Ist eine Krümmungssingularität topologisch nur ein Loch?

Oder ist die singuläre Struktur stattdessen kein Teil der Mannigfaltigkeit, wie in @benrgs Antwort auf diese Frage vorgeschlagen, und ist daher kein topologisches Loch?

Das sind nicht zwei unterschiedliche Interpretationen. Ein topologisches Loch ist genau etwas, das nicht Teil der Mannigfaltigkeit ist.

Ich frage mich, ob aus meiner naiven Sicht vielleicht eine topologische Perspektive besser geeignet ist, um Krümmungssingularitäten zu beschreiben?

Auch dies ist kein „oder“.

Das Theorem von Hawking (SW Hawking, CMP 25, 152–166 (1972)) besagt, dass Oberflächen des Ereignishorizonts in (3+1)D asymptotisch flachen Raumzeiten stationärer Schwarzer Löcher, die der dominanten Energiebedingung gehorchen, topologisch 2-Sphären sind.

Wenn Sie außerdem ein euklidisches Integral des Gauß-Bonnet-Skalars eines BH ($r$vom Horizont bis zur Unendlichkeit und der euklidischen Zeit von$0$Zu$1/T$), erhalten Sie Euler-Charakteristiken$\chi =2$, die tatsächlich eine Kugel ist.

„Als Schwarzschild sich daranmachte, das Gravitationsfeld einer Punktquelle zu bestimmen, die am Ursprung von$R^{3}$. Seine Lösung sollte also auf R × ($R^{3}$- {(0, 0, 0)}) und Singular auf R × {(0, 0, 0)}, ohne den Begriff eines mathematischen Punktes oder genauer gesagt den Begriff einer Linie des Universums eines Punktes zu überschreiten, aber er schaltet auf die Kantenvarietät R × [0, +∞[×S²] um, die Singularitäten auf der Kante R × {0} × S² hat, aber die auf der Kante induzierte räumliche Metrik α²dω² stellt eindeutig die Topologie von S² wieder her. Daher stellt die räumliche Metrik die Topologie von [0, +∞[×S²] wieder her. Der Raum des Betrachters wird also mit einem realen dreidimensionalen Halbzylinder identifiziert, also mit einem vom Raum verschiedenen Raum$R^{3}$was in der Formulierung des Problems auftaucht. Der Massenpunkt sollte am Ursprung von platziert werden$R^{3}$was per Hypothese ein singulärer Punkt für die Metrik wäre. Jetzt haben wir keinen singulären Punkt, sondern eine Unendlichkeit von singulären Punkten, die die Kante {0} × S² bilden, die die Potenz der Kontinuität hat. Der eigentliche Inhalt des Problems wird tiefgreifend verändert. Man spricht jedoch weiterhin vom "Ursprung r = 0", als wäre es ein Punkt."

Zusammenfassung oder Auszug eines langen Dokuments auf Französisch.

Soweit ich weiß, liegt das Problem in der Verwendung der Änderung von Variablen (explizit oder implizit), ohne die mathematischen Bedingungen zu berücksichtigen, die ihnen eine logische Bedeutung verleihen.

Der beste Weg, diese Frage zu beantworten, ist die Untersuchung der inneren Schwarzschild-Lösung. Was passiert als Kompaktheitsparameter$\alpha=r_s/R$Wert erreicht$8/9$? Metrische Komponenten werden$g_{00}=0$Und$g_{rr}=1$. Energiedichte$\varepsilon$bleibt endlich und Druck divergiert als$p~\sim r^{-2}$. Es ist die „Geburt“ der zentralen Singularität. Diese Worte sind jedoch physikalisch bedeutungslos. Was wir mit Sicherheit haben, ist der anfängliche Ereignishorizont, der klar durch Raumzeitpunkte definiert ist, an denen die Zeit aufhört, dh$g_{00}=0$. Es ist auch klar, dass die Krümmung invariant ist$R$, geht aufgrund der Druckdivergenz gegen unendlich. Aber in kugelsymmetrischer Raumzeit ist die Krümmung eine intrinsische Eigenschaft einer 2-Sphäre und nicht eines nicht-dimensionalen Punktes. So sollte man interpretieren$r=0$als 2-Kugel mit Null Oberfläche.