Warum hat die Coulomb-Konstante Einheiten?

Als die elektrostatische Kraft ursprünglich untersucht wurde, waren Kraft, Masse, Entfernung und Zeit alle ziemlich gut bekannt, aber die elektrostatische Kraft und elektrische Ladung waren neu und exotisch. Im cgs-System wurde die Ladung in Bezug auf die resultierende elektrostatische Kraft definiert (es wird als Franklin (Fr) eine "elektrostatische Einheit" (esu oder) manchmal als statCoulomb (statC) bezeichnet).

In diesem System drücken wir die Kraft auf ein geladenes Teilchen durch ein anderes aus als$F_E=\frac{q_1 q_2}{r^2}$Dabei ist die Einheit der Ladung das ESU, die Einheit der Kraft das Dyn und die Einheit der Entfernung der Zentimeter. Im MKS-System (jetzt SI genannt) würden wir schreiben$F_E = k_e\frac{q_1 q_2}{r^2}$Dabei ist die Einheit der Ladung das Coulomb, die Einheit der Kraft das Newton und die Einheit der Entfernung das Meter. Es scheint, dass, wenn die Dinge dann gleichwertig sind$k_e$ist zwar nur ein umrechnungsfaktor, aber die dinger sind definitiv nicht äquivalent.

Ein wenig Geschichte ist an dieser Stelle wahrscheinlich nützlich. 1873, als das cgs-System erstmals standardisiert wurde, machte es endlich eine klare Unterscheidung zwischen Masse und Kraft . Davor war es üblich, beides in derselben Einheit auszudrücken, wie z. B. dem Pfund. Also, wenn Sie darüber nachdenken, sagen die Leute immer noch Dinge wie "Ich wiege 72 kg" anstatt "Ich wiege 705 N hier auf der Erdoberfläche" und sie sagen es auch$1 \mathrm { kg} = 2.2\mathrm{ lb}$verwirrende Masse und Gewicht (die imperiale Masseneinheit von cgs ist eigentlich die Schnecke).

Das ist wichtig, weil es eine direkte Analogie zur Frage der Gebühreneinheiten und zu Ihrer Frage nach den Gebühreneinheiten gibt$k_e$. Der Franklin ist definiert als "diejenige Ladung, die auf eine gleiche Ladung in einem Abstand von einem Zentimeter im Vakuum eine Kraft von einem Dyn ausübt." Der Wert von$k_e$wird mit 1 angenommen und ist im cgs-System dimensionslos.

In cgs hat die Ladungseinheit also bereits implizit diesen Wert von$k_e$eingebaut. In den SI-Einheiten begannen sie jedoch mit Ampere und leiteten daraus Coulombs ab ($C=It$). Die resultierenden Einheiten von$k_e$sind ein Ergebnis dieser Wahl.

Obwohl das physikalische Phänomen dasselbe ist, ist es die Wahl der Einheiten , die beides ergibt$k_e$Dimension oder nicht.

In diesem Dokument finden Sie vielleicht ein wenig mehr Details darüber, wie dies in der Praxis funktioniert.

Einheitensysteme sind in gewissem Sinne flexibel und optional.

Die Beziehung

$$\text{Electrostatic force twixt two point-like charges} \propto \frac{(\text{one charge})\times (\text{the other charge})}{(\text{distance between them})^2} \tag{1}$$

ist eine experimentelle Tatsache.

In SI haben wir Einheiten für Kraft, Entfernung und Ladung, so dass (1) dimensionsmäßig nicht mit einer dimensionslosen Proportionalitätskonstante übereinstimmt. So,$k$muss Abmessungen von haben$\frac{\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2}$sowie einen numerischen Wert haben.

Aber wir könnten es auch anders machen. Betrachten Sie das "Statcoulomb" . In Gaußschen Einheiten ist die Ladungseinheit so definiert, dass das Coulombsche Gesetz eine dimensionslose Einheitskonstante der Proportionalität hat.

$$F = \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \,.$$ Dies ist eine vollkommen gültige Art, Physik zu betreiben. Im Wesentlichen haben wir gefaltet $\sqrt{k}$in den Zahlenwert jeder der Gebühren:

$$(\text{charge})(in\; \text{Statcoulombs}) \sim \sqrt{k} \, (\text{same charge})(in\; \text{Coulombs}) \,,$$

oder

$$\sqrt{k} \,\text{Statcoulombs} \sim 1 \,\text{Coulombs} \,.$$

Das macht ein Statcoulomb zu einer ziemlich lustigen Einheit, wenn es in SI-Begriffen ausgedrückt wird, aber dann ist das Coulomb eine ziemlich seltsame Einheit, ausgedrückt in guassischen Begriffen. Jedes System sollte in seinem eigenen Kontext verstanden werden.

Es wurden viele Worte darüber verschüttet, dass eine Gruppe von Einheiten besser ist als eine andere oder umgekehrt.

In meiner Branche (Teilchenphysik) ist es üblich, in Einheiten zu arbeiten, in denen$c = \hbar = 1 \,(\text{dimensionless})\;.$Dies gibt Energie, Masse und Impuls die gleichen Einheiten (eigentlich umgekehrte Entfernung) und verliert viele der Kontrollen, die jungen Physikern helfen, den Unterschied zwischen diesen Größen zu verfolgen, hält aber das Kritzeln unten und vereinfacht die Form vieler Gleichungen. (Kosmologen fügen übrigens oft hinzu$G = 1\,(\text{dimensionless})$zur Mischung.

Die Moral der Geschichte lautet: „Legen Sie nicht zu viel Bedeutung in die Einheiten von „Konstanten“, denn sie hängen von dem von Ihnen gewählten Einheitensystem ab.“

Kraft ist eine Vektorgröße, die mathematisch als Änderungsrate des Impulses definiert ist
$\vec F = \dfrac{d\vec p}{dt} \tag{1}$Wo$\vec p= m\vec v$in der klassischen Mechanik.
Die Einheit der Kraft in Si ist "Newton". Ein "Newton" ist die Kraft, die erforderlich ist, um ein Kilogramm Masse mit einer Geschwindigkeit von einem Meter pro Quadratsekunde zu beschleunigen. Sie könnten Ihre eigenen Einheiten erstellen, indem Sie sagen: Ich definiere ein Newton als die Kraft, die erforderlich ist, um 2 kg Masse durch 1 m / s ^ 2 zu beschleunigen, dann müssen Sie Gleichung 1 ändern als$\vec F=\dfrac{1}{2}m \vec a$Im Allgemeinen kann Newtons zweites Gesetz angegeben werden als$\vec F=k \ m\vec a$Wo$k$hängt von den Maßeinheiten ab. Man könnte auch sagen$\vec F \propto d\vec p/dt$Und$k$erscheint als Proportionalitätskonstante. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass '$k$' ist eine dimensionslose Konstante.
Unser Einheitensystem sei der Einfachheit halber SI und Gl. 1 sei gültig. Lassen Sie uns die Kraft mit einer Federwaage
messen. Die Feder gehorcht dem Hookeschen Gesetz, das besagt, dass die Größe der aufgebrachten Kraft direkt proportional zur Auslenkung der Feder ist$F=k X$Wo$x$ist die Verschiebung und$k$ist die Proportionalitätskonstante. Diesmal$k$ist nicht dimensionslos, warum ist es so? Das liegt daran, dass Kraft nicht in Metern, sondern in Newton gemessen wird. Angenommen, die Feder ist so hergestellt, dass eine Verschiebung von einem Meter dann einem Newton Kraft entspricht$k$werde haben$1$Größe. Wäre es angebracht zu definieren, um ein Newton = einen Meter zu definieren, um es so zu machen$k$dimensionslos? NEIN! Dadurch werden alle anderen Gleichungen mit '$F$'maßlich falsch zB$F=kma$hier muss k eine Dimensionskonstante sein.
Ähnlich, wenn Sie "ein Newton =$1 \text{Newton} = \frac{1}{1/1 \text{meter}^2 \cdot 1 \text{Coloumb}^2}$Dann$F=ma$muss geändert werden$F=\dfrac{s^2}{\text{Kg m}} \times {1/\text{meter}^2 \cdot \text{coloumb}^2} \times \text{mass} \times \text{acceleration}$

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Im Gesetz von Columb die Konstante$k_e$hat Einheiten und Betrag.
$1.$Es hat Einheiten, um die Gleichung dimensional korrekt zu machen.
$2.$es ist nicht$1$in der Größenordnung, weil die Größenordnung von$\dfrac{q_1q_2}{r^2}$Wenn$q_1$,$q_2$Und$r$alle sind eins, was die Kraft in Newton ergibt$9\times 10^9$in der Größenordnung also$k$Geben Sie diesen Wert für eine ordnungsgemäße Kalibrierung an.$k$kann als Proportionalitätskonstante oder als Skalierungsfaktor oder als Dimensionskonstante oder alles angesehen werden.$k$Die Größe von ist 9*10^9, nur weil wir ein Newton als 1 kg m/s^2 definiert haben. Wenn Sie 9 * 10 ^ 9 Newton = ein dgp sagen, dann im dgp-System$k$wird eine Größenordnung erreichen.

Ja, Ihre Definition ist ungültig, sie scheitert allein an dimensionalen Begriffen.

Wenn also K kein Umrechnungsfaktor ist, da die obige Definition für ein Newton ungültig ist und K nicht nur ein Skalierungsfaktor ist, da es Einheiten hat, was ist es dann?

K ist einfach eine Konstante, schauen Sie sich zum Beispiel die Widerstandsformel an. Wir wissen, dass:
1. Der Widerstand ist direkt proportional zur Länge des Leiters.
2. Der Widerstand ist umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche des Leiters.
Somit schließen wir daraus:$R \propto l/A$. Um das Proportionalitätszeichen zu entfernen, verwenden wir eine Konstante, die die Gleichung ausgleicht. Die Gleichung wird jetzt$R = \rho l/A$. Hier$\rho$ist weder eine Skalierung noch ein Umrechnungsfaktor, sondern einfach eine Konstante. genauso haben wir:$F \propto Q^2/R^2$Dies wird gelöst, indem die Coulomb-Konstante verwendet wird, die jetzt als dargestellt wird$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$

Wenn es nur eine Proportionalitätskonstante ist, um die Größe anzupassen, warum hat sie dann Einheiten? Sollte es nicht eine Einheit weniger konstant sein?

Niemand hat gesagt, dass Proportionalitätskonstanten einheiten- und/oder dimensionslos sein müssen. Wir haben Proportionalitätskonstanten aller Art. Zum Beispiel:
1.$\rho$Der sogenannte spezifische Widerstand hat sowohl Dimensionen als auch Einheiten.
2.$\mu$Reibungskoeffizient genannt hat weder Einheiten noch Dimensionen.
3.$\theta$Winkel genannt, ist dies keine Konstante der Proportionalität, aber Sie können feststellen, dass es keine Dimensionen, sondern Einheiten hat.

k ist also nicht nur ein Skalierungsfaktor (da es Einheiten hat) und kein Umrechnungsfaktor, da ein Newton nicht als andere Einheiten ausgedrückt werden kann.

Newton kann als andere Einheiten sowohl mit als auch ohne Skalierung ausgedrückt werden, z. B.:
1.$1 N = 1 kg m s^{-2}$
2.$1 N = 10^5 dynes$

Wenn also seine Einheit nur so existiert, dass sich die Dinge "schön" aufheben, macht dies die Dimensionsanalyse nicht nutzlos, da Sie zufällige Konstanten und Einheiten hinzufügen können, um alles aufzuheben, was Sie wollen?

Es macht die Dimensionsanalyse ganz sicher nicht nutzlos. Konstanten wie die Coulomb-Konstante , spezifischer Widerstand werden hinzugefügt, um das Zeichen der Proportionalität zu entfernen und Gleichungen aus empirischen Formeln abzuleiten. Sie können sie nicht einfach skurril hinzufügen, wo immer Sie wollen, und Einheiten streichen.
Sie führen eine Dimensionsanalyse über eine vorhandene Gleichung durch (keine empirische Formel, die eher die Proportionalität als die Äquivalenz angibt).

Meine Frage bezieht sich nicht auf die Bedeutung von k. Es geht um seine Einheiten.

Die Einheiten können mehrere sein, je nachdem, welches System Sie verwenden, aber in SI verwenden wir$N m^2 C^{-2}$, es ist dimensional$[ML^3A^{-2}T^{-4}]$.

Darüber hinaus besagt die Wikipedia -Geschichte des Coulomb-Gesetzes , dass es sich tatsächlich zuerst um ein empirisches Gesetz handelte und dann unter Verwendung einer Proportionalitätskonstante in eine Gleichung umgewandelt wurde$k$

Schließlich veröffentlichte der französische Physiker Charles-Augustin de Coulomb 1785 seine ersten drei Berichte über Elektrizität und Magnetismus, in denen er sein Gesetz formulierte. Diese Veröffentlichung war wesentlich für die Entwicklung der Theorie des Elektromagnetismus.[12] Er verwendete eine Torsionswaage, um die Abstoßungs- und Anziehungskräfte geladener Teilchen zu untersuchen, und stellte fest, dass die Größe der elektrischen Kraft zwischen zwei Punktladungen direkt proportional zum Produkt der Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen ist.

Neben den Einheiten für Länge, Zeit und Masse definiert das SI auch Ampère, die Einheit für Strom. Sie wird über die Anziehungskraft zwischen zwei parallelen Drähten definiert. Es definiert auch das Coulomb als$1\; C = 1\; A\cdot s$

Das heißt, für drei der vier Mengen ($F,q,r$), die im Coulomb-Kraft-Gesetz auftaucht

$$F = K\frac{q_1q_2}{r^2}$$ Die SI hatte ihre Einheiten zuvor festgelegt. Die Einheit von $K$muss angepasst werden, um Newton auf der rechten Seite zu erzeugen. So, $K$trägt die Einheit von $\mathrm{Nm^2/C^2}$weil das SI bereits eine Einheit für Ladung definiert hat - das Coulomb. Der Zahlenwert wird im Wesentlichen durch Messung der Anziehungskraft zwischen bekannten Ladungen festgelegt.

Vergleichen Sie dies mit dem Fall des Gaußschen (cgs) Einheitensystems. Es wird keine Definition von Ladung a priori vorgenommen und$K = 1$gewählt wird . Daraus folgt, dass die Einheit der Ladung in der CGS-ESU (CGS - Electrostatic Units) definiert ist als

$$[Q] = \left([F][r]^2\right)^{1/2}=\frac{\sqrt{g\cdot \mathrm{cm^3}}}{s}$$

und es heißt Franklin (Fr) oder Stat-Coulomb (statC).

Nun, ich denke, hier geht es um die unausweichlichen Konstanten.

Experimentelle Gesetze stellen die Realität dar, und diese Realität hängt nicht von Maßeinheiten ab; es ist auch unabhängig von Systemänderungen. Um die Realität zu erklären, verwenden wir physikalische Theorien, die auf fundamentalen Gleichungen beruhen; oft werden sie als Proportionen ausgedrückt, wie in

$$[F]\propto[m][a]$$

Dies ist eine Beziehung zwischen Größen, nicht zwischen Mengen. Wenn ich das Mengenverhältnis will, muss ich ein Einheitensystem verwenden. Um dies zu erreichen, muss eine Konstante eingeführt werden

$$F= C ma$$

Nun, Sie können versuchen, zu machen$C=1$, die Wahl eines angemessenen Einheitensystems. Diese Konstante wird oft als "Umrechnungsfaktor" bezeichnet, weil Sie damit Ihr Einheitensystem ändern, aber ihr richtiger Name ist "Superflux-Konstante". Wenn Sie jedoch versuchen, ALLE physikalischen Konstanten zu eliminieren, indem Sie ein bestimmtes Einheitensystem wählen, stellen Sie fest, dass Sie es können t. Es gibt einige Konstanten, die Sie nicht aus den Gleichungen eliminieren können, egal was Sie tun. Diese Konstanten sind:

• Universale Gravitation,$G$
• Planck-Konstante,$h$
• Lichtgeschwindigkeit im Vakuum,$c$
• Boltzmann-Konstante,$k_B$
• Avogadro-Zahl,$N_A$
• Und Vakuum-Permittivität,$\epsilon _0$

Ihre Coulomb-Konstante hängt von dieser letzten Konstante und der Permittivität des verwendeten Materials (und anderen adimensionalen Faktoren) ab. Wie Sie sehen können, sind all dies unausweichliche Konstanten. Diese Konstanten sind kein "Umrechnungsfaktor", da sich alles im selben System befindet. Aber sie sind notwendig, um die Gleichungen dimensional korrekt zu machen.

Sie können versuchen, ein Buch über Dimensionsanalyse und grundlegende Theorie der Physik zu finden: wie physikalische Modelle konstruiert werden, die Bedeutung von dimensionalen homogenen Gleichungen usw.

EDIT: Ich habe gesagt, dass "unverständliche Konstanten nicht eliminiert werden können". Nun, wenn Sie natürliche Einheiten verwenden, werden diese Konstanten eliminiert, aber Sie werden einige neue Konstanten finden (Planck-Länge, Planck-Masse ...), sodass Sie am Ende tatsächlich nicht alle Konstanten aus allen Gleichungen eliminieren können , was ich sagen wollte.

Ihre vereinfachte Definition entspricht:

$$1 \text{Newton} = \frac{1}{1/1 meter^2 * 1 Coloumb^2} = \frac{c^2}{m^2}$$

Dies ist nur wegen des Gerätenamens falsch$Newton$ist bereits vergeben, aber dies wäre vollkommen gültig:

$$1 \text{Your_unit_name} = \frac{c^2}{m^2}$$

In diesem Fall$\text{Your_unit_name}$wäre dann Krafteinheit in einem Einheitensystem wo$k=1$ähnlich wie das Plank-Einheitssystem$ħ=G=c=k_e=k_B=1$

Dann der Wert von$k$ist der Umrechnungsfaktor zwischen$\text{Newtons}$Und$\text{Your_unit_names}$und man kann sich vorstellen, Einheiten zu haben$\frac{\text{Newtons}}{\text{Your_unit_names}}$was, wenn Ihr Ersatz aus der Definition von$\text{Your_unit_names}$Sie erhalten die bekannte Form$N*m^2/C^2$

Kurze Antwort : Ja, es kann als Umrechnungsfaktor angesehen werden, aber der Zahlenwert hängt von der Wahl der verwendeten Einheiten ab.

Hängt von den Einheiten ab, die wir verwenden. Das Coulombsche Gesetz wird normalerweise durch gegeben

$$F=k_e\frac{q_1q_2}{r^2}$$ wobei man solche Einheiten verwenden sollte, die die Gleichungen durch dimensionale Analysen enthalten.

Wenn wir zum Beispiel nehmen$q_1$Und$q_2$in Coulombs sein und$r^2$dann in Metern sein$k_e=8.987...\cdot10^9 \frac{Newton\cdot Meters^2}{Coulomb^2}$.

Wenn wir nehmen$q_1$Und$q_2$in MikroCoulomb sein und$r^2$dann in Zentimeter sein$k_e=8.987...10^{+1} \frac{Newton\cdot centimeters^2}{microCoulomb^2}$. (Beachte das$10^9$wurde$10^{+1}$.)

Wenn wir einige andere Einheiten nehmen, ändern sich der numerische Wert und seine Abmessungen in etwas anderes.

Können wir es wirklich als Umrechnungsfaktor interpretieren?

Ja wir können. Ich werde zuerst ein einfacheres Beispiel nehmen. Einsteins berühmteste Gleichung ist gegeben durch$E=m\cdot c^2$Wo$m$ist die Masse,$E$ist die Energie und$c$ist die Lichtgeschwindigkeit. Hier$c^2$ist der Umrechnungsfaktor, der uns sagt, wie viel Energie wir haben, wenn uns jemand gibt$x$kg. Oder wenn wir haben$y$Joule können wir in Masse umrechnen.

Ihre Frage ist von der gleichen Art. Bei zwei gegebenen Ladungen und einem Abstand zwischen ihnen sagt Ihnen das Coulombsche Gesetz, wie Sie die gegebenen Größen anordnen (multiplizieren Sie die Ladungen und dividieren Sie durch den Abstand zum Quadrat), und die Coulombsche Konstante sagt Ihnen, wie Sie das Ergebnis umwandeln, das Sie erhalten von [multiplizieren Sie die Ladungen und dividieren Sie durch die Distanz zum Quadrat] zu einer Kraft.

So berechnet man die Menge$\frac{q_1q_2}{r^2}$, Dann$k_e$wird verwendet, um diese Größe in Newton umzurechnen.