Gilt das Ohmsche Gesetz in einer RLC-Schaltung?

Question

Gilt das Ohmsche Gesetz in einer RLC-Schaltung?

SalahTheGoat

Angenommen, ich habe die RC-Schaltung mit freier Quelle wie unten gezeigt (ich beziehe mich auf Abbildung a , nicht auf Abbildung b ):

Text

Daraus kann ich leicht berechnen, dass die Ladung auf dem Kondensator eine Funktion der Zeit ist

Q (T) = Q_{0} e^{- \frac{T}{R C}}

$Q(t)=Q_0 e^{-\frac{t}{RC}}$ Wo

Q_{0}

$Q_0$ ist die Anfangsladung des Kondensators.

Das merke ich mir dann $I=-\frac{dQ}{dt}$ und so die Ableitung meiner berechneten Formel nehmen $Q(t)=Q_0 e^{-\frac{t}{RC}}$ Ich verstehe, dass der Strom als Funktion der Zeit ist

ICH (T) = \frac{Q_{0}}{R C} e^{- \frac{T}{R C}}

$I(t)=\frac{Q_0}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}$

Aber jetzt nach dem Ohmschen Gesetz ( $V=I\cdot R$ ) Ich kann die Spannung als Funktion der Zeit erhalten, indem ich einfach meine Funktion multipliziere $I(t)=\frac{Q_0}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}$ von $R$ , damit ich habe

v (T) = \frac{Q_{0}}{C} e^{- \frac{T}{R C}}

$V(t)=\frac{Q_0}{C}e^{-\frac{t}{RC}}$ oder seit

V_{0} = \frac{Q_{0}}{C}

$V_0 =\frac{Q_0}{C}$ Ich bekomme

v (T) = v_{0} e^{- \frac{T}{R C}}

$V(t)=V_0 e^{-\frac{t}{RC}}$

Ich weiß, dass dies die richtige Antwort ist, da mehrere Quellen dies bestätigen. Aber nehmen wir jetzt an, ich habe eine quellenfreie RLC-Entladeschaltung wie die hier gezeigte.

Text

Mein Lehrbuch (Elektrizität und Magnetismus, Purcell und Morin) berechnet, dass die Spannung in Bezug auf die Zeit die Form hat

v (T) = e^{- a T} (A C Ö S (ω T) + B S ich N (ω T))

$V(t)=e^{-\alpha t}(Acos(\omega t)+Bsin(\omega t))$ und ich kann leicht den Schritten folgen, warum.

Dann haben wir das für unsere Schaltung $I=-C\frac{dV}{dt}$ , können wir den Strom berechnen, indem wir die Spannungsformel ableiten, und wir bekommen das

ICH (T) = - C \frac{D v}{D T} = A C ω (Sünde (ω T) + \frac{a}{ω} \cos (ω T)) e^{- a T}

$I(t)=-C\frac{dV}{dt}=AC\omega (\sin(\omega t)+\frac{\alpha}{\omega}\cos(\omega t))e^{-\alpha t}$

Aber jetzt, wenn ich einfach das Ohmsche Gesetz anwende, indem ich die ursprüngliche Gleichung für durch Spannung dividiere $V(t)=e^{-\alpha t}(Acos(\omega t)+Bsin(\omega t))$ von $R$ Ich bekomme eine ganz andere Antwort:

ICH (T) = \frac{1}{R} e^{- a T} (A C Ö S (ω T) + B S ich N (ω T))

$I(t)=\frac{1}{R}e^{-\alpha t}(Acos(\omega t)+Bsin(\omega t))$

Bei dieser Form der Antwort scheint die Phasendifferenz zwischen Strom und Spannung vollständig verschwunden zu sein, warum also führt die einfache Anwendung des Ohmschen Gesetzes nicht zum richtigen Ergebnis?

Chu

Beachten Sie zusätzlich zu den folgenden Antworten, dass Ihre Differenzierung falsch ist: (i) Sie müssen die Produktregel anwenden; und (ii)

\frac{d}{d t} c o s ω t = - ω s i n ω t

$\frac{d}{dt}\:cos\: \omega t = -\omega\: sin\:\omega t$

Antworten (3)

Gilt das Ohmsche Gesetz in einer RLC-Schaltung?

Beachten Sie zusätzlich zu den folgenden Antworten, dass Ihre Differenzierung falsch ist: (i) Sie müssen die Produktregel anwenden; und (ii) $\frac{d}{dt}\:cos\: \omega t = -\omega\: sin\:\omega t$

Peter Grün · Answer 1

Peter Grün

Anfänger vermasseln normalerweise das Ohmsche Gesetz, indem sie sich nicht klar darüber sind, auf welche Spannung und/oder welchen Strom sie sich beziehen.

Das Ohmsche Gesetz bezieht die Spannung über dem Widerstand auf den Strom durch den Widerstand.

"V" in Ihrem Diagramm ist nicht die Spannung über dem Widerstand; es ist die Spannung über dem Kondensator.

SalahTheGoat

Okay, das macht absolut Sinn. Nur um es klar zu sagen: In meinem ersten Diagramm ist die Spannung über dem Widerstand immer gleich der Spannung über dem Kondensator, also kann ich einfach durch den Widerstand des Widerstands teilen, da wir vom Ohm-Gesetz haben

V_{r e s i s t o r} = I R

$V_{resistor}=IR$ aber das wissen wir

V_{r e s i s t o r} = V_{c a p a c i t o r}

$V_{resistor}=V_{capacitor}$ das können wir also genauso gut sagen

V_{c a p a c i t o r} = I R

$V_{capacitor}=IR$ . Aber im Fall meines zweiten Diagramms ist die Formel für die Spannung die Spannung über dem Kondensator und ist nicht immer gleich der Spannung über dem Widerstand, und daher können wir nicht dieselbe Argumentation anwenden, oder?

Peter Grün

Richtig (Achten Sie auch auf Schilder, es ist leicht, sie zu vermasseln)

Eiserne Jungfrau · Answer 2

Die Spannung in Ihrer Abbildung ist nicht die über dem Widerstand, daher funktioniert sie nicht wie beabsichtigt und führt zu falschen Ergebnissen.

Denken Sie auch daran, dass bei Kondensatoren und Induktivitäten die Verwendung von Phasoren oder der Laplace-Transformation all Ihre Zeitbereichsberechnungen erleichtern kann. Ein schnelles Verständnis der MATLAB-Funktionen kann Ihnen viele Gleichungen für größere Schaltungen lösen, was viele Sinus- und Cosinuswerte verbrauchen würde , Aufwand reduzieren und am Ende nur das übrig lassen, was wirklich wichtig ist.

Tony Stewart EE75 · Answer 3

Das Ohmsche Gesetz funktioniert am besten unter Verwendung von Z(f) für jeden Teil mit dem Signalspektrum und nicht mit dem Zeitbereich.

ZL(f)=j 2pi * f L ,
Zc(f)=1/(j 2pi*f C)=-j/(2pi * f * C)

Ein Stufeneingang ist ein breites Spektrum. Wenn Sie also einen Zeitbereich benötigen, verwenden Sie asymptotisches Tau=RC als 63 % Zielspannung, abgeleitet von (e-1)/e≈0,63.

Was meinst du mit "für jeden Teil mit dem Signalspektrum" ? Können Sie das näher erläutern? Was sind zB Teile? - real und imaginär (komplexe Zahlen)? Ableitung der Impedanz aus Frequenzmessungen (Amplitude und Phase)?

Gilt das Ohmsche Gesetz in einer RLC-Schaltung?

SalahTheGoat

Chu

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Peter Grün

SalahTheGoat

Peter Grün

Eiserne Jungfrau

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Tony Stewart EE75

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