Warum ist Radiant natürlicher als jede andere Winkeleinheit?

Ich bin davon überzeugt, dass das Bogenmaß zumindest die bequemste Einheit für Winkel in Mathematik und Physik ist. Außerdem vermute ich, dass sie die grundlegendste natürliche Einheit für Winkel sind. Was ich wissen möchte ist, warum das so ist (oder warum nicht).

Ich verstehe, dass die Verwendung von Radianten bei Kalkülen mit trigonometrischen Funktionen nützlich ist, da es keine unordentlichen Faktoren wie gibt π / 180 . Ich verstehe auch, dass dies daran liegt Sünde ⁡ ( x ) / x → 1 wie x → 0 Wenn x ist in Radiant. Aber warum bedeutet das, dass das Bogenmaß grundsätzlich natürlicher ist? Was ist mathematisch falsch an diesen chaotischen Faktoren?

Vielleicht ist es also schön und sauber, ein Gerät auszuwählen, das macht d d x Sünde ⁡ x = cos ⁡ x . Aber warum tauschen Sie es nicht aus, indem Sie das „schöne und saubere“ Bit auf die Einheit der Winkelmessung selbst setzen? Warum nicht 1 Winkel als eine volle Umdrehung definieren und dann Winkel als Bruchteil dieser vollen Umdrehung messen (ähnlich wie bei der Messung von Geschwindigkeiten als Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit). c = 1 ). Sicher, Sie hätten chaotische Faktoren von 2 π in Analysis, aber was ist mathematisch falsch daran?

Ich denke, ein Teil dessen, was ich suche, ist eine Erklärung, warum der Radius der wichtigste Teil eines Kreises ist. Könnten Sie nicht ähnlich wie im Bogenmaß eine andere Winkeleinheit definieren, aber mit dem Durchmesser anstelle des Radius?

Auch wenn das Bogenmaß die grundlegende natürliche Einheit ist, bedeutet dies, dass dies nicht nur der Fall ist π Rad = 180 ∘ , aber auch π = 180 ∘ , das ist 1 Rad = 1 ?

Einige Diskussionen in den Kommentaren auf physical.stackexchange.com/q/11500
Sowohl das Bogenmaß als auch der Zyklus sind natürliche Einheiten für solche zyklischen Aspekte. Die Schwierigkeit besteht darin, die Basiseinheit auszuwählen und sie jedem zu zeigen (anstatt sie zu verstecken). Auf einer grundlegenden Ebene haben die Mathematiker, die Physiker und die durchschnittliche Person unterschiedliche Sichtweisen auf die Welt, die nicht übereinstimmen [z . B. xkcd.com/435 ]
Zugehöriger Math.SE-Beitrag: math.stackexchange.com/q/1797756/11127 , math.stackexchange.com/q/720924/11127 und darin enthaltene Links.
Zu deiner letzten Frage: ja. Sie können bei der Umrechnung zwischen Grad und Bogenmaß so ziemlich alle Verwirrung stiften, indem Sie das Symbol identifizieren ° mit der reellen Zahl π / 180 . Dies ist der Ansatz, der zB in Mathematica gewählt wird (also zB try N[°]).
Beachten Sie, dass einige Leute von NIST argumentiert haben, dass das Bogenmaß eine echte SI-Einheit sein sollte: arxiv.org/abs/1604.06774

Antworten (7)

Am wichtigsten

e ich x = cos ⁡ x + ich Sünde ⁡ x
gilt (in dieser Form) nur im Bogenmaß.

Jetzt fragt man sich vielleicht warum e ist natürlicher als jede andere Zahl ;-)

Dies ist die sauberste Antwort von allen, denke ich.

Betrachten Sie die Taylor-Reihe für die trigonometrische Funktion. Zum Beispiel Sinus

Sünde ⁡ a = a − a 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ,
oder Kosinus
cos ⁡ a = 1 − a 2 2 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a 2 n ( 2 n ) ! .

Wenn Sie eine andere Einheit für den Winkel wählen würden, würden diese sehr ordentlichen Serien in jedem Term einige zusätzliche Faktoren aufgreifen.

So etwas ist für Mathematiker „unnatürlich“.

Oder, wenn Ihnen Taylor-Reihen zu esoterisch erscheinen, betrachten Sie einfach die Annäherung Sünde ⁡ a ≈ a für kleine Winkel a , was nur gilt, wenn a wird in Radiant gemessen. (Formal ergibt sich diese Annäherung natürlich einfach aus dem Abschneiden der Taylor-Reihe nach dem Term erster Ordnung, also ist es in gewisser Weise dasselbe.)
Die Formel ist insofern 'falsch', als sie bereits davon ausgeht, dass Alpha im Bogenmaß ist, während wir alle wissen, dass sin 90 1,0 ist ;-) Die trigonometrischen Beziehungen (z. B. sin(A+B)=s(A).c(B)+ s(B).c(A) ) stehen unabhängig von der verwendeten Maßeinheit. Die Wahl des Bogenmaßes ist eine [Un]bequemlichkeit. Das zugrunde liegende Problem ist, dass die SI-Länge eine Norm in einem 3D-Raum ist (kein Name). Hier endet der Beweis, dass 1=3.

Winkel sind definiert als das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius multipliziert mit einer Konstanten k was im Bogenmaß gleich eins ist, 360 / 2 π für Abschlüsse. Was Sie effektiv fragen, ist, was an der Einstellung natürlich ist k = 1? Wieder ist es Ordnung, wie in der alternativen Antwort von dmckee ausgeführt.

Menschen nennen Dinge "natürlich", wenn sie Formeln vereinfachen.

B. bei einem durchdrehenden Rad die Geschwindigkeit v eines Punktes am Umfang ist intuitiv proportional zur Drehzahl ω und Radius r . Wird die Drehzahl in Radianten pro Sekunde gemessen, dann sind die exakte Formel und die intuitive identisch:

v = r ω

eher als etwas Hässliches r ω ( π / 180 ) .

Ich denke, das Obige ist aus physikalischer Sicht die beste Antwort, obwohl Radianten an vielen Stellen verwendet werden, an denen ich sie für dumm halte. Zum Beispiel verwendet der „rotate“-Befehl des JavaScript-Grafikkontexts Winkel, die im Bogenmaß angegeben sind, was bedeutet, dass das Durchführen von vier 90-Grad-Drehungen seinen Zustand etwas anders als am Anfang hinterlassen wird.
@supercat: Ich erinnere mich an eine Debatte vor einiger Zeit, bei der die Konvention von 360 Grad auf 400 geändert wurde. Das hätte es den Fliegern leichter gemacht, die Dinge im Kopf berechnen müssen wie: "Angenommen, Ihr aktueller Kurs ist a , in welche Richtung würden Sie sich drehen, um eine 180-Grad-Wende zu machen?" Es ist nicht so, dass man einen Fehler machen möchte. Glücklicherweise können sie es, wenn sie geistesgegenwärtig sind, einfach von ihrer Kreiselkompasskarte ablesen .

Ich denke, ein Teil dessen, was ich suche, ist eine Erklärung, warum der Radius der wichtigste Teil eines Kreises ist.

Der wichtigste Teil eines Kreises ist der Ort der Punkte, aus denen er besteht. Ohne das haben Sie keinen Kreis.

Der Radius ist bei der Definition von "Kreis" wichtig, aber die Definition von "Kreis" ist nicht mit jedem Kreis identisch.

Das Bogenmaß ist definiert als „ das Verhältnis zwischen der Länge eines Bogens und seinem Radius “.

θ = s / r

Aus diesem Grund ist es "natürlicher" als andere Winkelmaße: Der Winkel im Bogenmaß ist die normalisierte Bogenlänge, dh das Winkelmaß im Bogenmaß ist die Bogenlänge für den Einheitsradius .

BEARBEITEN: um auf die zahlreichen Kommentare einzugehen, die Zendmailer zu anderen Antworten gemacht hat.

fragt Zendmailer

Was ich jetzt frage, ist, wenn sie tatsächlich natürlich sind, wie passt die Behauptung, dass 1 Radiant = 1 ist?

Für jedes Winkelmaß a , haben wir das fast triviale Ergebnis:

1 a = 1

Dass 1 Radiant = 1 ist, hat also nichts mit der Frage der Natürlichkeit zu tun .

Wie ich in einem Kommentar zu einer anderen Antwort erklärt habe, ist die Rechtfertigung für die Natürlichkeit des Bogenmaßes als Winkelmaß geometrisch .

Man kann einen Kreis konstruieren, indem man an einem Ende eine Schnur befestigt, die Mitte des Kreises, und einen Bleistift. Während er die Schnur verspottet, zeichnet der Bleistift den Ort der Punkte nach, aus denen der Kreis besteht. Der Radius des Kreises ist die Länge der Schnur.

Was ist danach die natürlichste Methode, um die Länge entlang des Kreises zu messen? Legen Sie die Schnur entlang des Umfangs. Die Bogenlänge beträgt genau 1 Radius. Der Winkel, der dieser Bogenlänge gegenübersteht, ist ein natürliches Winkelmaß, das Bogenmaß.

Der Winkel ist die Bogenlänge dividiert durch den Radius, sodass das Winkelmaß im Bogenmaß direkt die Bogenlänge als Vielfaches des Radius angibt.

Möchten 1 Rad = 1 im Gradsystem falsch sein? Daher die Wahrheit von 1 Rad = 1 ist sozial, und David Zaslavskys Aussage, dass „Grad“ ein ausgefallener Name für ist π 180 gilt nur innerhalb des Radiantsystems? (Entschuldigung, dass ich mit all diesen Fragen fortfahre. Ich versuche wirklich nur zu verstehen)
@Zendmailer, 1 Radiant = 1 ist immer aus dem gleichen Grund wahr 1 k m 1 k m = 1 ist immer wahr , unabhängig von sozialen Konventionen, unabhängig davon, in welchem ​​​​System man sich befindet. Es ist wahr, wenn man es überprüft.
Okay. Wenn ich mich nicht irre, bedeutet dies nicht, dass Physikslover falsch sagt , dass es vom System abhängt, da 1 Bogenmaß nicht dasselbe ist wie 1 Grad?
@Zendmailer, wenn wir uns entscheiden, den Umfang eines Kreises zu unterteilen in n Einheiten , die Bogenlänge jeder Einheit, normalisiert auf den Radius , ist 2 π n . Beachten Sie, dass dies eine dimensionslose Zahl ist. Der Winkel, der dieser Bogenlänge zugeordnet ist, beträgt 1 Winkeleinheit und es gibt n Winkeleinheiten in einem Kreis. Beachten Sie, dass dies unabhängig von unserer Wahl für gilt n . Unsere Wahl für n beeinflusst die normalisierte Bogenlänge , die unserer Winkeleinheit zugeordnet ist, aber 1 Winkeleinheit = 1 immer.
Wenn Sie sagen 1 Winkeleinheit = 1 immer, bedeutet dies 1 Grad = 1 immer ( n = 360 ), Rechts? Und wann n = 2 π wir haben immer 1 Radiant = 1. Warum ist es nicht gültig, sie zu vergleichen und zu sagen: 1 Bogenmaß = 1 = 1 Grad, wenn wir das Wort „immer“ verwendet haben?
@Zendmailer, weil die Normalisierungen unterschiedlich sind. Wir scheinen uns, kein Wortspiel beabsichtigt, im Kreis zu drehen.

Lassen Sie mich einige Hintergrundfakten nennen, die sich auf Ihre Fragen beziehen könnten, und ich hoffe, dass sie Ihnen helfen werden, die von anderen geposteten Antworten zu verstehen.

  1. Es gibt einen Unterschied zwischen Einheiten und Dimensionen. Jede Menge, die Dimensionen trägt, muss Einheiten tragen.
  2. Das Gegenteil zur vorherigen Aussage ist nicht immer richtig, zum Beispiel haben Winkel überhaupt keine Dimensionen, weil sie per Definition Länge/Länge sind, aber sie haben Einheiten. Die Einheit wird in diesem Fall verwendet, um die Größe als Winkel zu identifizieren.
  3. Winkel können in Grad und in Bogenmaß gemessen werden, genauso wie Entfernungen in Zentimetern oder Zoll gemessen werden können. Folglich muss es einen Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Einheiten geben.
  4. Verwenden π Radiant = 180 Grad, das sieht man 1   r a d = 180 ∘ / π = 180 ∘ / 3.14 ≃ 57.3 ∘ . Das heißt 1 rad = 57,3 Grad (um es in einer ähnlichen Form auszudrücken wie etwa 1 Zoll = 2,54 cm).
  5. Per Definition θ = s r Rad, wo s ist die Länge des Bogens, der dem Winkel und gegenüberliegt r ist der Radius des Kreises. Beachten Sie, dass der vorherige Ausdruck für den Winkel den Winkel im Bogenmaß angibt. Wenn Sie es in Grad wollen, dann sieht es so aus, θ = s r 180 ∘ π . Wie Sie sehen, ist der Ausdruck im Bogenmaß viel einfacher und daher natürlich, wie von Mike Dunlavey hervorgehoben.
  6. Wenn Sie ein Teilchen haben, das sich um einen Kreis mit konstantem Radius dreht r , dann aus der Gleichung θ = s r rad Sie können sehen, dass wir bekommen können ω = v r rad pro Zeiteinheit (wobei definitionsgemäß ω = d θ d t und v = d s d t ). Auch hier wird die Gleichung für die Winkelgeschwindigkeit, wie von Mike betont, einen zusätzlichen Faktor von haben 180 ∘ / π Hätten wir gewollt, dass die Winkelgeschwindigkeit in Grad pro Zeiteinheit statt in rad pro Zeiteinheit ausgedrückt wird.
  7. Wenn ein Winkel, ausgedrückt in Bogenmaß oder Grad, eine Entfernungseinheit multipliziert, sagen wir, die verbleibende Einheit ist die der Entfernung. Zum Beispiel: gegeben ω = 2 r a d / s und r = 1 c m , somit r ω = 2 c m / s . Deshalb kann man in diesem Fall sagen 1 rad = 1.
Die Schwierigkeit bei Punkt 2 besteht darin, dass die beiden Längen in unabhängigen Dimensionen liegen (wie im 3D-Raum). Man hat gerade Lx/Ly gestrichen und Informationen für die eigene Dimensionsanalyse verloren (das ist eine Physik-Frage;-). Wenn man dasselbe mit Ladung/Temperatur machen würde, wäre es ein grober Fehler, aber wir tolerieren es für die Länge. Die Dimensionsanalyse ist neuer als die Elle, daher bleibt die alte Inkonsistenz bestehen.
@PhilipOakley Wenn wir 2 Längen teilen, kümmert es niemanden, ob sie in derselben Richtung liegen oder nicht, Einheiten sind nicht an Richtungen gebunden
Jeder, der in der Optik arbeitet, kümmert sich definitiv darum. Es gibt viele Messungen, die Winkel (Bogenmaß) als integralen Bestandteil ihres Werts haben, und es ist ein sehr häufiger Fehler, der bei der Dimensionsprüfung nicht erkannt wird, wenn der Winkelteil weggelassen, doppelt gezählt oder falsch angewendet wird.
Ich habe hier ähnliche Punkte gemacht , obwohl wir uns in Ihren Punkten 5-7 leicht unterscheiden (Punkt 7 ist maßlich inkonsistent, weil Sie behandeln θ in s = r θ als Bogenmaß, während ich ihn als numerischen, dh einheitenlosen Wert des Bogenmaßes behandle).

Der Grund für die Einführung des Bogenmaßes war, dass es einfach war, den Umfang eines Kreises als 2*Pi in Beziehung zu setzen, wenn der Radius eine Einheit war. So etwas wie 360 ​​Grad gibt es nicht (es war früher ein Missverständnis, dass ein Jahr aus 360 Tagen besteht, also nahmen sie es 360). Aus der heutigen Statistik soll es 365 1/4 sein, aber es ändert nichts an den Berechnungen und die Ergebnisse werden automatisch bei der Berechnung angepasst.

Berechnungen waren einfach mit Pi statt Grad, Minuten, Sekunde zu manipulieren, und beide sind austauschbar. So wurde ein Trost zur Tradition.

Ich meine mich zu erinnern, als man überlegte, den Kreis in 400 "Grad" zu unterteilen, um die Navigation etwas weniger fehleranfällig zu machen. So müssen Piloten nur "wissen", dass 7 und 25 gegenüberliegende Enden einer Landebahn sind, und wirklich sehr vorsichtig sein, 13 und 31 nicht zu verwechseln.
Die Babalonyons begannen mit den 360-Grad-Dingen, weil sie kein vollständig allgemeines System für den Umgang mit Nicht-Ganzzahlen hatten und Basen mochten, die viele verschiedene Arten sauber trennten . Sie hatten auch eine ziemlich fortgeschrittene Astronomie und wussten sicherlich, dass das Jahr nicht 360 Tage hat .
@dmckee: Danke, dass du mich mit diesem Link korrigiert hast, aber ich teile etwas, das ich vor einiger Zeit einmal in einem Buch über Differentialrechnungen gelesen habe. Buch ist "Introduction to Differential Calculus: Systematic Studies with Engineering By Ulrich L. Rohde, GC Jain, Ajay K. Poddar, AK Ghosh" Seite Nr. 99 in der letzten Fußnote !!
Warum ist Radiant natürlicher als jede andere Winkeleinheit?
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