Ist die Dichteschwankung in Supraflüssigkeit lückenlos?

Der Dichtemodus in einem Suprafluid ist tatsächlich lückenlos (tatsächlich ist der Dichtemodus in einer normalen Phase auch lückenlos. Dieser Modus wird Schall genannt).

Die Verwirrung entsteht, weil um zum effektiven Lagrange für zu gelangen$\theta$, müssen Sie den Amplitudenmodus herausintegrieren. Dadurch ist die$\theta$Parameter in den effektiven Lagrange-Paaren zur Dichte.

Nachtrag: Die Amplitude steht nicht in direktem Zusammenhang mit der Supraflüssigkeitsdichte$\rho_s$. Die superfluide Dichte ist definiert durch

$$\vec\pi = \rho_s v_s + \rho_n v_n$$ Wo $\vec\pi$ist die Impulsdichte und $v_s= i\hbar\nabla\theta/m$ist die Geschwindigkeit des Suprafluids. Das bedeutet, dass $\rho_s$regelt die Impulsantwort auf Gradienten der Phase. Experimentell, $\rho_s$wird durch Messen der Geschwindigkeiten des ersten und zweiten Schalls extrahiert.

Superfluide sind Galilei-Invarianten, daher ist es eine gute Idee, von einem Galilei-Invariantenmodell auszugehen, wenn man versucht, ihre Dynamik zu verstehen. Zum Beispiel das Gross-Pitaevski (GP)-Modell, das aus dem Aktionsintegral stammt

$$S[\phi, \phi^\dagger]= \int d^3x dt\left\{ \phi^\dagger (i \partial_t + \frac 1{2m} \nabla^2) \phi + \mu\phi^\dagger \phi -\frac 12 \lambda (\phi^\dagger\phi)^2\right\}.$$ ist galiläisch invariant.

Diese Aktion enthält ein Mexikanerhut-Potenzial

$$V(\phi)= \frac 12 \lambda (\phi^\dagger\phi)^2-\mu \phi^\dagger\phi$$ die auf minimiert wird $\phi^\dagger\phi = \mu/\lambda$. Die möglichen stationären Lösungen sind daher $$\langle\phi \rangle= \phi_c= e^{i\theta} \sqrt{\frac \mu \lambda}$$ Beim GP-Modell die $\rho$In $\phi= \sqrt{\rho} e^{i\theta}$ ist wirklich die Partikeldichte, da dieses Modell bei sehr niedrigen Temperaturen gilt, wenn sich im Wesentlichen alle Partikel im Kondensat befinden. Also ist die Teilchendichte im Gleichgewicht $\rho= \mu/\lambda$.

Wenn wir nach kleinen Schwingungen suchen$\phi=\phi_c+\eta$Dann

$$V(\phi+\eta) \sim const+ \mu \eta^\dagger \eta +\frac 12\mu (\eta^2+(\eta^\dagger)^2)+O(\eta^3)$$ und die linearisierten Bewegungsgleichungen werden $$i\partial_t \eta = -\frac1{2m} \nabla^2 \eta +\mu\eta +\mu \eta^\dagger,\\ -i\partial_t \eta = -\frac1{2m} \nabla^2 \eta^\dagger +\mu\eta +\mu \eta^\dagger.$$ Wenn wir eine Lösung suchen $$\eta= a e^{ikx-i\omega t} +b^\dagger e^{-ikx+i\omega t}$$ wir glauben, dass $(a,b)^T$Muss gehorchen $$\left[\begin{matrix} k^2/2m =\omega +\mu & \mu\cr \mu & k^2/2m +\omega+\mu\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a \cr b\end{matrix}\right]=0,$$
die zulässigen Frequenzen sind also gegeben durch $$\omega^2 =(k^2/2m +\mu)^2 -\mu^2.$$ Bei klein $k$das wird wird $\omega^2=c^2k^2$mit $c^2 =\lambda \rho_0 /m$. Diese Modi sind die lückenlosen Schallwellen. Während der Bewegung wird die Spitze des $\phi$Vektor beschreibt eine Ellipse um das Gleichgewicht $\phi_c$. Diese Klangmodi sind daher eine Kombination aus einer Goldstone-ähnlichen Bewegung entlang der Unterseite des Mexikanerhut-Potentialtopfs und einer phasenverschobenen radialen „Higgs-ähnlichen“ radialen Oszillation. Es gibt keine getrennten umlaufenden „Goldstone“- und radialen „Higgs“-Modi in der nicht-relativistischen Bose-kondensierten Superflüssigkeit. Die gekoppelten Moden sind Schallwellen mit einer Dichteschwankung $\rho_0\to \rho_0+\delta \rho$und eine gleichzeitige (gleichphasige) Hin- und Her-Geschwindigkeit gegeben durch $v=\nabla\theta$.

Wir hatten zwei Gleichungen für$\eta$das waren erste Bestellung in der Zeit. Wir können, wenn wir wollen, eliminieren$\rho$um eine Wellengleichung zweiter Ordnung zu erhalten, die nur beinhaltet$\theta$, oder eliminieren$\theta$um eine Wellengleichung zu erhalten, die nur beinhaltet$\rho$--- aber wir werden keine zeitliche Gleichung zweiter Ordnung erhalten, die beide Variablen beinhaltet. Beachten Sie jedoch, dass die linearisierten Wellengleichungen nicht Galilei-invariant sind. Wenn man sich nur auf die Bewegungsgleichungen konzentriert, besteht außerdem die Gefahr, dass sie verworfen werden$i\rho_0 \partial_t\theta$im Aktionsintegral, weil es eine totale Ableitung ist. Dieser topologische Windungszahlterm ist wesentlich für die Wirbeldynamik, wo er für den Magnus-Effekt verantwortlich ist. Ohne seine Abwesenheit (wie kürzlich auf dieser Seite gefragt) würde ein Propeller in einem Suprafluid nicht funktionieren.