Warum steht in bestimmten Kraftgleichungen ein Faktor von 4π4π4\pi?

Zum Beispiel, wenn Sie meinen$k_e=\frac1{4\pi\epsilon_0}$, es kommt von einem natürlichen "Gauß'schen Gesetz" Verständnis des Coulombschen Gesetzes, wo das elektrische Feld über die Oberfläche einer Bereichskugel verteilt ist$4\pi r^2$.

$$F= \frac1{\epsilon_0}\frac1{4\pi r^2}q_1q_2$$

Dies ist auch die Erklärung für die$1/r^2$Begriff (und in anderen klassischen Bereichen), und es gibt auch Versuche , diese Art von Argumentation auf Gravitationsfelder auszudehnen.

Wenn Sie Faktoren von vermeiden möchten$\pi$in den grundlegenderen Gleichungen wie$\nabla . E = \rho / \epsilon_0$, müssen Sie sie dort akzeptieren, wo sie hingehören, zum Beispiel in:$E = \frac{1}{\epsilon_0} \frac{Q}{4 \pi r^2}$.

Wie von anderen bemerkt, hat Newton es versäumt, einen Faktor zu setzen$4 \pi$in seine Gravitationsgleichung (er legte fest$g = G \frac{M}{r^2}$, Anstatt von$g = G \frac{M}{4 \pi r^2}$) und infolgedessen müssen wir mit Faktoren von leben$\pi$im grundlegenderen Gauß'schen Gravitationsgesetz und, was noch wichtiger ist, auch in Einsteins Gravitationstheorie.

Der physikalische Grund für das Auftreten von a$4\pi$ Irgendwo in der Theorie ist die sphärische Symmetrie des Problems und wird in anderen Antworten mehr diskutiert. Hier möchte ich ein interessantes Argument aus Arnold Sommerfelds Lectures on Theoretical Physics Vol III zitieren, das diesem Thema einen eigenen Abschnitt gewidmet hat.

Wenn Sie die entfernen$4\pi$aus dem Kraftgesetz haben Sie es in der grundlegenderen Maxwell-Gleichung:

$$\nabla.\mathbf{D}=4\pi\rho$$ und es wird auch die Energiedichte verzerren in: $$W=\frac{1}{8\pi}\mathbf{E}.\mathbf{D}$$

Aber Heaviside, wie es in dem erwähnten Buch heißt, die einen lebenslangen Kampf um die rationalen Einheiten gekämpft haben$(4\pi$im Kraftgesetz vorhanden$)$, hat ein weiteres interessantes Argument über den Vorteil dieses Systems für andere. Er weist auf die Kapazität eines Kondensators hin:

Ein Plattenkondensator (mit Fläche$A$, Plattentrennung$d$) in diesen rationalen Einheiten$(4\pi$im Kraftgesetz vorhanden$)$und in anderen Einheiten$($mit$4\pi$in den Maxwell-Gleichungen vorhanden$)$hat eine Kapazität von

$$C=\frac{\epsilon A}{d}\tag{rational}$$ $$C=\frac{\epsilon A}{4\pi d}\tag{others}$$ und für einen Kugelkondensator (Radius $R$, äußere Sphäre im Unendlichen gedacht): $$C=4\pi \epsilon R\tag{rational}$$ $$C=\epsilon R\tag{others}$$ Wir sehen das bei rationalen Einheiten den Faktor $4\pi$erscheint für die Kugel. Bei anderen Einheiten fehlt es für die Kugel und erscheint für den ebenen Kondensator.

Heaviside macht dann folgenden treffenden Vergleich: Beim Übergang von der Entfernungsmessung zur Flächenmessung könnte man als Flächeneinheit die Fläche eines Radiuskreises definieren$1$. Das wäre logisch möglich. Es würde jedoch zu dem merkwürdigen Ergebnis führen, dass ein Quadrat mit der Seite entsteht$1$hätte die Gegend$\dfrac{1}{\pi}$. Das würden dann alle sagen$\pi$war an der falschen Stelle. Wir sagten dasselbe über den Faktor$4\pi$in den obigen Formeln für Kapazitäten.

Beliebige Differentialgleichung der Form$\nabla \cdot A = \alpha$und$\nabla \wedge A = 0$in$n$-Dimensionen hat als Greensche Funktion (also die Lösung für eine Punktquelle, z$\alpha = \delta$, die Dirac-Delta-Funktion) ein Körper$G$des Formulars

$$G(r) = \frac{1}{S_{n-1}} \frac{\hat r}{|r|^{n-1}}$$

wo$S_{n-1}$ist die Oberfläche einer Einheit$n$-Ball, von dem wir wissen, dass er es ist$4\pi$in 3d. Der Faktor von$4\pi$das in vielen solchen Kraftgleichungen auftaucht, ist von Natur aus geometrisch, und wie bereits erwähnt, ist es verwirrend, es in eine Konstante zu packen, insbesondere wenn man außerhalb von 3d arbeitet (siehe zum Beispiel das elektrische Feld einer Linienladung, das ist ein 2d problem und somit hat$2\pi$erscheinen darin als Umfang eines Einheitskreises).

Der Hauptgrund ist, dass es die Berechnung erleichtert und die Ergebnisse schöner aussehen. Angenommen, das Feld (oder die Kraft) ist gegeben durch

$$E = \frac{1}{4\pi} f(\mathbf{r})$$ für irgendeine Funktion $f(\mathbf{r})$.

Wenn das System Rotationssymmetrie verarbeitet, erhalten Sie nach der Summe über die Dichte einen Faktor von$2\pi$. Wenn das System sphärische Symmetrie verarbeitet, erhalten Sie einen Faktor von$4\pi$. In beiden Fällen enthält die resultierende Gleichung keine$\pi$Faktor. Es ist besonders nützlich in EM, da wir normalerweise einen Dichteverteilungsprozess als etwas Symmetrie betrachten.

Also, warum gibt es keine$\pi$in der Newtonschen Gravitation$F=GMm/r^2$?

Denn eine solche Notwendigkeit besteht nicht. Sie können ein planetenähnliches makroskopisches Objekt nicht in einen unendlich langen Stab, eine Scheibenform oder eine komische Form verwandeln. Die Schwerkraft hat nur dann eine signifikante Wirkung, wenn sie eine große Masse ansammelt, gleichzeitig wird sie durch ihre eigene Schwerkraft zu einer Kugel. Im Grunde genommen ist es also bereits ein guter Punkt wie ein Teilchen, wenn wir es aus einem gewissen Radius betrachten. Das Extra$\pi$macht keine Rechnung einfacher.

Einige Leute (mich eingeschlossen) würden Feldgleichungen wie das Gaußsche Gesetz als "fundamentaler" betrachten als Kraftgleichungen. Der offensichtlichste Grund dafür ist, dass das Coulombsche Kraftgesetz nur funktioniert, wenn die betreffenden Ladungen statisch gehalten werden – es muss modifiziert werden, sobald sie sich bewegen dürfen.

Wie die anderen gesagt haben, die$4 \pi$hat mit der Oberfläche einer Kugel zu tun. Das Gauß'sche Gesetz (ich werde die integrale Form verwenden, um die Oberflächenverbindung deutlicher zu machen) für das elektrische Feld sagt uns:

$$\int \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A}= \frac{q}{\epsilon_0}$$

In Worten bedeutet dies, dass, wenn Sie einige Ladungen in einer imaginären Oberfläche einschließen, die Summe des elektrischen Felds, das aus dieser Oberfläche herausragt, multipliziert mit der Fläche der Oberfläche, gleich der von ihr eingeschlossenen Gesamtladung multipliziert mit einem konstanten Faktor ist . Wenn Sie eine einzelne Punktladung nehmen und sie mit einer sphärischen Oberfläche mit Radius umschließen$r$, dann reduziert es sich auf:

$$4 \pi r^2 E= \frac{q}{\epsilon_0}$$

Ordnen Sie etwas um und es ist leicht genug zu sehen, wie es sich auf das Coulombsche Gesetz bezieht.

Es gibt auch eine Form des Gaußschen Gesetzes für die (Newtonsche) Schwerkraft:

$$\int \mathbf{g} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A}= 4 \pi GM$$

Diese Feldgleichung enthält tatsächlich den Faktor$4 \pi$schon, wenn man also eine Masse mit Kugeloberfläche einschließt, hebt sich der Faktor auf beiden Seiten auf. Dies liegt einfach daran, dass Newton, als er sein Kraftgesetz für die Gravitation niederschrieb, Dinge wie das Gauß'sche Gesetz nicht kannte und es daher versäumte, das einzubeziehen$4 \pi$in der Kraftgleichung. Und seitdem hat sich die Konvention gehalten, sodass wir mit einem leicht verwirrenden Sammelsurium einiger Feldgleichungen zurückbleiben, die Faktoren von benötigen$\pi$und manche nicht. Im Allgemeinen, wenn Sie einen Faktor von sehen$\pi$In einer Feldgleichung sehen Sie wahrscheinlich etwas, das mit der Schwerkraft zusammenhängt.

Es ist nur ein Ergebnis des Gauß-Theorems, das in diesem Fall symmetrisch angewendet wird, die Oberfläche der Kugel mit der Ladung in ihrem Zentrum.

Das ist 4 Pi R^2