Der Neutralpunkt ist der Punkt, an dem das resultierende elektrische Feld Null ist.

Wenn wir uns eine kleine Testladung vorstellen, die am neutralen Punkt platziert wird, ist die Kraft darauf Null, aber die anderen beiden Ladungen stoßen sich gegenseitig ab. Ihre Bewegung hängt dann von ihrer Masse ab und im Allgemeinen würde dies dazu führen, dass der neutrale Punkt seine Position ändert.

Die Lösung von John Hunter ist eleganter und prägnanter; Wenn Sie jedoch auch an der Bedingung interessiert sind, unter der der Punkt der neutrale Punkt bleibt, und an einem mathematischeren Beweis, dann ist hier ein anderer Ansatz:

Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob der Fragesteller die Anklage gewollt hat$q_0$um das System zu beeinflussen oder nur als Testladung. Wenn Sie wünschen$q_0$um keine Auswirkungen auf das System zu haben, dann einfach einstellen$q_0=0$in den weiterführenden Berechnungen.

Definitionen

Wegen der sperrigen Gleichungen werden wir zunächst einige Notationen definieren:

$$\boldsymbol M\equiv\begin{bmatrix}m_0 & 0 & 0\\0 & m_1 & 0\\0 & 0 & m_2\end{bmatrix},\quad\quad\boldsymbol Q\equiv\begin{bmatrix}q_0 & 0 & 0\\0 & q_1 & 0\\0 & 0 & q_2\end{bmatrix},\quad\quad\vec{r}\equiv\begin{bmatrix}r_0\\r_1\\r_2\end{bmatrix},\quad\quad k\equiv\frac{1}{4\pi\epsilon\epsilon_0},\\\quad\\\text{and}\quad a\equiv\sqrt{q_1}+\sqrt{q_2}$$

Wo$m_n$,$q_n$Und$r_n$sind die Masse, Ladung und Position der$n^\text{th}$Partikel bzw. Letztlich lassen$r_{ij}\equiv r_i-r_j$.

Bewegungsgleichungen

Somit können die 1D-Bewegungsgleichungen kurz geschrieben werden als:

$$\boldsymbol{M}\ddot{\vec{r}}=k\boldsymbol{Q}\begin{bmatrix}\frac{q_1}{r_{10}^2}+\frac{q_2}{r_{02}^2}\\\frac{q_2}{r_{21}^2}+\frac{q_0}{r_{10}^2}\\\frac{q_0}{r_{02}^2}+\frac{q_1}{r_{21}^2}\end{bmatrix}\tag{1}$$

Zwang

Wenn wir nun die Bedingung anwenden, dass$q_0$bleibt im neutralen Punkt:

$$\left|r_{10}\right|=\frac{q_1}{a}\left|r_{21}\right|\quad\text{and}\quad\left|r_{02}\right|=\frac{q_2}{a}\left|r_{21}\right|$$

Wir können dies nun verwenden, um die Einschränkungen für die Parameter zu finden$\boldsymbol{M}$,$\boldsymbol{Q}$Und$k$wofür das gilt.

Das Einsetzen dieser Bedingungen auf der linken Seite von (1) ergibt:

$$\begin{align}\boldsymbol{M}\ddot{\vec{r}}&=\frac{k}{r_{21}^2}\boldsymbol{Q}\underbrace{\begin{bmatrix}2a^2\\a^2+q_2\\a^2+q_1\end{bmatrix}}_{\equiv\vec{w}}\\\implies\ddot{\vec{r}}&=\frac{k}{r_{21}^2}\boldsymbol{M}^{-1}\boldsymbol{Q}\vec{w}\tag{2}\end{align}\\%to anyone who edits the extra line is to prevent clipping of bottom line in render$$

Als$\boldsymbol{M}$ist diagonal:

$$\boldsymbol{M}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{m_0} & 0 & 0\\0 & \frac{1}{m_1} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{m_2}\end{bmatrix}\\%to anyone who edits the extra line is to prevent clipping of bottom of matrix in render$$

Somit ergibt Gleichung (2) impliziert:

$$\begin{align}\ddot r_{21}&=\frac{k}{r_{21}}\left(\frac{q_2}{m_2}\left(a^2+q_1\right)-\frac{q_1}{m_1}\left(a^2+q_2\right)\right)\tag{3}\\\ddot r_{01}&=\frac{k}{r_{21}}\left(2\frac{q_0}{m_0}a^2-\frac{q_1}{m_1}\left(a^2+q_2\right)\right)\tag{4}\end{align}$$

Wir wissen es jedoch bereits$\left|r_{10}\right|=\frac{q_1}{a}\left|r_{21}\right|\implies\left|\ddot r_{10}\right|=\frac{q_1}{a}\left|\ddot r_{21}\right|$

Unter der Annahme der anfänglichen Bestellung von$r_1<r_0<r_2$Dann$\ddot r_{01}=\frac{q_1}{a}\ddot r_{21}$und Einsetzen in die Gleichungen (3) und (4) ergibt die Einschränkung:

$$2\frac{q_0}{m_0}a^2-\frac{q_1}{m_1}\left(a^2+q_2\right)=\frac{q_1}{a}\left(\frac{q_2}{m_2}\left(a^2+q_1\right)-\frac{q_1}{m_1}\left(a^2+q_2\right)\right)\tag{5}$$

Ebenso, wenn wir verwendet hätten$r_{20}$wir hätten bekommen:

$$\frac{q_2}{m_2}\left(a^2+q_1\right)-2\frac{q_0}{m_0}a^2=\frac{q_1}{a}\left(\frac{q_2}{m_2}\left(a^2+q_1\right)-\frac{q_1}{m_1}\left(a^2+q_2\right)\right)\tag{6}$$

Nur dann, wenn sowohl (5) als auch (6) erfüllt sind$q_0$bleibt am neutralen Punkt. Beachten Sie, dass sowohl (5) als auch (6) nur von Ladung und Masse abhängen. Unten habe ich gezeichnet$q_2$gegen$q_1$für beide Gleichungen (5) und (6), wobei alle anderen Werte für einige Nicht-Null-Parameter konstant gehalten werden ($m_n=1$für alle$n$Und$q_0=1.7$), um Lösungen zu demonstrieren, existieren:

Aktualisierung

Satz von Earnshaw

Ich glaube, der Punkt an Earnshaws Theorem ist, dass die resultierende Kraft auf alle drei Ladungen nicht gleichzeitig Null sein kann, aber sie kann Null sein$q_0$wie Sie in der Frage beweisen.

Instabilitäten

Bei anziehenden Kräften sollten die Ladungen in einer geraden Linie bleiben. Bei abstoßenden Kräften führen jedoch kleine Abweichungen von der geraden Linie dazu, dass sich die Ladungen von der 1D-Linie entfernen und so weiter$q_0$bleibt nicht länger am neutralen Punkt, unabhängig davon, ob die Parameter eine Lösung von (5) und (6) sind. Es sei denn, die Gebühren sind irgendwie auf die einzige Bewegung entlang der 1D-Linie beschränkt.

Dies kann man sich intuitiv vorstellen, indem man überlegt, ob es ein Minimum (anziehender Fall) oder ein Maximum (abstoßender Fall) des Potentials gibt, das jede Ladung senkrecht zur Linie erfährt. Ähnlich der Idee des stabilen und instabilen Gleichgewichts; In dieser Analogie betrachten wir jedoch nur das Gleichgewicht senkrecht zur Linie, da das System offensichtlich nicht parallel zur Linie im Gleichgewicht ist.