Historische Analyse der Lichtinterferenz - Differenzfrequenzen

Ich habe einige Quellen gefunden.

Mathematisch

Was den mathematischen Begriff „Beats“ betrifft, so scheint es, dass ein gewisser Ibn Yunus (ca. 950-1009) für den ersten Nachweis der trigonometrischen Identität verantwortlich war

$$\cos a \cos b = \frac 12 \left( \cos ( a + b) + \cos (a - b) \right )$$

Zitat aus A History of Mathematics von Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach

Mindestens eines davon, nämlich die Umwandlung eines Kosinusprodukts in eine Kosinussumme, war den Arabern zur Zeit von ibn-Yunus bekannt [...]

und aus der Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Band 1 von Ari Ben-Menahem

Ibn Yunus aus Kairo (gest. 1008), Alhazens Zeitgenosse und Landsmann (beide lebten in Ägypten), führte die Formel ein

$$2 \cos x \cos y = \cos (x + y ) + \cos (x - y)$$

aber mathe scheint dich nicht zu interessieren, obwohl man sagen könnte, dass das die grundlage für alles weitere ist.

Galileo und die Tonfrequenz

Vorweg: Dissonanzen im akustischen Bereich waren schon lange bekannt, aber die erste quantitative Diskussion des Phänomens der Schwebungen scheint auf Galileo zurückzuführen zu sein, spät am ersten Tag seiner Dialogues Concerning the Two World Systems , in denen wir uns befinden eine Diskussion, die darauf hindeutet, dass Schall eine oszillierende Welle ist und die Harmonien und Dissonanzen, die Menschen hören, anhand ihrer entsprechenden oder diskommensurablen Frequenzen verstanden werden können.

Salviati: [...] Ich behaupte, dass das Verhältnis eines musikalischen Intervalls nicht unmittelbar durch die Länge, Größe oder Spannung der Saiten bestimmt wird, sondern durch das Verhältnis ihrer Frequenzen, also durch die Anzahl der Impulse Luftwellen, die auf das Trommelfell des Ohrs treffen und es ebenfalls mit der gleichen Frequenz vibrieren lassen. Wenn wir diese Tatsache festgestellt haben, können wir möglicherweise erklären, warum bestimmte Tonpaare, die sich in der Tonhöhe unterscheiden, eine angenehme Empfindung hervorrufen, andere eine weniger angenehme Wirkung und wieder andere eine unangenehme Empfindung. Eine solche Erklärung käme einer Erklärung der mehr oder weniger vollkommenen Konsonanzen und Dissonanzen gleich. Die unangenehme Empfindung, die letztere hervorruft, entsteht, glaube ich, aus den disharmonischen Schwingungen zweier verschiedener Töne, die außer der Zeit [sproporzionatamente] ins Ohr schlagen.

[... lange, ziemlich verwirrende Beschreibung (wenn auch quantitativ) folgt ...]

Sagredo: Ich kann nicht länger schweigen; denn ich muss Ihnen die große Freude ausdrücken, die ich habe, eine so vollständige Erklärung von Phänomenen zu hören, in Bezug auf die ich so lange im Dunkeln war. Jetzt verstehe ich, warum Unisono sich nicht von einem einzelnen Ton unterscheidet; Ich verstehe, warum die Oktave die Hauptharmonie ist, aber so oft Unisono damit verwechselt wird und warum sie mit den anderen Harmonien auftritt. Es ähnelt Unisono, weil die Pulsationen von Saiten im Unisono immer gleichzeitig auftreten und die der unteren Saite der Oktave immer von denen der oberen Saite begleitet werden; und unter die letzteren wird ein einzelner Impuls in gleichen Intervallen und in einer solchen Weise eingefügt, dass er keine Störung hervorruft; Das Ergebnis ist, dass eine solche Harmonie etwas zu weich ist und es an Feuer mangelt. Aber die Quinte ist gekennzeichnet durch ihre verschobenen Schläge und durch die Einfügung von zwei einzelnen Schlägen der oberen Saite und einem einzelnen Schlag der unteren Saite zwischen jedes Paar gleichzeitiger Impulse; diese drei einsamen Impulse sind durch Zeitintervalle getrennt, die der Hälfte des Intervalls entsprechen, das jedes Pari simultaner Schläge von den einzelnen Schlägen der oberen Saite trennt. So bewirkt die Quinte ein Kitzeln des Trommelfells, so dass dessen Zartheit durch Spritzigkeit modifiziert wird und gleichzeitig den Eindruck eines sanften Kusses und eines Bisses erweckt. diese drei einsamen Impulse sind durch Zeitintervalle getrennt, die der Hälfte des Intervalls entsprechen, das jedes Pari simultaner Schläge von den einzelnen Schlägen der oberen Saite trennt. So bewirkt die Quinte ein Kitzeln des Trommelfells, so dass dessen Zartheit durch Spritzigkeit modifiziert wird und gleichzeitig den Eindruck eines sanften Kusses und eines Bisses erweckt. diese drei einsamen Impulse sind durch Zeitintervalle getrennt, die der Hälfte des Intervalls entsprechen, das jedes Pari simultaner Schläge von den einzelnen Schlägen der oberen Saite trennt. So bewirkt die Quinte ein Kitzeln des Trommelfells, so dass dessen Zartheit durch Spritzigkeit modifiziert wird und gleichzeitig den Eindruck eines sanften Kusses und eines Bisses erweckt.

Wir haben also zumindest bereits 1632 eine quantitative Diskussion des Phänomens der Schwebungen im akustischen Bereich.

Newton: Lichtfrequenz

Die erste Person, die eine frequenzartige Beziehung mit Licht vermutete, war Newton

Kann nicht die Harmonie und Disharmonie der Farben aus den Proportionen der Schwingungen entstehen, die sich durch die Fasern des Sehnervs ins Gehirn ausbreiten, wie die Harmonie und Disharmonie der Töne aus den Proportionen der Schwingungen der Luft entstehen?

(Aus Newtons Opticks Qu. 14. [gutenberg] )

und er machte auch einige frühe Beobachtungen von Interferenzphänomenen. Dass Young darauf verweisen wird, um seinen Fall aufzubauen.

Jung und leicht

Wenn wir ein wenig nach vorne springen, kommen wir zu 1802 und Youngs (Hutspitze zu Trimok ) Experimenten zur Interferenz von Licht . Er hielt einen langen Vortrag vor der Philosophical Society of London , in dem er einen schönen historischen Überblick über Lichtexperimente bis zu dieser Zeit gibt und vorschlägt, dass alle bekannten Phänomene mit einer Wellentheorie des Lichts erklärt werden können.

Ein Jahr später, 1803, und insbesondere sein Bericht über seine Experimente zur Interferenz von Licht an die Royal Society, wo wir einige Berichte über die Interferenz von Licht und eine Analogie zu akustischen Phänomenen haben. Sein Experiment war das ursprüngliche Double-Split-Experiment, bei dem er Interferenzstreifen beobachtete, die durch weißes Sonnenlicht verursacht wurden. Bei näherer Untersuchung kam er zu dem Schluss, dass die weißen Bänder tatsächlich eine Mischung aller Farben waren, und konnte leichte Farbabweichungen über den hellen Bändern selbst erkennen.

Seine Skizze der Interferenz von Wasserwellen, um das Phänomen zu veranschaulichen: (aus Wikipedia )

Seine vollständigen Vorlesungen zeigen, dass er ein gutes Verständnis für das Phänomen hatte, das letztendlich ein Ergebnis der Differenzphänomene ist, aber im Raumbereich statt im Frequenzbereich. So wie das Differenzphänomen im Frequenzbereich dazu verwendet werden kann, zwei benachbarte Signale zu nehmen und durch ihre Differenz ein Niederfrequenzsignal zu erzeugen, das leichter zu erkennen ist, bestand Youngs wahres Genie darin, zwei kleine Schlitze als Quellen von Kugelwellen zu verwenden und ihre zu verwenden kleine räumliche Trennung, damit er die sehr kleine Wellenlänge des Lichts quantitativ messen kann. In moderner Notation, auf dem Bildschirm, beobachtete er

$$2 \cos k\ell_1 \cos k\ell_2 = \cos\left( k (\ell_1 + \ell_2) \right) + \cos \left( k ( \ell_1 - \ell_2 ) \right)$$ Wo$\ell_1$ist die Entfernung, die das Licht von einem Loch zu einem bestimmten Punkt auf dem Bildschirm zurückgelegt hat, und$\ell_2$ist die Entfernung, die das Licht vom anderen Loch zurückgelegt hat. Dies ermöglichte ihm eine genaue Messung$k$, seit$\ell_1 - \ell_2$sehr klein war, konnte man hoffen, Ergebnisse der sehr kleinen Wellenlänge des Lichts (~500 nm) zu sehen. Indem Sie einfach verschiedene Positionen auf dem Bildschirm nach oben und unten betrachten, variieren Sie die$\ell_1 - \ell_2$und so sehen Sie für einen entfernten Bildschirm wo Fransen $$\theta \sim \frac{\lambda}{D}$$ wo$\theta$ist der Winkel, den der Teil des Bildschirms mit dem Punkt auf halbem Weg zwischen Ihren beiden Schlitzen bildet.

Es lohnt sich wirklich zu schätzen, wie genial der Apparat ist. Sie verwenden zwei interagierende Lichtquellen (aus den Schlitzen), so dass Sie durch das Differenzphänomen eine noch geringere Distanz erzeugen können, als Sie direkt aufbauen können. Dann nutzen Sie die Geometrie, um kleine Winkel zu nehmen und sie auf messbare Entfernungen zu verstärken, indem Sie einfach Ihre Beobachtungsplatte nach hinten bewegen.

Young hat das alles verstanden und sein Vortrag hat alle Details ausgearbeitet. Aus seinem Backerschen Vortrag 1803 :

Unter der Annahme, dass die dunkle Linie durch die erste Interferenz des von den Schneiden der Messer reflektierten Lichts entsteht, wobei das Licht in einer geraden Linie zwischen ihnen hindurchgeht, können wir durch Berechnung der Differenz der beiden Wege das Intervall für zuordnen das erste Verschwinden des hellsten Lichts [...] die zweite helle Linie soll einem doppelten Intervall entsprechen, die zweite dunkle Linie einem dreifachen Intervall, und die folgenden Linien hängen von einer Fortsetzung der Progression ab.

Hier reproduziere ich seine Tabelle:

Darin berechnet er den Wert von 0,0000149 Zoll oder 378 nm Licht. Was ziemlich gut für 1803 ist, wenn Sie mich fragen.

Er fährt fort, eine starke Analogie mit dem Differenzphänomen im Klang zu ziehen:

... Die Befürworter der Geschosshypothese des Lichts müssen sich überlegen, welches Glied in dieser Argumentationskette sie für das schwächste halten; denn bisher habe ich in dieser Abhandlung keinerlei allgemeine Hypothese aufgestellt. Aber da wir wissen, dass der Klang in konzentrischen Oberflächen auseinandergeht und dass musikalische Klänge aus entgegengesetzten Qualitäten bestehen, die sich gegenseitig neutralisieren können und in bestimmten Intervallen aufeinander folgen, die je nach Tonunterschied unterschiedlich sind , sind wir zu dem Schluss berechtigt , dass es eine starke Ähnlichkeit zwischen der Natur des Tons und der des Lichts geben muss.

So demonstriert Young 1803 direkt sein Wissen über das Differenzphänomen in der Akustik und versucht, es anzuwenden, um seine Beobachtungen zur Interferenz zu erklären. Er schlägt auch vor, dass es zu dieser Zeit im akustischen Bereich bekannt ist.

Savuer und Smith: Youngs Klanginspiration

Ich habe dann versucht, mehr Diskussionen über das Phänomen der Schwebungen in der Akustik zu finden, und die früheste Referenz, die ich finden konnte, um das Phänomen in modernen algebraischen Begriffen zu diskutieren, ist in Harmonics oder The Philosophy of Musical Sounds. Von Robert Smith , veröffentlicht 1759. Darin gibt er in Abschnitt VI eine angemessene mathematische Behandlung von Schlägen und erörtert, wie zwei Töne, die in der Frequenz nahe beieinander liegen, einen scheinbaren Ton mit einer Frequenz verursachen, die durch den Unterschied in ihren Frequenzen gegeben ist. Es ist ein bisschen schwer zu analysieren, da die Sprache sehr speziell ist, aber nur ein Ausschnitt, um zu zeigen, dass er auf dem richtigen Weg ist:

Coroll. 4. Da also musikalische Intervalle proportional sind zu den Logarithmen der Verhältnisse der Einzelschwingungen der Endlaute ($k$), wenn irgendein Teil oder Teile des Kommas$c$bezeichnet durch$\frac q p c$, sei das Intervall unvollkommener Unisonos, das Verhältnis der Zeiten ihrer einzelnen Schwingungen$161 p + q$zu$161 p - q$.

Es scheint auch, dass Lagrange 1758 in seiner Miscellanea Taurinensia die Akustik und im Besonderen diskutiert

Der Artikel schließt mit einer meisterhaften Diskussion über Echos, Beats und zusammengesetzte Klänge.

Obwohl ich es nicht geschafft habe, englische Übersetzungen zu finden, so dass ich es nicht bestätigen kann, scheint das Französische hier verfügbar zu sein .

Ein anderer Typ, der in akustischen Beats aktiv war, war Joseph Sauveur , der seine Arbeit 1701 der französischen Akademie vorstellte, obwohl ich nicht viele der Primärquellen auf Englisch finden kann, historische Berichte bestätigen, dass er auch daran gearbeitet hat. Smith's Harmonics erwähnt Sauveurs Arbeit, glaubt aber, dass er wegen einiger Details über Beats verwirrt war. Es gibt auch Hinweise darauf, dass Young Sauveurs sowie Smiths Arbeit gelesen hatte, was seine Vertrautheit mit dem Phänomen erklären könnte.

Zitat aus „Sounds of Our Times: Two Hundred Years of Acoustics“ von Robert T. Beyer

Sauveur kombinierte das Wissen um die Verhältnisse musikalischer Töne mit dem kürzlich beobachteten Phänomen der Schwebungen, um die tatsächlichen Frequenzen der Töne bestimmen zu können. Sauveur betrachtete zwei Orgelpfeifen, deren ziemlich tiefe Töne sich um einen Halbton unterschieden, der im Verhältnis 15 zu 16 stand. Sauveur konnte sechs Schläge zählen, wenn die beiden Pfeifen gleichzeitig erklangen, und ordnete ihnen daher die Frequenzen von 90 und 96 Schwingungen zu pro Sekunde.

Er zeigte, dass er das Differenzphänomen beherrschte.

Historische Zusammenfassung

Also, um ein bisschen zusammenzufassen. Das optische Phänomen wurde erstmals 1801 von Young vorgeschlagen (und im räumlichen Bereich in seinen Doppelspaltexperimenten beobachtet), in Analogie zu Schwebungen in der Akustik. Akustische Beats scheinen ihre erste quantitative Behandlung zu haben, die ich 1632 in Galileos Dialogues finden konnte, obwohl die Diskussion dort in Bezug auf Verhältnisse und dergleichen sehr altmodisch ist und die erste moderne algebraische Behandlung wahrscheinlich Sauveur im Jahr 1701 war, obwohl die meisten Die jüngste in Englisch, die ich finden kann, ist Smith's aus dem Jahr 1759. Natürlich wurde die primäre mathematische Identität, die dafür verantwortlich ist, erstmals irgendwann um das Jahr 1000 von Ibn Yunus herausgearbeitet.

Wenn man in der Zeit über Maxwell und Hertz und dergleichen hinaus bis nahe an die Jahrhundertwende (~1900) springt, machen einige Quellen deutlich, dass Wissenschaftler dieser Zeit Differenzfrequenzen vollständig verstehen.

Rayleigh

In On the Limit to Interference when Light is radiated from Moving Molecules By Lord Rayleigh im Jahr 1889 [doi] berechnet Lord Rayleigh, was der Titel andeutet.

Wir finden Folgendes:

Michelson

Ich habe gerade das Buch Light Waves and Their Uses von Albert Abraham Michelson gefunden, das 1903 veröffentlicht wurde, obwohl im Vorwort steht, dass es auf Vorlesungen basiert, die im Frühjahr 1899 am Lowell Institute gehalten wurden. Es ist kostenlos bei Google Books und archive.org erhältlich

Das Buch selbst ist eine beliebte Einführung in das Thema Licht und seine vielfältigen Einsatzmöglichkeiten, wie der Titel schon sagt.

In Kapitel 1: Wellenbewegung und Interferenz . Erstaunlicherweise folgt das Kapitel einem Großteil des Fortschritts dieses Beitrags. Michelson führt das Publikum in eine Wellentheorie des Lichts in Analogie zu Schall- und Wasserwellen ein. Er diskutiert alle Formen von Interferenzen, wiederum in Analogie zu Schall, und bietet dieses Bild:

Wie er das Interferenzphänomen und das Differenzphänomen in Worten erörtert.

Später in Kapitel IV: Anwendung von Interferenzmethoden auf die Spektroskopie erörtert er die Verwendung eines Interferometers zur Bestimmung der Wellenlänge von monochromatischem Licht, das von einer Natriumlampe (oder einem anderen Element) erzeugt und durch ein Prisma geschickt wird.

Er beschreibt weiter, wie man Interferenz verwenden kann, um den Frequenzunterschied der beiden Linien in der Natriumdublette zu messen:

Anschließend gibt er eine Einführung in die Verwendung eines harmonischen Analysators (ein verrücktes mechanisches Fourier-Analyse-Computerding) (auch das Thema einer kürzlich erschienenen Reihe von YouTube-Videovorträgen ) und präsentiert Ergebnisse, die für verschiedene Spektrallinienkombinationen generiert wurden:

Es gibt noch viel mehr, aber ich denke, ich habe es auf den Punkt gebracht. Beachten Sie, dass dies alles aus Vorträgen stammt, die Michelson 1899 hielt und einem populären Publikum präsentierte, was darauf hindeutet, dass dies zu dieser Zeit alles gut bekannt war. Es enthält außerdem Ergebnisse, die aus Experimenten mit monochromatischem Licht generiert wurden.

Das Buch ist wirklich eine sehr unterhaltsame Lektüre und ich kann es sehr empfehlen, nachdem ich es gelesen habe. Ich möchte auch darauf hinweisen, dass die Beschreibungen, die Michelson gibt, um zu erklären, wie die Differenzfrequenz in Experimenten verwendet werden kann, sich stark auf Verweise auf historische Berichte (die meisten von denen, die ich oben erwähnt habe) stützen und sich stark auf Analogien mit Ton stützen. Es ist klar, dass er und seine Zeitgenossen die Auswirkungen der unterschiedlichen Frequenzen vollständig verstanden haben, und legen nahe, dass die Wissenschaft als Ganzes sie in etwa so verstanden hat, wie ich es beschrieben habe, da die meisten Dinge in der Wissenschaft ein inkrementeller Prozess waren, der auf den Arbeiten von viele großartige Mitwirkende, über Jahrhunderte verteilt, alle vereint in ihrem Wunsch nach Verständnis.

Es scheint, dass Thomas Young (1773-1829) einer der ersten war, der sich für Schwebungen und Interferenzen interessierte, und tatsächlich scheint ihn das Konzept der Schwebungen zum Konzept der Interferenzen (ca$1801$), siehe Seite$92$dieser Referenz (nur auf Französisch). So heißt es beispielsweise (Seite$92$), (übersetzt ins Englische von Google):

Dies ist das Phänomen der Schwebungen, das die erste Young-Idee der Interferenzschwingungen angeregt zu haben scheint. Wellenbewegungen, bei denen die Schläge nicht das Ergebnis desselben Ursprungs oder derselben Periode sind; aber wenn die Perioden etwas verschieden sind, sind diese Schwingungen abwechselnd in denselben günstigen Bedingungen und ihrer Fähigkeit zu ihrer gegenseitigen Schwäche, und diese nachteiligen Wirkungen sind für das Ohr empfänglich

Dieses Phänomen ist nichts Besonderes für Licht oder die Maxwellschen Gleichungen: Es ist eine einfache Folge der Detektor-Nichtlinearität, und ich sollte denken, dass dies jedem intelligenten Experimentator ziemlich klar gewesen wäre, der sorgfältig darüber nachgedacht hat, wie sein oder ihr Kit seine Messungen durchführt.

Im einfachsten Fall die Antwort des Detektors$y(t)$als Funktion der Zeit$t$ist augenblicklich und ist somit eine Eins-zu-eins-Funktion des Eingangssignals$x(t)$:$y=\mu(x)$. Wenn Sie die Ausgabe verwenden möchten$y$Um Ihre Eingabe zu messen, ist es am einfachsten, wenn$\mu$ist eine einfache Proportionalitätsbeziehung, aber alles Eins-zu-Eins macht es zu einem funktionsfähigen Detektor. Nun zu "angemessenem Verhalten"$\mu$, eine Taylor-Reihe postulieren ( also annehmen, dass$\mu$ist analytisch bzw$C^\omega$) so dass

$$\mu(x) =\sum\limits_{k=0}^\infty \mu_k\,x^k;\;|x|<\epsilon$$

für ein Konvergenzintervall definiert durch$\epsilon>0$. Angenommen, die Ausgabe umfasst Leistungsterme$x^k$, was passiert, wenn Sie setzen$x(t) = a_1 \cos(\omega_1 t+\delta_1) + a_2\cos(\omega_2 t+\delta_2)$? Erweitern Sie durch den ganzzahligen Binomialsatz und die$m^{th}$Laufzeit von$x(t)^k$ist

$$\left(\begin{array}{c}k\\m\end{array}\right)\, a_1^m \cos(\omega_1 t+\delta_1)^m a_2^{k-m} \cos(\omega_2 t+\delta_2)^{k-m}$$

Bei vielen Nichtlinearitäten ist der quadratische Term der dominierende nichtlineare Term, daher entsteht der Kreuzterm:

$$a_1\,a_2 \cos(\omega_1 t+\delta_1)\cos(\omega_2 t+\delta_2) = \frac{1}{2}\left(\cos((\omega_1 +\omega_2) t+\delta_1+\delta_2)+\cos((\omega_1 -\omega_2) t+\delta_1-\delta_2)\right)$$

woher die Summen- und Differenzfrequenzen kommen. Beachten Sie, dass einige Nichtlinearitäten eine rein ungerade Symmetrie haben, in diesem Fall gibt es keinen quadratischen Term und Sie erhalten keine Summen- und Differenzterme: Dann ist die dominante Nichtlinearität der kubische Term und Sie erhalten Terme bei Frequenzen$|2\,\omega_1 \pm\omega_2|$und$|2\,\omega_1 \pm\omega_2|$.

Das Phänomen, auf das Sie sich in seiner allgemeinsten Form beziehen, heißt Intermodulation , und Sie sollten dieses Wort nachschlagen, wenn Sie es noch nicht getan haben, Sohn.

Wann wurde das bemerkt? Es ist unmöglich, es genau festzulegen, aber es wäre vielen Menschen aufgefallen, als der Begriff der Analytik in der Wissenschaft bekannt und weit verbreitet war, dh nach Brooke Taylors Veröffentlichung des Begriffs im Jahr 1715, daher wäre die beste Antwort " irgendwann zu Lebzeiten von Leonard Euler".