Wie analysiert man eine ideale Diodenschaltung mit sinusförmigen Quellen und Speicherelementen (Induktoren und Kondensatoren)?

Aus diesem Grund wurden Simulatoren entwickelt, denn selbst mit der Diode allein wird es kompliziert.

Betrachten Sie den Fall einer Diode als Halbwellengleichrichter, der eine RL-Last antreibt (dh Ihr Bild ohne D2). Für eine mathematische Analyse sollte die Diode ideal sein. Dies würde bedeuten, dass für die 1. Hälfte der Periode die Diode kurzgeschlossen und für die 2. Hälfte der Stromkreis getrennt wird. Da sich dort jedoch ein reaktives Element befindet, stoppt der Strom nicht, wenn die Eingangsspannung auf Null abfallen würde. Dann fließt der Induktorstrom tendenziell in die andere Richtung und spannt die Diode in Vorwärtsrichtung vor.

Aber zuerst analysieren wir die Schaltung ohne die Diode: eine einfache Serie RL. Die Gleichungen wären:

$$L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}+R\,i(t)=0$$

mit der Lösung:

$$i(t)=i(0)e^{-{L\over R}t}\tag{1}$$

Zu lösen$i(t)$:

$$\begin{align} Z&=\sqrt{R^2+\omega^2L^2} \\ L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}+R\,i(t)&=V\sin(\omega t) \\ i_{\mathrm{steady}}(t)&={V\over Z}\sin(\omega t-\phi)\tag{2} \\ \phi&=\arctan{{\omega L\over R}} \\ i(0)&={V\over Z}\sin(\phi) \end{align}$$

So wäre der Ausdruck des Gesamtstroms$(1)$Plus$(2)$:

$$i(t)={V\over Z}\left[\sin(\omega t-\phi)+\sin{\phi}e^{-{R\over L}t}\right]\tag{3}$$

Wenn sie den berechneten Strom nebeneinander neben einer SPICE-Simulation darstellen, würden sie zustimmen:

Wenn die Diode in der Schaltung berücksichtigt werden soll, gilt die obige Gleichung nur für die erste Hälfte der Periode plus den Teil, in dem die Diode durch die induzierte Spannung in Vorwärtsrichtung vorgespannt ist. An diesem Punkt ist der Strom Null, bis die 2. Periode beginnt, wenn der Zyklus fortgesetzt wird. Unten sind die Wellenformen für das einfache RL und für das RL+D dargestellt:

Bis jetzt sieht es also so aus, als könnten die Dinge selbst mit der Diode ziemlich einfach analytisch gelöst werden. Aber wenn Sie das aus Ihrem Bild einfügen, D2wird die Sache komplizierter. Bisher gab es nur einen Teil, wenn die Diode eingeschaltet war, und wenn sie ausgeschaltet war, und dies waren zwei Zustände, die getrennt und "zusammengefügt" werden konnten, um die gewünschte Wellenform zu ergeben. Bei zwei Dioden gibt es nun 4 Zustände, die durch D1Ein / Aus und D2Ein / Aus gebildet werden. In jedem von ihnen passieren verschiedene Dinge, die jeweils das nächste beeinflussen:

• in der 1. Hälfte der Periode steigt der Strom entsprechend an$(3)$.
• dann spannt die induzierte Spannung in Vorwärtsrichtung vor D2, nicht D1, was bis zur nächsten Periode leitet, aber es beginnt damit, dort fortzufahren, wo D1es endete.
• D1beginnt erneut zu leiten, aber dieses Mal gibt es keine Null-Anfangsbedingungen mehr, was bedeutet, dass die Wellenformen für die beiden vorherigen Zustände die Werte der Anfangsbedingungen für jeden des nächsten Teils bestimmen.
• usw

Was bleibt, ist die Übergangslösung,$(1)$, was am langsam ansteigenden Mittelwert der Summe der beiden Ströme sichtbar ist, und der Lösung für den Strom durch D1( I(R1), grün), aber nur für die erste Hälfte des Zeitraums -- es ist zu erkennen, dass die Wellenformen in übereinstimmen diese Zeitspanne.

Der Strom durch D2kann auch abgeleitet werden (ähnlich wie$(3)$) und berechnet, aber wie erwähnt ändern sich die Anfangsbedingungen immer, bis der stationäre Zustand erreicht ist. Jede nächste Halbperiode hat also unterschiedliche Lösungen mit Anfangsbedingungen, die auf den vorherigen Halbperioden basieren.

Selbst wenn ich an dieser Stelle die andere Formel ableiten könnte (auf die gleiche Weise, aber die Spannung hat eine Verschiebung), würde ich es lieber nicht tun, weil ich hoffe, dass Sie sehen können, warum die Simulatoren an dieser Stelle verwendet werden. Und wenn Sie denken, dass der Simulator die Schaltung in Formeln zerlegt, muss ich Sie enttäuschen, weil er nichts anderes tut, als eine Matrix aus Spannungen, Strömen, Widerständen, Leitwerten, was Sie haben (Simulator-spezifisch), zu erstellen und dann löst dies numerisch . Es hat keine Ahnung von komplexen Operatoren, Phasoren und dergleichen. Es knirscht einfach Zahlen, bis eine Konvergenz erreicht ist, an welcher Stelle es das Ergebnis für zufriedenstellend erklärt.