Wie würde sich die Ladung in geladenen Leitern verteilen, wenn das Coulomb-Gesetz nicht 1/r21/r2{1}/{r^2} wäre?

James Clerk Maxwell dachte darüber nach und zeigte Folgendes. Angenommen, wir haben zwei konzentrische leitende Kugeln und wir laden eine auf ein Potential auf$\Phi$relativ zu einer Erdungsebene. Dann ist die Spannung der inneren Kugel relativ zur gleichen Masse:

wo$\rho = r_{outer} / r_{inner}$ist das Verhältnis der Radien der äußeren zu den inneren Kugeln und$q$ist die Abweichung zwischen der Potenz von$r$im Coulomb-Gesetz und 2 . Somit ist die radiale Abhängigkeit im Coulombschen Gesetz$r^{-(2\pm q)}$; wenn es genau umgekehrte quadratische Abhängigkeit gibt, dann$q=0$. Diese Tatsache wurde genutzt, um das Coulomb-Gesetz mit hoher Genauigkeit zu testen, siehe:

Plimpton, SJ; Lawton, WE, "Ein sehr genauer Test des Coulombschen Kraftgesetzes zwischen Ladungen", Physical Review, vol. 50 (1936), Heft 11, S. 1066-1071

Wenn das Photon eine Masse hat$m$, das Coulomb$1/r$Potential verallgemeinert auf ein Yukawa-Potential :

und so kann das beschriebene Experiment verwendet werden, um die Photonenmasse zu begrenzen. Laut Wikipedia (siehe "Experimentelle Überprüfung der Photonenmasse" auf der Seite "Photon") ist diese Grenze$10^{-14}\mathrm{eV}/c^2$, oder ungefähr$1.6\times10^{-50}\mathrm{kg}$, also ca$10^{-20}$Elektronenmassen. Jetzt möchte ich also zeigen, wie man das Coulomb-Yukawa-Potential und die Photonenmasse in Beziehung setzt, und zeigen, wie man das experimentelle Nullergebnis interpretiert. Eine gute Übersichtsarbeit (zumindest war es mir klar) ist hier:

Liang-Cheng Tu und Jun Luo, "Experimentelle Tests des Coulombschen Gesetzes und der Photonenruhemasse", Metrologia 41 (2004) S. 136–146

Es ist viel einfacher und gleichwertig, über diese Art von Dingen in Bezug auf Potenziale statt Kräfte zu sprechen (vorausgesetzt, wir haben irrotative Kräfte). Auch die folgende Diskussion in Bezug auf die Photonenmasse ist eigentlich ein viel einfacherer Rahmen, um über direkte Abweichungen vom Postulierten zu sprechen$1/r$Coulomb-Potential als das Maxwell-Potential (der Maxwell-Ausdruck (1) wird übrigens auch in der Übersichtsarbeit hergeleitet). Anstatt von einer Abweichung zu sprechen$q$der Macht$1/r^{1\pm q}$im Coulomb-Potentialgesetz von seiner postulierten Potenz wie Maxwell sprechen wir von einem multiplikativen Fehlerfaktor$f(r) \approx 1+\epsilon_1\,r\approx e^{\epsilon\,r}$(die Annäherung gilt für$r \ll 1/\epsilon$), so dass wir davon ausgehen, dass unser tatsächliches potenzielles Gesetz ist$e^{\epsilon\,r}/r$statt$1/r$.

Die Photonenmasse würde sich bemerkbar machen, indem man die Ausbreitungsgleichung für die elektromagnetischen Potentiale von der masselosen Wellengleichung auf die Maxwell-Proca-Gleichungen umstellt (siehe Wikipedia-Seite für „Proca Action“ ):

wo$J_\mu$ist die Vierstromquelle für das Feld. Um zu verstehen, dass die Skalierung konstant ist$m^2\,c^2/\hbar^2$im neuen Semester$m^2\,c^2\,A_\mu /\hbar^2$die Interpretation hat, eine Masse zu sein, können wir:

1. Machen Sie die Beobachtung, dass im freien Raum$\hbar^2 \nabla^2 - \hbar^2 \partial_t^2/c^2$ist der Operator (Quantenobservable), der der quadrierten Länge des Viererimpulses entspricht$E^2 /c^2 - |\vec{p}|^2$, was der eigentliche (Ruhemassen-)Term ist$m^2 c^2$; oder

2. Denken Sie an die Lösung für die Freespace-Version von (3) ($J_\mu = 0$) als Fourier-Zerlegung in ebene Wellen: ebene Welle (Wellenzahl$k$), Zeitharmonische (Frequenz$\omega$) Lösungen von (3) sind definiert durch

• was natürlich ist$\omega = c\,|k|$wenn die Masse Null ist, woher die Gruppengeschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeit gleich ist$c$. Aber mit ungleich Null$m$, die Gruppengeschwindigkeit für niedrige Frequenzen$k \ll m\,c/\hbar$ist Null, und ein Wellenpaket kann ungefähr für eine Zeit stehen bleiben, die proportional zu ist$m$Begriff.

Nun betrachten wir also die statische Situation ($\partial_t = 0$) für die elektrostatische Aufladung, so dass (3) wird

und das Yukawa-Potential (2) ist die relevante Greensche Funktion für diese Gleichung, dh die Lösung von

woraus wir Felder aufbauen können, die sich aus allgemeinen Ladungsverteilungen ergeben$\rho$durch lineare Überlagerung:

Beachten Sie, dass das statische Feld im freien Raum abseits der Ladung für jede Verteilung von Ladungen, die jeweils das Yukawa-Potential (2) haben, immer noch die Freiraumgleichung erfüllt

durch lineare Überlagerung:$\nabla^2$wird weder von einer Verschiebung des Ursprungs noch von einer Drehung des betreffenden Koordinatensystems beeinflusst. Beachten Sie, dass wir dasselbe nicht sagen könnten, wenn wir es beispielsweise getan hätten$\Phi\propto 1/r^n$zum$n\neq 1$, denn dann wäre die relevante Differentialgleichung:

und der Faktor$n\,(n-1)/r^2$ändert mit Sicherheit seine Form als Reaktion auf Verschiebungen im Ursprung. Die Coulomb- und Yukawa-Potentiale sind insofern etwas Besonderes, als sie die Greensche Funktion von linearen partiellen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten sind.

Nun betrachten wir einen Hohlleiter. Als erstes ist hier anzumerken, dass die Eindeutigkeitssätze für die Laplace-Gleichung und die statische Maxwell-Proca-Potentialgleichung genau gleich funktionieren. Wenn wir das Potenzial an der Grenze kennen$\partial V$eines Volumens$V$, dann wenn es keine Singularitäten in gibt$V$, nehmen wir an, dass es zwei wirklich wertvolle Lösungen gab$\phi_1$und$\phi_2$mit dem gleichen Verhalten auf$\partial V$und wir wenden den Divergenzsatz von Gauß an$\psi\,\nabla \phi$wo$\phi = \phi_1-\phi_2$(Bemerkung$\phi$an$\partial V$ist nach Annahme nichts):

so dass$\phi$muss durchgehend Null sein$V$da der Integrand auf der RHS positiv oder null ist, dh wir die Eindeutigkeit bewiesen haben, können wir überhaupt eine Lösung finden. Bei einem perfekten Leiter verschieben sich alle Ladungen im Inneren, bis keine Kraft mehr tangential zur Oberfläche des Leiters ist ($i.e.$die Ladungen bewegen sich leicht, bis sie an der Oberfläche angebunden sind), da sie sich sonst weiter neu anordnen könnten (indem sie sich entlang der Oberfläche bewegen). Das elektrische Feld ist also immer orthogonal zur Leiteroberfläche - diese Tatsache ist unabhängig von der Form des Coulomb-Gesetzes. Die Innenfläche jedes Hohlleiters ist also immer eine Äquipotentialfläche, unabhängig von der Form des elektrostatischen Kraftgesetzes (solange die Kraft einer Einzelladung radial auf die Ladung zu oder von ihr weg gerichtet ist). Nun, im Fall der$\Phi = 1/r$Potential, wenn das Potential auf der hohlen Innenfläche liegt$\Phi_0$, dann ein konstantes Potential von$\Phi_0$ist eine Lösung der Laplace-Gleichung und aufgrund der vorangegangenen Diskussion die einzige Lösung, die unsere Randbedingungen erfüllt. So$\nabla \Phi = 0$und es gibt kein elektrisches Feld innerhalb des Leiters.

Also machen wir jetzt dasselbe für das statische Maxwell-Proca-Potential. Wir betrachten eine Hohlkugel mit Radius$R$und wir laden es auf eine monströse Spannung auf$\Phi_0$. Dann ist eine nichtsinguläre, achsensymmetrische Lösung von (8) innerhalb des Hohlraums:

und nach dem Vorhergehenden muss dies die einzige Lösung sein. Beachten Sie, dass die Lösungen für dieses Problem nebenbei die Lösungen der Helmholtz-Gleichung sind, nämlich sphärische Bessel-Funktionen, jedoch für imaginäre Wellenzahlen, da die statische Maxwell-Proca-Potentialgleichung die Helmholtz-Gleichung mit einer imaginären ist$k$. Das elektrische Feld in unserer Kugel ist:

Nehmen wir also an, wir laden eine Kugel mit einem Radius von einem Meter auf eine Million Volt auf und messen kein elektrisches Feld mit einer Sonde direkt innerhalb der Kugel, die auf beispielsweise 100 Volt pro Meter genau ist. Dann hat das Experiment eine Obergrenze für die Photonenmasse von:

Beachten Sie auch, dass nach dem oben betrachteten Eindeutigkeitssatz das experimentelle Ergebnis nicht davon abhängt, ob die Kugel genau kugelförmig ist. Wir können die Maxwell-Proca-Potentialgleichung für verzerrte Kugeln numerisch lösen und damit die Empfindlichkeit unseres Experiments gegenüber solchen Verzerrungen testen.

Die obigen Zahlen stellen ein sehr grobes und einfaches Experiment in einem modernen Hochspannungslabor dar. Wie in Wikipedia angemerkt, ist die tatsächlich durch dieses Experiment erreichte Photonenmassengrenze etwa sechs Größenordnungen kleiner als diese ($1.6\times10^{-50}\mathrm{kg}$), ist die mit jeder gängigen Methode (Beobachtung des galaktischen Plasmas) erreichbare Photonenmassengrenze nochmals um etwa dreizehn Größenordnungen kleiner ($10^{-63}\mathrm{kg}$) und schließlich, wie in der Arbeit von Liang-Cheng Tu und Jun Luo erwähnt, kann für das gegenwärtige Universum die maximal erreichbare Genauigkeit für die Messung der Energie (Masse) von etwas mit der Heisenberg-Ungleichung berechnet werden$\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$mit$\Delta t$eingestellt auf das Alter des Universums ($4\times10^{17}$Sekunden), so dass die minimal erreichbare Masse gebunden ist$\hbar/(2\,c^2\,\Delta t)\approx 10^{-69}\mathrm{kg}$.

Würde sich die überschüssige Ladung auf einem Leiter an die Oberfläche bewegen, bis das elektrische Feld im Inneren Null wird [...]?

Denken Sie einen Moment über den Mechanismus dieser Bewegung nach. Die Gebühren bewegt, weil

1. sie sind frei (nicht gebunden)
2. es existiert ein Nicht-Null-Feld, also von$\vec{F}_E = q \vec{E}$eine Kraft auf sie

Diese beiden Tatsachen sind unabhängig von der genauen Form der Coulomb-Wechselwirkungen. Die kurze Antwort lautet also „Ja“.

Wenn ja, wird die Verteilung$\sigma(x,y)$Sei anders [...] ?

Sicher. WetSavannaAnimal hat Sie in Richtung der Lösung mit geschlossener Form verwiesen , aber es sollte intuitiv klar sein, dass die Ladungsverteilung anders sein muss , um die gleiche Bedingung (kein Feld innerhalb des Leiters) mit einer anderen Form für das Feld zu erhalten .

Nicht, dass die Ladungsverteilung streng genommen überhaupt keine Oberflächenverteilung sein muss und geschrieben werden sollte$\rho(\vec{r})$.

Vorschlag zur Frage (v3): Verallgemeinern Sie die Frage zu a$1/r^s$potenzielles Recht in$n$räumliche Dimensionen! Dann eilen die Ladungen laut Henry Cohns mathoverflow-Antwort hier an die Grenze, wenn iff$s\leq n-2$. So im Beispiel von OP$(s=2,n=3)$, die Ladungen eilen nicht an die Grenze, im Gegensatz zur realen Welt$(s=1,n=3)$.