Ideale Form einer Wasseruhr

Es gibt (mindestens) zwei Arten von Wasseruhren: konstanter Durchfluss pro Zeiteinheit und konstanter Höhenabfall pro Zeiteinheit.

Wenn Sie einen konstanten Durchfluss wünschen, benötigen Sie einen Mechanismus, um den Druck konstant zu halten - dies war das Thema dieser Frage

Wenn Sie eine konstante Höhenänderung mit der Zeit wünschen, müssen Sie die Fläche als Funktion der Höhe über der Öffnung ändern. Es ist leicht zu zeigen (Bernoulli), dass die Geschwindigkeit der Strömung die Quadratwurzel des Drucks (Höhe) ist. Der Bereich in einer Höhe$h$muss so sein, dass der Pegel konstant abfällt. Liegt der Durchmesser bei$h$Ist$r(h)$, Dann$r(h)^2 \propto \sqrt{h}$. Daraus folgt, dass die Form der Seite der Wand der Uhr die Form hat

$$r \propto \sqrt[4]{h}$$

Beachten Sie, dass das Obige von einer nicht viskosen Strömung ausgeht: Das heißt, die zusätzliche Druckdifferenz aufgrund des viskosen Widerstands über der Öffnung wird in der Bernoulli-Gleichung vernachlässigt. Dies ist eine gute Annahme, wenn die Öffnung ziemlich kurz und die Reynolds-Zahl der Strömung hoch ist – siehe diesen Artikel , der zeigt, dass sich der Durchflusskoeffizient um etwa 1 % für eine Reynolds-Zahl von 10 ändert$^4$bis 10$^7$. Bei niedrigeren Durchflussraten kann der Effekt jedoch erheblich sein, und dies führt dazu, dass Durchflussmesser bei niedrigen Durchflussraten ungenauer werden, wie durch das Turndown-Verhältnis ausgedrückt .

Grundsätzlich können Sie dies bei der Konstruktion Ihrer Wasseruhr berücksichtigen: Dazu benötigen Sie eine genaue Bestimmung des Druckabfalls über der Düse durch die viskosen Kräfte.

Angenommen, Sie haben eine 24-Stunden-Wasseruhr mit einer Gesamthöhe von 1,20 m und lassen das Wasser von 120 cm auf 24 cm (1 cm pro 15 Minuten) mit einem Durchmesser von 25 cm in einer Höhe von 100 cm herunterlaufen, dann würde die Durchflussrate in dieser Höhe wie folgt berechnet:

$$\frac{dh}{dt}=\frac{0.01~\rm{m}}{15\cdot 60~\rm{s}}=11.1~\rm{µm / s}\\ \frac{dV}{dt} = A\frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{4}\cdot 0.25^2 \cdot 11.1\cdot 10^{-6} = 0.545~\rm{ml/s}$$

Nach der Bernoulli-Gleichung ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeit, die 100 cm tief gefallen ist$\sqrt{2*g*h}=4.42~\rm{m/s}$. Die benötigte "reine Bernoulli"-Blende bei einer Druckdifferenz von 9,81 kPa würde nur einen Radius von 0,198 mm haben. Wenn wir davon ausgehen, dass die Wand des Gefäßes 2 mm dick ist, haben wir eine "Düse" mit einem Durchmesser von etwa 0,4 mm und einer Länge von 2 mm. Wenn Flüssigkeit mit einem Volumenstrom von 0,545 ml/s durch eine solche Düse strömt, wie groß wäre der (zusätzliche) Druckabfall?

Für reine Poisseuille-Strömung stehen Strömungsgeschwindigkeit und Druck (linear) in Beziehung zu

$$Q = \frac{\pi r^4}{8\mu L}P$$

Also für die angegebenen Abmessungen und Durchflussraten und die Verwendung$\mu= 0.001 kg/m/s$, finden wir P = 1,8 kPa - das ist signifikant.

Wenn wir diesen zusätzlichen linearen Term berücksichtigen wollen, dann folgt daraus, dass die Gleichung unserer Form modifiziert werden muss. Für eine bestimmte Höhe$h$, wird die Durchflussrate durch Auflösen nach gefunden$v$, bemerken, dass$Q = A v$und das$\Delta P = \frac{8\mu L}{\pi r^4} Q = \alpha Q$. Der zur Beschleunigung des Wassers zur Verfügung stehende Druck ist dann gegeben$\rho g h - \Delta p$so dass

$$\rho g h - \alpha A v = \frac12 \rho v^2\\ v^2 + \frac{\alpha A}{\rho} v - 2gh = 0$$

Dies ist eine quadratische Gleichung in$v$, und die Wurzeln sind

$$v = -\frac{\alpha A}{2\rho} ± \sqrt{\left(\frac{\alpha A}{2\rho}\right)^2+2gh}$$

Wir brauchen die positive Wurzel (um eine positive Geschwindigkeit zu erhalten) und können den Ausdruck zu vereinfachen

$$v = \frac{\alpha A}{2\rho}\left(\sqrt{1+\frac{8gh\rho^2}{(\alpha A)^2}}-1\right)$$

Als Plausibilitätsprüfung wird der zweite Term unter der Quadratwurzel groß sein, wenn viskose Kräfte ignoriert werden können; In diesem Fall

$$v = \frac{\alpha A}{2\rho}\frac{\sqrt{8gh\rho^2}}{\alpha A}\\ =\sqrt{2gh}$$ wie vorher.

Jetzt können wir den Ausdruck vereinfachen, um die Form des Gefäßes zu bestimmen. Setzen

$$v = a\left(\sqrt{1+bh}-1\right)$$

Auch hier müssen wir die Fläche als Funktion der Höhe so machen$\frac{dh}{dt}=\rm{const}$. Wir können schreiben

$$\frac{dh}{dt} = \frac{Q}{\pi R^2}$$

Wo$Q$ist der Volumendurchfluss, und$R$ist der Radius des Schiffes. Seit$Q \propto v$,

$$\pi R^2 \propto v\\ R \propto \sqrt{\frac{\alpha A}{2\rho}\left(\sqrt{1+\frac{8gh\rho^2}{(\alpha A)^2}}-1\right)}$$

Wenn die Viskosität sehr klein ist, reduziert sich dies auf die Gleichung, die wir zuvor hatten; Wenn es sehr groß ist, sagt es uns, dass der Radius proportional zu ist$\sqrt{h}$anstatt$\sqrt[4]{h}$. Dazwischen - es ist etwas dazwischen. Wenn viskose Bedingungen eine Rolle spielen, verliert diese Uhr offensichtlich an Genauigkeit, wenn sich die Viskosität ändert - und das ist ein ziemlich großes Problem. Von 10 bis 30 C ändert sich die Viskosität stark:

T(C)  mu (mPa s)
 10    1.308
 20    1.002
 30    0.7978

An kalten Tagen verlangsamt sich die Zeit um 30 % ... und an warmen Tagen beschleunigt sie sich um 20 %. Es gibt tatsächlich Techniken, um dies zu mildern - es beinhaltet ein komplexeres Uhrendesign. Siehe diese interessante Analyse

AKTUALISIEREN

Ich habe eine interessante Analyse gefunden, die einige Literatur zu Wasseruhren ziemlich kritisch kritisiert und uns daran erinnert, dass die Oberflächenspannung bei einer kleinen Öffnung das Obige erheblich verändert - insbesondere wenn der Wasserstand sich dem Boden nähert. Man könnte erwägen, ein langes (und ausreichend breites, um den Durchfluss nicht einzuschränken) vertikales Rohr am Boden der Uhr (vor der Düse) anzubringen, um sicherzustellen, dass der Druck an der Düse immer "hoch" ist - nicht nur die Form der Uhr gleichmäßiger, aber die viskosen Kräfte werden weniger wichtig und die Uhr wird weniger temperaturempfindlich sein.

Interessanter, aber irrelevanter Leckerbissen: Wasseruhren wurden anscheinend in den Bordellen von Athen verwendet, um die Besuche der Kunden zu planen ; Wenn diese Uhren im viskosen Regime betrieben würden, könnten die Kunden bei Kälte vermutlich länger bleiben. Wie rücksichtsvoll.