Helfen Sie mir, ein Wärmeleitungs-/Emissionsübertragungsproblem zu lösen. Mathematica hat mich enttäuscht

Mein Problem: Ein dünnwandiger Schlauch (Länge$L$, Durchmesser$D$und Wandstärke$t \ll D$) befindet sich in einem Vakuum. Es wird an einem Ende (at$x=0$) durch eine Wärmequelle bei konstanter Temperatur$T(0)=T_0$. Die einzige Möglichkeit, Wärme abzuleiten, ist Strahlung. Ich gehe davon aus, dass die Emission nur von der Außenfläche des Rohrs erfolgt. Die Leitfähigkeit des Rohres ist$k$In$[W/mK]$und der Emissionsgrad$\epsilon$. Was ist das Gleichgewichtstemperaturprofil?$T(x)$im Rohr? (eine numerische Annäherung reicht).

Mein Versuch:

In einem stationären Zustand,

$$\begin{equation} Q_{in} = Q_{out} \end{equation}$$

Aus dem Fourierschen Gesetz der Wärmeleitung ergibt sich die durch den Endabschnitt eintretende Wärme

$$\begin{equation} Q_{in} = -k \frac{dT}{dx}\Big|_{x=0} \times \pi Dt \end{equation}$$

Aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz der Schwarzkörperstrahlung ergibt sich die durch die Außenfläche der Röhre abgeführte Wärme durch

$$\begin{equation} Q_{out} = \int_0^L \epsilon \sigma T^4 \mathrm{d}x \times \pi D \end{equation}$$

Wenn man die beiden gleichsetzt, wird das Problem

$$\begin{equation} -\frac{kt}{\epsilon \sigma} \frac{dT}{dx}\Big|_{x=0} = \int_0^L T^4 \mathrm{d}x,\ \ \ T(0) = T_0 \end{equation}$$

Der Versuch, dies in Mathematica zu lösen, ist hoffnungslos. Mache ich etwas falsch? Wie finde ich eine lokale Differentialform der Gleichung? Kann ich es weiter vereinfachen?

Vielen Dank für Ihre Hilfe.