Interessante Beziehung zwischen Beugung und Heisenbergs Unschärferelation?

Beugung und HUP sind verwandt, weil sie die gleiche mathematische Beschreibung haben.

Die Fourier-Transformation zur kanonischen Kommutierungsbeziehung und die Heisenbergsche Unschärferelation. Die FT ist die einheitliche (norm- und inneres Produkt erhaltende, dh wahrscheinlichkeitserhaltende) Transformation zwischen Ortskoordinaten und Impulskoordinaten, und es kann gezeigt werden, dass dies für jedes Paar von Quantenobservablen gegeben ist$\hat{X}$Und$\hat{P}$die die kanonische Vertauschungsbeziehung erfüllen$X\,P-P\,X=i\,\hbar\,\mathrm{id}$, die Transformation zwischen Koordinaten, wobei$\hat{X}$Und$\hat{P}$einfache Multiplikationsoperatoren sind, ist genau die Fourier-Transformation. Ich zeige in dieser Antwort hier, wie das wahr sein muss . Dies führt durch die rein mathematischen Eigenschaften der FT zur Heisenberg-Ungleichung, wie ich in dieser Antwort hier und hier bespreche . Eine Sonderfallbeobachtung, die das Verhalten intuitiv zusammenfasst, ist, dass eine Funktion und ihre FT nicht beide eine kompakte Unterstützung haben können (Domäne, in der sie nicht Null sind): Wenn Sie eine Wellenfunktion (dh einen Quantenzustand) auf einen kleinen Bereich von Positionen beschränken, ist ihre Fourier-Transformation derselbe Quantenzustand in Impulskoordinaten geschrieben, so dass die Ausbreitung über Impulse zunimmt, wenn Sie die Positionen immer mehr einschränken.

Die Analogie zur Beugung ist direkt. Das Huygens-Prinzip oder eine andere Methode, mit der Sie die Beugung erklären möchten, wird in meiner Antwort hier , dieser hier , dieser hier oder hier ausführlich erläutert . Aber eine Zusammenfassung ist dies. Eine orthogonal zu einer Ebene verlaufende ebene Welle bedeutet, dass die Phase auf dieser Ebene gleichförmig ist. Wenn die Welle kippt, hat ihre Phasenvariation in der Ebene die Form$\exp(i\,\vec{k}\,\cdot\,\vec{x})$, Wo$\vec{k}$ist der Wellenvektor und$\vec{x}$die Querposition in der Ebene. Um also herauszufinden, welche Streuung der Richtungen Sie in einer Lichtwelle haben, nehmen Sie ihre Fourier-Transformation über die Ebene. Die Fourier-Transformation am Punkt$k_x,\,k_y$ist einfach das Überlagerungsgewicht der ebenen Wellenkomponente mit definierter Richtung durch$k_x,\,k_y$. Je breiter eine Welle im Fourier-Raum ist, desto größer ist die Streuung der Ausbreitungsrichtungen und desto schneller wird sie gebeugt. Eine Lochblende in Wellenlängengröße in einem Bildschirm bedeutet also, dass die Streuung der Richtungen groß ist, einfach durch die Delle des Unsicherheitsprodukts der Fourier-Transformation. Tatsächlich gilt für kleine Beugungswinkel$\sqrt{k_x^2+k_y^2}/k \approx \theta$, Wo$\theta$ist der Winkel, den die ebene Wellenkomponente mit der Normalen zur Ebene bildet. In der Tat zeigt das grundlegende Unsicherheitsprodukt für FTs dies$\Delta x\,\Delta k_x = \Delta x\,\Delta \theta\,k \geq \frac{1}{2}$Wo$\Delta x$ist die Schlitzbreite und$\Delta \theta$die Winkelverteilung des gebeugten Lichts.

Streng genommen kann die Beugungsphysik nicht als HUP (dh aus den kanonischen Kommutierungsbeziehungen) erklärt werden, da keine Position beobachtbar ist$\hat{X}$für das Photon, also können Sie nicht daran denken$\Delta\,x\,\Delta p$. Es gibt mit Sicherheit Paare von kanonisch kommutierenden Observablen: Zum Beispiel sind die gleichen Komponenten des elektrischen Feldes und des magnetischen Feldes, die für das zweite quantisierte elektromagnetische Feld beobachtbar sind, konjugierte Observablen. Der Grund, warum HUP-Beschreibungen funktionieren, ist die mathematische Analogie, die ich oben beschrieben habe.

Betrachten wir diese Beziehung für Wellen, insbesondere für elektromagnetische Wellen:

wo wir das für Licht v=c sehen

Eine klassische Welle entsteht aus einem großen Ensemble von Photonen, dem quantisierten Zustand des Elektromagnetismus.

Angenommen, wir haben ein einzelnes Photon der Frequenz nu, wenn wir beide Seiten mit hbar multiplizieren und durch c dividieren, erhalten wir eine Formel, die mit der Heisenberg-Unschärfeformel konsistent ist.

lamda h nu/c~h

delta(x)*delta(p)~h

wobei das Delta-Symbol anzeigt, dass wir ein Quantum der Menge haben.

Die Heisenbergsche Unschärferelation führt die größere > Relation anstelle der Gleichheit ein, was eine Annahme ist, die in der klassischen elektromagnetischen Beschreibung nicht existiert.

Somit besteht Übereinstimmung zwischen dem klassischen Rahmen und dem quantenmechanischen, aber es ist das Klassische, das aus der Quantenmechanik hervorgeht , und nicht umgekehrt.

Man könnte also das HUP mit der Hand bewegen, um die Beugung von einem Schlitz zu beschreiben, da man in diesem Fall im Wesentlichen Delta (x) und Delta (p) beschreibt, die in beiden Frameworks konsistent sind. Die Spaltabstände sind immerhin in der Größenordnung der Wellenlänge gewählt.

Zum Vergleich mit der klassischen Beugung an einer Kante bräuchte man die Lösung des quantenmechanischen Problems mit der Kantengrenze, um zu erklären, wie die durch die Photonenwellenfunktionen gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Lösungen der Maxwell-Gleichungen übereinstimmt.

PS-Photonen sind Elementarteilchen und fallen in den Bereich der HUP

So wie die Photonen/Lichtwellen beim Einzelspaltexperiment aus einem sehr dünnen Schlitz austreten, beobachten Sie diese Photonen/Lichtwellen, die im Wesentlichen durch einen kleinen Bereich (des Raums) nahe der Kante des Hindernisses gehen. Wenn Sie die Beugung vom Hindernis sehen, sehen Sie das Licht nicht weit entfernt vom Hindernis. Die gleiche Erklärung funktioniert also.

Lichteigenschaften wie Beugung und Interferenz werden anhand der Huygenschen Konstruktion erklärt, die die Wellennatur des Lichts berücksichtigt.

Das Huygens-Fresnel-Prinzip besagt, dass jeder Punkt auf einer Wellenfront selbst die Quelle eines sphärischen Wavelets ist und die unendlichen sekundären Wavelets, die von jedem der unendlichen einzigartigen Punkte auf der Wellenfront ausgehen, sich gegenseitig stören. Die Summe dieser sphärischen Wavelets an jedem Punkt im Raum ergibt zu jeder Zeit die Phase an diesem Punkt.

Ich kann nicht verstehen, wie HUP solche Beugungsmuster von Maxima und Minima erklären kann.

Heisenbergs Prinzip ist im Grunde Beugung und aus der Fourier-Optik ersichtlich. Wenn ein Partikelpfad beschrieben wird, handelt es sich im Wesentlichen um eine Positionsmessung an verschiedenen Stellen. Eine Welle hat nicht nur eine Wellenlänge in einer Richtung, sondern alle Richtungen, eine kugelförmige Wellenfront.

Jedes Hindernis ist also eine Art Messung. Wenn ein dicker Block zwischen die planare Wellenfront eingefügt wird, kann man möglicherweise keine Schattenbeugung erhalten. Grundsätzlich ist es fast unmöglich, ein einzelnes Teilchen auf atomarer Ebene zu sehen oder zu erkennen und zu verfolgen, wenn ein Teilchen der Wahrscheinlichkeit unterworfen wird.

Im Fall der Wahrscheinlichkeit ist das Endergebnis der vielen zu verfolgenden Schritte, bei denen es sich um Impuls nach Position handelt, verschmiert. Was eine Positionsmessung tut, dass sie sich neu anordnet oder neu verteilt, ist die Beugung als Punktquelle so anordnende Divergenz. Beim Beugungsgitter erhält man also ein feines Ergebnis des Interferenzmusters.

Ich denke, die Frage ist, wie Interferenz durch Mach-Zender- oder Fabrey-Perot-Interferometer wie bei Geräten auftritt. Aa sie verteilen ihren Wellenvektor nicht neu. Dann verteilen sie sicherlich Energie um. Da die Quantenmechanik durch die Erklärung des spektralen Strahlungsmusters an Popularität gewinnt.