Temperatur einer sich in der Sonne erwärmenden Kugel (mittlerer Emissionsgrad der Kugel unbekannt)

Ich hänge bei folgender Übung fest:

Stellen Sie sich eine mattweiß lackierte Aluminiumkugel mit einem Emissionsgrad von vor$\epsilon=0.10$bei sichtbaren Wellenlängen u$\epsilon=0.95$bei Wellenlängen länger als$5\text{ }\mu\text{m}$. Diese Kugel umkreist die Sonne und erhält einen Energiefluss von$R_{sun}=1330\text{ Wm}^{-2}$. Finden Sie die stationäre Temperatur der Kugel. Ermitteln Sie die Spitzenwellenlänge der abgestrahlten Energie und bestimmen Sie deren Wert$\epsilon$sollte zur Berechnung der abgestrahlten Energie verwendet werden.

Jetzt habe ich zuerst erkannt, dass die Kugel mit Radius$r$empfängt die Strahlung der Sonne nur auf einer Fläche von$\pi r^2$während er in der Lage ist, Strahlung über seine gesamte Fläche zu emittieren$4\pi r^2$. Der von der Kugel abgegebene Leistungsfluss sollte also ein Viertel des empfangenen Leistungsflusses betragen:

Viel weiter komme ich aber nicht. Ich möchte die Temperatur weiter berechnen, zum Beispiel mit$R=\epsilon_{avg}\sigma T^4$, aber der durchschnittliche Emissionsgrad ist abhängig von der Temperatur und ich weiß es nicht einmal$\epsilon$für die meisten Wellenlängen, also ist das nicht wirklich eine Option. Die einzige andere relevante Gleichung, die ich kenne, ist das Plancksche Gesetz:

Aber$\epsilon$ist nur für sichtbares Licht und Wellenlängen größer als 5 Mikrometer gegeben. Ich dachte darüber nach, die Lücke zwischen denen mit einer linearen Funktion wie folgt zu approximieren:

aber selbst damit weiß ich nicht, wie ich das Plancksche Gesetz verwenden könnte, um die Temperatur zu berechnen. Irgendwelche Ideen werden sehr geschätzt.