Ist die Zunahme der Entropie ein Theorem?

Betrachten wir ein isoliertes System von N Teilchen, deren Bewegung durch die Newtonsche Mechanik bestimmt wird, dehnt sich über die Zeit aus − ∞ Zu + ∞ . Das System ist isoliert, daher sind die einzigen treibenden Kräfte paarweise Wechselwirkungsteilchen, von denen angenommen wird, dass sie nicht dissipativ sind. Daher bleiben Energie, Impuls und Drehimpuls erhalten. Die Nummer N von Partikeln ist sehr sehr groß.

Betrachten wir die Boltzmann-Entropie S ( T ) = k Protokoll ⁡ Ω ( T ) , des Mikrozustands, in dem sich das System gerade befindet T . Hier, Ω ( T ) ist die Anzahl der Mikrozustände, die auf den Makrozustand abgebildet werden, in dem sich das System gerade befindet T . Bitte beachten Sie, dass die Dynamik des Systems deterministisch ist. Daher ist bei einigen Anfangsbedingungen die Funktion S ( T ) ist vollkommen deterministisch.

Dann erwarte ich, dass es einen Satz gibt, der besagt, dass für die allermeisten Anfangsbedingungen die folgende Ungleichung gilt:

D S D T > 0 , ∀ T ∈ ( − ∞ , ∞ )

insbesondere würde ich erwarten, dass der Bruchteil der Anfangsbedingungen, für die eine solche Ungleichung gilt, gegen 1 as tendieren würde N → ∞ . Ein solches Theorem würde implizieren, dass irreversible Prozesse aus reversibler mikroskopischer Dynamik hervorgehen .

Nachdem ich jedoch in allen möglichen Lehrbüchern gesucht habe, die ich in die Hände bekommen könnte, habe ich ein solches Theorem nicht gefunden.

Vielmehr habe ich folgendes gefunden:

  1. Die überaus große Mehrheit der Mikrozustände bildet bei ausreichend großer Teilchenzahl den sogenannten Gleichgewichtszustand ab. Es ist bewiesen, dass ein solcher Makrozustand dem höchstmöglichen Wert der Entropie S entspricht. Wenn ich dies also mit der ergodischen Hypothese kombiniere, folgere ich daraus, dass das System einen überaus hohen Bruchteil seiner Zeit in einem Zustand mit maximaler Entropie verbringen wird ( bis auf unwesentliche Schwankungen). Dies beweist jedoch nicht die Ungleichheit D S / D T > 0 , ∀ T ∈ ( − ∞ , ∞ ) . gilt für einen außerordentlich hohen Bruchteil der Anfangsbedingungen.

  2. Ich habe ein einfaches System gefunden, in dem gezeigt wird, dass sich das System, wenn ich von einem Zustand mit niedriger Entropie ausgehe, mit außerordentlich hoher Wahrscheinlichkeit in einen Zustand mit höherer Entropie entwickeln wird (in der Reihenfolge 1 − 10 10 20 ). Das klassischste Beispiel ist eine Kiste mit N Bälle, die zu einer bestimmten Zeit T alle Kugeln befinden sich in der gleichen Hälfte des Kastens (geringe Entropie). Es lässt sich leicht nachweisen, dass nach einer gewissen Zeit alle Kugeln das gesamte Volumen der Kiste einnehmen (hohe Entropie) und somit überaus lange verweilen (in der Größenordnung von 10 10 20

Wenn ich jedoch denselben Satz von Anfangsbedingungen mit niedriger Entropie nehme und das System in der Zeit zurückentwickeln lasse , finde ich heraus, dass das System mit außerordentlich hoher Wahrscheinlichkeit in der Vergangenheit in einem Zustand mit hoher Entropie war. Mit anderen Worten, ich sehe keine makroskopische Irreversibilität, die aus mikroskopischer Reversibilität hervorgeht.

Man könnte sich eine Situation vorstellen, in der eine Barriere die Bälle dazu zwingt, in der linken Hälfte des Strafraums und bei zu bleiben T = 0 Die Barriere wird auf magische Weise zum Verschwinden gebracht. Es stimmt, dass, wenn die Barriere zu einem zufälligen späteren Zeitpunkt wieder erscheint, die Wahrscheinlichkeit, dass alle Kugeln wieder in derselben Hälfte des Kastens liegen, äußerst gering ist. Ein solches System ist jedoch nicht isoliert , es erfordert einen externen Bediener, um die Barriere zu entfernen oder hinzuzufügen. Auch wenn keine Arbeit geleistet wird, wenn die Barriere verschwindet/erscheint, wird das Verschwinden/Erscheinen der Barriere nicht durch die Bewegung der Kugeln ausgelöst.

Dann ist meine Frage: Wie könnte das Gesetz der Zunahme der Entropie aus Grundprinzipien abgeleitet werden?

Ich denke, dass das Ergebnis, das Ihrer Frage am nächsten kommt, der berühmte Satz von Lanford ist, der die Boltzmann-Gleichung für (sehr) kurze Zeiten rigoros aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen für ein Gas aus harten Kugeln in der Boltzmann-Grad-Grenze ableitet. Es ist ein klassisches Ergebnis, das an vielen, vielen Stellen (auch von Wissenschaftsphilosophen) diskutiert wird.
Ich schlage vor, Sie lesen Ihre Frage noch einmal, überprüfen die Verwendung von Mikro- und Makrozuständen und geben explizit an, wann Sie den Begriff Zustand verwenden, auf den man sich bezieht. In seiner jetzigen Form gibt es einige Verwirrung. Zum Beispiel führen Sie die Boltzmann-Entropie ein, indem Sie sagen, dass es die Entropie des Mikrozustands wäre, in dem sich das System gerade befindet T . Die von Ihnen geschriebene Formel liefert jedoch nicht die Entropie eines Mikrozustands. Und der Gleichgewichtsmakrozustand ist zeitunabhängig. An anderer Stelle schreiben Sie Zustand, aber es ist nicht klar, ob Sie einen Makrozustand oder einen Mikrozustand meinen.
Die Zunahme der Entropie kann nur ein Theorem in Anordnungen sein, in denen der Systemzustand probabilistisch beschrieben wird. In deterministischen Setups gibt es gelegentlich Schwankungen S ( T ) nimmt kurzzeitig ab.
Ich denke, das "Standard"-Wahrscheinlichkeitsargument wird wahrscheinlich in diesem Artikel von Jaynes vorgebracht.
@ GiorgioP - Jeder Mikrozustand u wird auf einen Makrozustand U abgebildet. Dann kann ich die Anzahl der Mikrozustände zählen, die mit U kompatibel sind, und ich kann U einen Entropiewert zuweisen. Dann kann ich allen Mikrozuständen u denselben Entropiewert zuweisen die mit U kompatibel sind. Auf diese Weise kann ich von der Entropie eines Mikrozustands sprechen. Habe ich einen Fehler gemacht?

Antworten (1)

Ich glaube, Sie geben gerade mit Ihrem zweiten Beispiel eine Version von Loschmidts Parodox an. Wie erhalten wir ungefähr den Zeitpfeil / die beobachtete Asymmetrie angesichts symmetrischer Gesetze?

"... man nimmt an, dass der zweite Hauptsatz der Thermodynamik seinen Ursprung in den Anfangsbedingungen im Universum hat"

Nun, was war das Besondere an den Anfangsbedingungen im Universum?

Der Urknall mit niedriger Entropie war „... ein fester Anfangszustand eines makroskopischen Systems, [der] einer relativ niedrigen Entropie entspricht, weil die Koordinaten der Moleküle des Körpers eingeschränkt sind Koordinaten können sich in größere Volumina des Phasenraums bewegen, unsicherer werden und somit zu einer Zunahme der Entropie führen.

Das ist es. Die beobachtete Asymmetrie des zweiten Hauptsatzes erfordert eine sogenannte "Vergangenheitshypothese", wenn die zugrunde liegenden Gesetze symmetrisch sind, was das Standardmodell durch CPT-Symmetrie ist. Man könnte sich die gleichen physikalischen Gesetze vorstellen, jedoch mit einem Urknall mit maximal hoher Entropie. Gleiche Gesetze, kein zweites Gesetz. Für den zweiten Hauptsatz und deine Frage benötigst du eine Vergangenheitshypothese (natürlich zusammen mit den bekannten Gesetzen der Physik).

Für Ihr zweites Beispiel gibt es keine Möglichkeit, das System in der Zeit zurück zu entwickeln, selbst wenn die Gesetze dies zulassen. Der Urknall hatte per Definition keine Geschichte mit hoher Entropie; da war nichts.

Sie können den zweiten Hauptsatz nicht erklären , ohne sich auf die Vergangenheitshypothese zu berufen. Sogar für probablistische Zulagen über das Fluktuationstheorem, das die Wahrscheinlichkeiten für eine Entropieumkehrbahn angibt. Die Chancen, Zeuge einer solchen Umkehrung zu werden, basieren darauf, wie weit das System derzeit vom Gleichgewicht entfernt ist. Die empirischen Chancen sind so gering, weil der Urknall eine so niedrige Entropie hatte (weit entfernt vom Gleichgewicht).

Es gibt andere Theorien mit doppelten Zeitpfeilen und dergleichen, aber das zweite Gesetz allein erfordert eine Vorstellung von Anfangsbedingungen (aktueller Konsens).

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