Hat ein nichtsphärisches Schwarzes Loch eine Massenverteilung wie ein leerer Körper, ein fester Körper oder ein spitzes Objekt?

Vorbehaltsleser: Die aktuelle Community, die über diese Antwort abstimmt, legt nahe, dass sie nicht genügend Haftungsausschlüsse darüber enthält, wie das Mischen klassischer und relativistischer Berechnungen ein Rezept ist, um Dinge zu sagen, die auf gelehrte Weise keinen Sinn ergeben. Nach ungefähr jedem Satz sollte ein solcher Haftungsausschluss stehen. Siehe auch die Kommentare. Das gesagt:

Sie können die Massenverteilung eines kugelsymmetrischen Objekts untersuchen, indem Sie es drehen und sein Trägheitsmoment messen.$I = J/\Omega$. Eine solide klassische Kugel mit Masse$M$und Radius$R$hat$I_\text{solid}=\frac25MR^2$, während eine dünne Kugelschale bei gleicher Masse und Radius den größeren hat$I_\text{shell}=\frac23MR^2$weil mehr Masse weiter von der Rotationsachse entfernt ist.

Ein rotierendes Schwarzes Loch hat eine nichtlineare Beziehung zwischen$J$Und$\Omega$. Unter Verwendung dieser Notation ( siehe auch ) einschließlich des Gravitationsradius$R_G = GM/c^2$, es gibt einen Parameter$-\pi/2 \leq \Phi \leq \pi/2$was die Drehung durch charakterisiert

$$a = \frac{J}{Mc} = R_G\cos\Phi$$

In diesem Fall$\Phi=0$(oder$a=R_G$) entspricht einem maximal rotierenden Kerr-Schwarzen Loch und$|\Phi|=\pi/2$kollabiert auf das nicht drehbare Gehäuse. Das rotierende Schwarze Loch hat „äußere“ und „innere“ Ereignishorizonte mit Radien

$$r_\pm = R_G\cdot(1\pm\sin\Phi) = R_G \pm \sqrt{R_G^2 - a^2}$$

Der Außenradius,$r_+\to2R_G$, ist der Schwartzchild-Radius, die Größe des Ereignishorizonts in der nicht rotierenden Grenze. Es gibt auch Winkelfrequenzen, die mit diesen Horizonten verbunden sind,

$$\begin{align} \Omega_\pm &= \frac{c\cos\Phi}{2r_\pm} = \frac{ca}{2R_G^2 \pm 2R_G\sqrt{R_G^2 - a^2}}, \end{align}$$

obwohl Dolmetschen$\Omega$da die Winkelfrequenz eines starren klassischen Objekts einige heikle Fragen aufwirft. Die Definition kann nach dem spezifischen Drehimpuls gelöst werden$a$:

$$\begin{align} a = \frac{J}{Mc} &= \frac\Omega{c} \frac{4R^2}{1 + (2R\Omega/c)^2} \quad(\text{both of }\Omega_\pm) \\ J &= \frac{4}{1 + (2R\Omega/c)^2}\times MR^2\Omega \end{align}$$

Dies legt nahe, dass Sie ein "Trägheitsmoment" in Betracht ziehen könnten.$I=J/\Omega$von

$$\begin{align} I_\text{slow} &\approx 4MR_G^2 \approx Mr_+^2 \\ I_\text{max} &= 2MR_G^2 = 2Mr_+^2 \end{align}$$

Das ist interessant. Beim Auffinden von Trägheitsmomenten in der klassischen Physik findet man immer$I=fMR^2$durch Dimensionsanalyse, und wenn der Radius$R$ist die maximale Größe des rotierenden Objekts, die man immer findet$f\leq1$. Für beide Grenzen des Trägheitsmoments gilt hier der Koeffizient$f\gt1$, was (kombiniert mit der Standardannahme einer sphärischen Symmetrie) darauf hindeutet$R_G$ist eine Unterschätzung der klassischen Größe der rotierenden Massenverteilung. Wenn Sie eine Massekugel wollten$M$Um das gleiche klassisch berechnete Trägheitsmoment wie ein nicht oder langsam rotierendes Schwarzes Loch mit dieser Masse zu haben, würden Sie eine Kugelhülle oder eine Kugel mit einheitlicher Dichte mit einem Radius erstellen, der größer ist als der Schwartzchild-Radius des Ereignishorizonts. (Eine dünne hohle Schale würde gehen$\sqrt6 R_G = 1.23 r_+$.) Das sich maximal drehende Schwarze Loch, das einen äußeren Ereignishorizont von Größe hat$r_+=R_G$, hat ebenfalls ein "zu großes" Trägheitsmoment.

Schlussfolgerung : Verwendung klassischer Trägheitsmomentüberlegungen zur Datenanalyse$J/\Omega$denn rotierende Schwarze Löcher würden dazu führen, dass einige oder alle ihrer Massenverteilung außerhalb ihres Ereignishorizonts liegen müssten.

Ich persönlich finde diese Art von Befriedigung auf eine mit der Hand winkende, nicht mathematische Art und Weise. Schließlich interagieren wir nicht mehr mit Materie, die den Ereignishorizont überschritten hat. Wenn die Masse-Energie-Verteilung eines Schwarzen Lochs tatsächlich innerhalb seines Ereignishorizonts gefunden würde, wären wir nicht in der Lage, mit ihm zu interagieren? Beim Elektromagnetismus wird Energie in den Feldern gespeichert , und das Gravitationsfeld eines Schwarzen Lochs erstreckt sich sicherlich über seinen Horizont hinaus, daher ist es vielleicht nicht verrückt, einen Teil der Energiedichte in der Nähe, aber außerhalb des Ereignishorizonts zu lokalisieren. Aber diese handgewellte Interpretation würde wahrscheinlich den Kontakt mit einem sorgfältigen Relativisten nicht überleben.