Ist der kleinste pythagoreische Tripelwinkel ∼4,9∘∼4,9∘\sim 4,9^\circ?

Satz des Pythagoras

A 2 + B 2 = C 2

Wo ( A , B , C ) sind pythagoreische Tripel .

Wir behaupten, dass diese Ungleichung für alle pythagoräischen Tripel gilt,

3 − 2 2 2 ≤ A B C 2

Untersuchen wir diese Ungleichung

3 − 2 2 ≤ 2 Sünde ⁡ θ cos ⁡ θ

4.9396... ∘ ≤ θ

Das bedeutet also, dass der kleinste Winkel eines Pythagoras-Tripels nicht unterschritten werden kann 4,9396 ∘

Wie können wir zeigen, dass dies wahr oder falsch ist?

Woher hast du (3−2√2)/2?
Das OP hat möglicherweise nicht ausreichend große Hypoteneusen untersucht. Wenn Sie Tripel bis zur Hypotenuse = 100 katalogisieren, sieht es so aus, als ob der Sinus des spitzen Winkels mindestens 13/85 beträgt. Wir wissen aus beiden derzeit geposteten Antworten, dass eine solche Behauptung strengeren Tests nicht standhält.

Antworten (2)

Lassen A = 999999999999 , B = 2000000 Und C = 100000000001 . Das ist ein pythagoräisches Dreieck. Aber arcsin ⁡ ( B / C ) = 2 × 10 − 6 .

Sind diese Werte von a, b und c pythagoräisches Tripel?
@GameOver Ja, habe es gerade auf einem mehrstelligen Taschenrechner überprüft.
@GameOver Nehmen M = 1 000 000 Und N = 1 . Dann A = M 2 − N 2 , B = 2 M N , Und C = M 2 + N 2 . Deshalb, A 2 + B 2 = C 2 .
Tolles Gegenbeispiel, aber können wir beweisen, dass die Ungleichung im OP falsch ist?
@Dylan: Dieses Gegenbeispiel beweist, dass die Ungleichung im OP falsch ist. Stecker A , B , C ein und überprüfe es.
Fair genug. Ich frage mich, wie OP darauf gekommen ist.

Keine Chance für einen minimalen Winkel ungleich Null. Angenommen, wir rendern

( 2 N + 1 ) 2 = ( 2 N 2 + 2 N + 1 ) + ( 2 N 2 + 2 N ) .

Da sich die Terme auf der rechten Seite um eine Einheit unterscheiden, ergibt die Quadratdifferenzfaktorisierung

( 2 N + 1 ) 2 = ( 2 N 2 + 2 N + 1 ) 2 − ( 2 N 2 + 2 N ) 2 .

Und dann

( 2 N 2 + 2 N + 1 ) 2 = ( 2 N + 1 ) 2 + ( 2 N 2 + 2 N ) 2 .

Als N unbegrenzt zunehmen darf, tendiert das Verhältnis des kleineren Schenkels zur Hypotenuse gegen eine Grenze von Null, und der diesem Schenkel gegenüberliegende Winkel tut dasselbe. Auch der größere spitze Winkel hat natürlich keine Begrenzung nach unten 90 ° .

Ist der kleinste pythagoreische Tripelwinkel ∼4,9∘∼4,9∘\sim 4,9^\circ?
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