Interpretation von Eigenwerten und Eigenvektoren eines hyperbolischen Erhaltungssatzes ∂tW+A∂xW=0∂tW+A∂xW=0\partial_t W + A \partial_x W = 0

Ich finde, Pulliams Notizen zu den Euler-Gleichungen sind eine ziemlich gute Einführung in dieses Thema unter Verwendung der Gleichungen der Flüssigkeitsbewegung. Die Idee ist, dass Sie mit einem Erhaltungsgesetz beginnen:

$$\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t} + \frac{\partial \vec{F}\left(\vec{Q}\right)}{\partial x} = 0$$

Wo$Q$ist Ihr variabler Vektor und$F$ist Ihre Flussfunktion. Sie können einen Fluss-Jacobian einführen und davon ausgehen, dass der Jacobian konstant ist, um eine quasi-lineare Gleichung zu erhalten:

$$\frac{\partial \vec{Q}}{\partial t} + \frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{Q}}\frac{\partial \vec{Q}}{\partial x} = 0$$

wo wir anrufen können$\partial \vec{F}/\partial \vec{Q} = A^\prime$. Jetzt wollen wir einen neuen Vektor von Variablen suchen, die sich auf den ersten Satz beziehen,$\vec{W} = (\partial \vec{Q}/\partial \vec{W}) \vec{Q} = J \vec{Q}$. Wir führen dies in unsere Gleichung ein und erhalten:

$$J \frac{\partial \vec{W}}{\partial t} + A^\prime J \frac{\partial \vec{W}}{\partial x} = 0 \\ \rightarrow \frac{\partial \vec{W}}{\partial t} + J^{-1} A^\prime J \frac{\partial \vec{W}}{\partial x} = 0$$

Und wir wählen unser neues Variablenset$\vec{W}$so dass$J^{-1} A^\prime J = A$ist nett". Wie wir "nett" wählen, liegt bei Ihnen. Sie möchten es zu etwas machen, das Sie diagonalisieren können, damit Sie es auseinanderbrechen können$A = T^{-1} \Lambda T$Wo$\Lambda$ist eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten entlang der Diagonalen. Wenn du das kannst, bekommst du:

$$\frac{\partial \vec{W}}{\partial t} + T^{-1} \Lambda T \frac{\partial \vec{W}}{\partial x}$$

Dann durch multiplizieren mit$T$und Sie erhalten einen neuen Satz von Variablen$T \vec{W} = \vec{S}$:

$$\frac{\partial \vec{S}}{\partial t} + \Lambda \frac{\partial \vec{S}}{\partial x}$$

Wenn Sie sich erinnern,$\Lambda$ist diagonal! Das bedeutet, dass Sie Ihre Gleichungen jetzt entkoppelt haben, sodass sie unabhängig voneinander gelöst werden können – eine enorme Verbesserung beim Finden der Lösung! Der Vektor$\vec{S}$ist der charakteristische Variablenvektor.

Entlang jeder Kennlinie darf sich nur eine Komponente des Vektors ändern, die anderen sind entlang der Kennlinie konstant. Jeder Vektor in der rechten Eigenvektormatrix$T$gibt Ihnen den charakteristischen Vektor (Richtung der charakteristischen Linie) und das Element in$\Lambda$gibt Ihnen die charakteristische Geschwindigkeit entlang dieses Vektors. Der Vektor in der linken Eigenvektormatrix multipliziert mit Ihrem ursprünglichen Variablenvektor ergibt die charakteristische Variable für diese Gleichung.

Das Letzte, worauf Sie wirklich achten müssen, ist die Notation. Manche Leute wählen$A = T \Lambda T^{-1}$während andere wählen$A = T^{-1} \Lambda T$und wenn die Matrix symmetrisch ist, kann sie es sein$A = T^T \Lambda T$oder$A = T \Lambda T^T$

Hier einige Einzelheiten

$$\begin{equation*} \partial _{t}\mathbf{w}(x,t)+\mathbf{A}\cdot \partial _{x}\mathbf{w}(x,t)=0 \end{equation*}$$ Lassen $\mathbf{A}$Bohne $n\times n$Matrix. Dann $\mathbf{w}$muss sein $n$-dimensional. Nehmen wir das an $\mathbf{A}$hat echte Einträge und $\mathbf{w }$hat echte Komponenten.

$$\begin{eqnarray*} \mathbf{w}(x,t) &=&\exp [t\mathbf{A}\partial _{x}]\cdot \mathbf{w}(x,0) \\ \mathbf{A} &=&\mathbf{V}^{-1}\mathbf{\cdot B\cdot V} \\ \mathbf{w}(x,t) &=&\exp [t\mathbf{V}^{-1}\mathbf{\cdot B\cdot V}\partial _{x}]\cdot \mathbf{w}(x,0)=\mathbf{V}^{-1}\mathbf{\cdot }\exp [t\mathbf{B} \partial _{x}]\mathbf{\cdot V}\cdot \mathbf{w}(x,0) \\ \mathbf{y}(x,t) &=&\mathbf{V\cdot w}(x,t)=\exp [t\mathbf{B}\partial _{x}] \mathbf{\cdot y}(x,0) \\ \mathbf{B} &=&\sum_{j}b_{j}\mathbf{u}_{j}\mathbf{v}_{j}^{T},\;\mathbf{v}% _{j}^{T}\cdot \mathbf{u}_{h}=\delta _{jh} \\ \exp [t\mathbf{B}\partial _{x}] &=&\sum_{j}\exp [b_{j}t\partial _{x}]\mathbf{ u}_{j}\mathbf{v}_{j}^{T} \\ \mathbf{y}(x,t) &=&\sum_{j}\exp [b_{j}t\partial _{x}]\mathbf{u}_{j}\mathbf{v} _{j}^{T}\cdot \mathbf{y}(x,0) \\ y_{j}(x,t) &=&\mathbf{v}_{j}^{T}\cdot \mathbf{y}(x,t)=\exp [b_{j}t\partial _{x}]\mathbf{v}_{j}^{T}\cdot \mathbf{y}(x,0) \\ &=&\exp [b_{j}t\partial _{x}]y_{j}(x,0)=y_{j}(x+b_{j}t,0) \end{eqnarray*}$$ Beachten Sie, dass $b_{j}$muss real sein, damit dies sinnvoll ist. Es bestimmt die Wellengeschwindigkeit im Kanal $j$. Beachten Sie ferner, dass die Situation in höheren Dimensionen komplizierter wird.