber nein, es ist nicht physikalisch, den Logarithmus von irgendetwas mit Einheiten zu nehmen.

Stattdessen gibt es immer eine Standardeinheit. Für Ihr Beispiel ist der Standard der Kilometer. Dann werden 20 km, unter der Baumstammwandlung, gemacht$\ln(20\;\textrm{km}\;/\;\textrm{km}\;)$. Ebenso ist der Baumstamm von 10 cm, mit dieser Skala

Hier ist eine "mathematische", aber höchst unphysikalische Antwort.

Verwenden Sie das$km\cdot km = (km)^2$usw. können wir die Arithmetik von Zahlen mit Einheiten über eine abgestufte Algebra formal definieren $A = \oplus_{k\in \mathbb{N}} V_k$wo$V_k = \otimes^k V$wo$V$wird als eindimensionaler reeller Vektorraum behandelt ($V_0$ist der Skalar$\mathbb{R}$). Die Wahl der Einheit ist die Wahl eines Basisvektors in$V$.$V_0$sind die reinen Skalare. Also für jede Wahl eines Basisvektors$v \in V$, erhalten wir eine Abbildung aus der unendlichen Folge$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to A$Realisierung dieser Sequenz über$(r_k) \to [r_k]_v = \sum r_k (\otimes^k v)$. Wir definieren Multiplikation$V_k\times V_{k'} \to V_{k+k'}$wie gewöhnlich.

(Wir werden die negativen Potenzeinheiten vorerst nicht definieren. Aber sie können wahrscheinlich analog eingebaut werden.)

Dann können wir formal definieren$\exp: A \to A$durch Potenzreihenentwicklung

wo$a^k$ist im Sinne der abgestuften Algebra definiert. Und dort haben wir definiert, was es bedeutet$\exp$von etwas mit Einheiten. Basiswechsel von$\exp$wird abgewickelt von$y^a = \exp (\ln(y)\cdot a)$. Und in ähnlicher Weise wird die Änderung der Einheiten natürlich einbezogen, indem die Tatsache verwendet wird, dass eine Änderung der Basis in einem eindimensionalen realen Vektorraum nur eine Multiplikation mit Skalaren ist. Mit anderen Worten, wir haben$[r_k]_v = [r'_k]_{v'}$wo$r_k = s^kr'_k$Wenn$v = s v'$.

Damit können wir die Potenzreihenentwicklung formal umkehren, um was zu finden$\ln$"sollte sein. Repariere eine Einheit$v$. Nehmen$(r_k) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$und bedenke$[r_k]_v \in A$. Finden$\ln [r_k]_v$wir müssen finden$(s_k)\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$so dass

(Wir können auch die Taylorentwicklung von verwenden$\ln$um$1\in\mathbb{R}$um den Ausdruck zu erhalten$(s_k)$bezüglich$(r_k)$.)

Leider auch in diesem Rahmen$\ln 1 km$ist immer noch nicht genau definiert: im Bild von$\exp$,$r_0$ist unbedingt positiv. Formal ist es möglich, zu definieren$\ln (1 km) = \ln (1 + (1 km - 1))$als die ziemlich divergente Potenzreihe

Jetzt etwas Spaß mit divergenten Serien: Beachten Sie das$\sum 1 = \sum (-1)^k(-1)^k = \sum (-1)^kx^k |_{-1}$ist die Taylor-Reihenentwicklung von$1/x$um$x_0 = 1$bewertet bei$-1$, also ist der zweite Term nominell$\lim_{x\to 0+} 1/x$. Auch wenn wir also regularisieren:

ist noch stark divergierend.

(Beachten Sie jedoch, dass$\ln (1 + 1km) = \sum (-1)^{j+1}/j (km)^j$ist wohl als formale Potenzreihe definiert.)

Was war also der Sinn dieses Beitrags? Dieser Beitrag richtet sich in erster Linie an den Schluss, dass$\log m$ist eine "dimensionslose Zahl", wie in der Aussage der Frage angegeben. Während uns in der üblichen Arithmetik beigebracht wird, dass wir keine Äpfel zu Birnen addieren können, ist dies nur der Fall, wenn wir den Standpunkt einnehmen, dass wir versuchen, ein Objekt in der zu addieren$\mathbb{Z}$-Modul von Äpfeln zu einem separaten Objekt in der$\mathbb{Z}$-Modul von Orangen. Wenn Sie bereit sind, im Direktsummenmodul von Äpfeln zu arbeiten$\oplus$Orangen, Sie können tatsächlich Äpfel zu Orangen hinzufügen.

Nun, implizit, indem ich das behaupte$\log$macht Sinn für Objekte mit Einheiten, (und ähnlich das$\exp$für Objekte von Einheiten sinnvoll), ist es notwendig, dass wir bereits in einem System arbeiten, dem der Graduierten$\mathbb{R}$-Algebra, bei der Sie einen Skalar (ein Objekt ohne Einheiten) zu einem Vektor (einige Objekte mit Einheiten) hinzufügen können. Also in der Behauptung, dass Sie Sinn machen wollen$\log km$, das kannst du daraus nicht schließen$3$und$\log m$müssen die gleichen Einheiten haben.

Das ist eine lustige Frage. Es fällt mir schwer, die Transformation gut in den Griff zu bekommen$ln$also werde ich die Dinge in Form von Exponenten schreiben.

Die Nummer$e$ist natürlich einheitenlos. Wenn ich eine Zahl potenziere, was sind die zulässigen Einheiten der Potenz? Wenn ich schreibe$x^2$, Ich habe eine intuitive Annahme, dass$2$hat keine Einheiten, weil es nur eine Zählung ist, die verwendet wird, um auszudrücken$x \times x = x^2$.

Daher habe ich mich von Carls Antwort überzeugt und würde einen Logarithmus benötigen, um eine sinnvolle Referenz zu haben. Zum Beispiel:

Die vorherige Alternative von$e$Potenziert mit einer physikalischen Größe mit realen Einheiten, scheint das perfekte Beispiel für etwas Unsinniges zu sein.

Log-Plots

Ich habe eine andere Frage, die sich aus Ihrer Frage ergibt, und ich werde versuchen, sie hier zu beantworten. Ich erinnere mich besonders, dass ich im Ingenieurunterricht die Ableitung von Log-Log- und Linear-Log-Plots genommen habe. Wir hatten einige Gründe dafür, aber es scheint oberflächlich betrachtet unsinnig zu sein, also lassen Sie uns eintauchen. Hier ist ein Beispiel für ein Log-Log-Diagramm. Ich zeige den Graphen und biete dann eine Gleichung der Linie an, die dargestellt wird.

^{Bildquelle: Wikipedia}

Ich fange an, Dinge von Grund auf zu schreiben$y=mx+b$Form, dann ändern Sie die Dinge nach Bedarf. Da ich eine beliebige Konstante verwende, werde ich sie bei Bedarf verfälschen.

Wie von Zauberhand kommt eine erkennbare Form zum Vorschein. Das Beobachten einer linearen Beziehung in einem logarithmischen Diagramm bedeutet wirklich, dass Sie eine Leistungsanpassung beobachten, keine lineare Anpassung. Ein Schüler kann immer noch fragen "aber was sind a und b", was etwas schwieriger ist. Erstens habe ich keine Manipulation von$a$, also können Sie die Bedeutung direkt aus der endgültigen Form entnehmen, das heißt, es ist ein Exponent und daher einheitslos. Für b:

Dies zeigt, dass$b$ist auch einheitenlos, aber es gibt auch eine Interpretation dazu$p_0$, das ist der Referenz-y-Wert bei einem Referenz-x-Wert ($m_0$). Ich gehe zu einem linear-logarithmischen Diagramm oder einer halblogarithmischen Skala über.

^{Bildquelle: J.Exp. Med. 103 , 653 (1956).}

Ich werde bezeichnen$f$für "überlebende Fraktion" und$d$für Dosis. Die Gleichung für eine Regression, die im obigen Diagramm linear erscheint, lautet wie folgt.

Das ist hier wichtig zu beachten$b$hatte die ganze Zeit zweifelhafte Einheiten, genau wie im Log-Log-Fall, aber es spielt keine Rolle, weil sich aus der Mathematik natürlich eine nützlichere Form ergibt. Der Wert$f_0$würde der Ausgangswert (in diesem Fall 100 %) betragen$d=0$.

Zusammenfassung: Die Annahme einer linearen Beziehung in logarithmischen Diagrammen setzt wirklich voraus, dass die tatsächliche Beziehung einer nichtlinearen Form folgt, und die Einheiten funktionieren, sobald Sie die Mathematik durchgeführt haben, aber die Interpretation der Werte kann nicht trivial sein.

Am besten stellt man sich das so vor, dass eine Zahl wie 1 km aus einer dimensionslosen 1 multipliziert mit der Einheit km besteht. Wenn Sie den Log eines Produkts nehmen, erhalten Sie die Summe der Logs, also ist log(1 km) dasselbe wie log(1)+log(km). Dies zeigt, dass der Log von 1 km weder eine dimensionslose noch eine dimensionsbehaftete Größe ist. Wenn es dimensionslos wäre, dann wäre es ohne Bezugnahme auf irgendein Einheitensystem ausdrückbar. Wenn es dimensional wäre, würde es sich durch Multiplikation ändern, wenn das Einheitensystem geändert wird. Es ist keines dieser Dinge.

Es ist etwas, das weder eine physikalische Größe noch eine dimensionslose Zahl ist, sondern etwas, das einfach als Logarithmus einer physikalischen Größe beschrieben werden kann . Es gibt kein großes Problem damit: let$\mathcal{P}$sei der Raum physikalischer Größen. Wir können diesen Raum vektorraumartig durch basisphysikalische Einheiten (z. B. SI) aufspannen, wie von Willie Wong beschrieben. Wichtig: Wir wissen, dass wir bestimmte Operationen in diesem Raum nicht durchführen können, zum Beispiel können wir einem elektrischen Strom keine Masse hinzufügen. Addition von Mengen$a,b\in\mathcal{P}$ist nur definiert, wenn$a$und$b$haben die gleiche Dimension, das heißt, wenn$\exists x\in\mathbb{R}$so dass$a=xb$. Die Multiplikation ist immer definiert und ergibt immer wieder eine physikalische Größe. (Dies definiert auch Potenzen physikalischer Größen, aber nicht, was beispielsweise die Exponentialfunktion einer von ihnen ist.)
Das wissen wir dann$\mathbb{R}\subset\mathcal{P}$, da für, sagen wir, zwei Längen$a,b\in\mathcal{P}$das Verhältnis$\tfrac{a}b$wird eine dimensionslose Zahl sein. Für diese dimensionslosen Größen ist der Logarithmus von vornherein definiert.

Es ist ganz einfach, dies auf einen vollen Raum zu erweitern$\ln\!\!\mathcal{P}\supset\mathbb{R}$: zum$a\in\mathbb{R}\subset\mathcal{P}$, der Logarithmus wird wie üblich definiert. Zum$a\not\in\mathbb{R}$, definieren wir den Logarithmus axiomatisch: zuerst verlangen wir$\ln\!\!\mathcal{P}$um eine abelsche Gruppe WRT-Addition zu sein, sogar einen Vektorraum darüber$\mathbb{R}$. Dann für$\lambda\in\mathbb{R}$,

Um auf Ihre Frage zurückzukommen: Was ist der Logarithmus eines Kilometers? Die Antwort:$\ln(1\:\mathrm{km})=\ln(\mathrm{km})$. Wenn Sie Kilometer als Basislängeneinheit behandeln, dann ist dies alles, was Sie brauchen. Wenn Sie Meter oder Zoll oder was auch immer bevorzugen, bekommen Sie einfach

Am nächsten an "logarithmischen Einheiten" sind Dezibel , die das 10-fache des Logarithmus zur Basis 10 eines Verhältnisses sind. Um eine beliebige physikalische Größe in eine Dezibel-ähnliche Einheit zu bringen, müssen Sie zuerst durch eine Referenzgröße dividieren. Beispielsweise ist die Einheit „Dezibel“ für die Leistung „dBm“, das ist das Verhältnis der betreffenden Leistung zu 1 mW, ausgedrückt in dB:

Für eine alternative Sicht auf die potentielle "Dimensionslosigkeit" der Logarithmusfunktion, bezogen auf ihre Beziehung zu Integralen und Ableitungen von Potenzfunktionen und ihre Nähe zu den$0$-th-Potenz-Funktion. Wenn man ein Primitiv von berechnet$t^p$:

Jedes Mal gewinnt man eine andere Dimension (oder eine Kraft für die jeweilige Einheit). Wenn Sie differenzieren, verlieren Sie Dimensionen bis zum Grad$0$für positive Kräfte. Für negative Kräfte geht dies zurück auf$-\infty$: zum$p \neq 0$,

Es geht definitiv etwas um die nullte Potenz herum.

Es ist üblich, eine nullte Potenz eines Nicht-Null-Skalars einzustellen$\alpha$zu$1$($\alpha^0=1$). Wenn Sie jetzt eine Nicht-Null korrigieren$t$, der Variationskoeffizient für eine reelle Zahl$p$-Strom in der Nähe$0$geht so:

Eine Konstante ist gewissermaßen ein Grenzverhalten des Logarithmus oder umgekehrt. Daher sollte der Logarithmus irgendwie einheitenlos sein.

Ähnliche Konzepte gibt es in der statistischen experimentellen Datenanalyse. Wenn Sie versuchen, eine Beziehung zwischen Variablen zu finden$y$und$t$, und keine lineare finden können, versuchen einige, mindestens eine Variable mit einer Potenzfunktion zu modifizieren. J. Tukey ("Erfinder" des Boxplots und der FFT) schlug die Transformationsleiter oder Machtleiter vor, indem er sie ansah$y = a+ bt^{p}$. Eine zufriedenstellendere Lösung liegt in der Box-Cox-Transformation: if$\hat{t}$bezeichnet das geometrische Mittel von$t$, und$\alpha$etwas Verschiebung, dann:

Mit einem Wort, die$0$-te Potenz einer Konstanten ist$1$, das$0$-te Potenz einer Variablen ist seine$\log$. Irgendwie.

Verweise:

• JW Tukey, Explorative Datenanalyse. Addison-Wesley, 1977.
• GEP Box und DR Cox, An analysis of transformations , Zeitschrift der Royal Statistical Society. Serie B, 1964.
• Verwandte bei Stackexchange: Moderner Nachfolger von Exploratory Data Analysis von Tukey?

Die logarithmische Funktion wird leicht zur Transformation von einer Skala in eine andere verwendet. Tatsächlich ist eine Skala/Einheit eine Messung und daher dimensionslos, aber um sie im physikalischen Sinne zu interpretieren, verwenden wir eine Einheit relativ zu einem absoluten Standard, damit der Wert sinnvoll und reproduzierbar ist. Damit ist deine Frage beantwortet. Log (x) ist einheitenlos, da alle durchgeführten mathematischen Operationen an sich einheitenlos sind. Zum besseren Verständnis möchte ich ein imaginäres Beispiel geben: "Wenn ich mit meinem Freund laufen gehe, ist die Entfernung zwischen uns proportional zur Geschwindigkeit, die mein Freund läuft at" In diesem Beispiel sind die Einheiten auf beiden Seiten der Gleichheit völlig willkürlich, je nach Formulierung der Situation könnte es durchaus dimensionslos sein – m/s oder sagen wir Wetter dann Celsius – m/s !

Hoffe das hilft.

Irgendwie verwirren Einheiten in der Physik die Leute immer wieder. Eine einfache Möglichkeit, aus dieser Verwirrung herauszukommen, besteht darin, zu erkennen, dass die Übersetzung von Physik in Mathematik erfordert, das Problem in ein Problem zu fassen, das sich nur mit reinen (sogenannten dimensionslosen) Zahlen befasst.

Das kann unkompliziert sein. Stellen Sie sich ein einfaches Pendel vor. Ableitung der Zeitdauer für das Schwingen des Bobs$t_{swing}$erfordert, dass wir das Problem in mathematische Form gießen. Das zwingt uns, nicht mit dem Zeitraum selbst zu arbeiten, sondern mit einer dimensionslosen Größe wie dem Verhältnis zwischen$t_{swing}$und ein andermal$t_0$. Als Ergebnis können wir Gleichungen wie ableiten

Bei der Analyse für kleine Schwenkwinkel folgt daraus$f(..) = 2\pi$.

In einigen anderen Fällen reicht die Anzahl der im Problem verfügbaren Parameter nicht aus, um die Gleichung dimensionslos zu machen. In solchen Fällen greifen Physiker auf generische physikalische Größen zurück, die Einheiten genannt werden. Ihr einziger Zweck ist es, alle Parameter in den mathematischen Gleichungen dimensionslos (reine Zahlen) zu machen.

Physiker verstoßen oft gegen die Regel, die dimensionslose Mathematik vorschreibt. Sie werden also Gleichungen wie sehen

Genau genommen ist das falsch. Die Leute neigen jedoch dazu, dies als Abkürzung für zu interpretieren

(oder mit einer beliebigen anderen Längeneinheit im Nenner). Damit wird die Gleichung wieder dimensionslos. Ich würde behaupten, dass das, was wirklich gemeint ist, jedoch ist

Auch Gleichungen wie

streng genommen wenig Sinn. Auch hier könnten die Leute diesen Unsinn in etwas Sinnvolles verwandeln, indem sie ihn als Kurzform für interpretieren

Was aber wirklich gemeint ist

Unter dem Strich macht es keinen Sinn, eine nackte Länge zu haben$x$oder eine bloße Länge$r$in den Gleichungen. Es macht auch keinen Sinn, ein Bare zu haben$1m$da drin. Es macht jedoch Sinn, einen Parameter zu haben$\frac{r}{1 m}$oder$\frac{x}{r}$. Dies ist immer der Fall, aber es wird deutlicher, wenn die betreffende Funktion beispielsweise die Form eines Logarithmus annimmt.

Mein zwei Cent ist, dass dies eine klassische Verwechslung von Metaebenen ist.

Ein Kilometer ist ein Maß auf dem Erdboden. Wenn wir eine Karte erstellen, eine Metaebene zum eigentlichen Maß, beträgt die Länge auf der Karte vielleicht 1 cm pro zehn Kilometer, und wir nehmen das locker hin, ohne uns zu fragen, wie das möglich ist. Es ist möglich, weil wir ganz klar das Konzept haben, dass die Karte eine Metaebene ist.

Angenommen, wir erstellen die Karte in einem logarithmischen Maßstab (es gibt lustige Karten des Globus, die von Funktionen abhängen). Dies würde bedeuten, dass das, was auf dieser Karte als Kilometer markiert wäre, logarithmisch größer wird, wenn die realen (Nicht-Meta-)Daten in Kilometern zunehmen. Der Grund, warum man Metaebenen für Größen verwendet, die Einheiten haben, ist der Einfachheit halber, die Projektion des Globus auf eine Ebene ist praktisch für das, was wir tun möchten, obwohl es die relative Größe des Kilometers auf der Karte verzerrt, die unsere "Intuition" konstant halten möchte .

Wenn wir uns mit Exponenten und Logarithmen in physikalischen Gleichungen beschäftigen, achten wir sehr darauf, dort dimensionslose Zahlen zu haben. Es ist eigentlich eines der Werkzeuge, Ausgleichseinheiten. Betrachten Sie als Beispiel die Boltzmann-Verteilung .

Erstens ist die Frage etwas schlecht gestellt. In einem Log-Plot zum Beispiel sind die Mengen (log X) km, nicht log(X km). Wir müssen die Frage weiter definieren: Was bedeutet es, „einen Logarithmus zu nehmen“? Der Logarithmus oder eine solche Funktion ist so definiert, dass er eine reelle oder komplexe Zahl nimmt und basierend auf einer bestimmten Regel eine neue Zahl ergibt. Ihm etwas anderes als eine Zahl zu geben, ist ein bisschen so, als würde man fragen: „Wie viel wiegt die Zahl Drei?“; es macht keinen Sinn, weil die Funktion, die das Gewicht eines Objekts angibt, keine Zahlen akzeptiert.

(Betrachten Sie physikalische Gleichungen, die physikalische Größen als Argumente von Logarithmen, trigonometrischen Funktionen oder als Exponenten beinhalten. Die Erfahrung lehrt uns, dass in Gleichungen, die aus der Natur stammen, die Einheiten von Größen innerhalb von Exponenten und Funktionen immer kombiniert werden, um eine dimensionslose Zahl zu ergeben. Jeder sinnvolle Ausdruck muss aus physikalischem Denken kommen, also müssten Sie zu dieser Frage auch aus physikalischem Denken kommen..)

Wie Ben Cromwell in seinem Kommentar feststellte , bin ich sicher, dass es Möglichkeiten gibt, Einheiten in der Mathematik darzustellen.