Ist es notwendig, dass zwei Vektoren immer koplanar sind?

Ist es notwendig, dass in 3 Dimensionen zwei Vektoren immer koplanar sind? Mein Lehrer sagte der Klasse, dass zwei Vektoren in 3 Dimensionen immer koplanar sind. Was aber, wenn wir zwei nicht parallele und sich nicht schneidende Vektoren betrachten? wie die parallel zu 2 schrägen Linien, wie können diese koplanar sein?

Ein weiteres Beispiel ist ein Würfel. Nehmen Sie nun einen Vektor, der entlang der Seitendiagonale der oberen Fläche des Würfels verläuft, und einen anderen, der entlang der Seitendiagonale der unteren Fläche verläuft (die Diagonale, die nicht in die gleiche Richtung wie die andere verläuft). Diese 2 sind auch nicht koplanar.

Was sind sich schneidende Vektoren?
Vektoren sind nicht dasselbe wie Segmente.
@JoséCarlosSantos Sich schneidende Vektoren von dem, was mir mein Highschool-Lehrer gesagt hat, sind Vektoren, von denen Sie wissen, dass sie sich schneiden
Dies ist analog zu zwei kollinearen Punkten. Fügen Sie den Ursprung hinzu und jetzt sind die beiden Vektoren vom Ursprung koplanar.

Antworten (2)

Sie verwechseln Vektoren mit Liniensegmenten und lineare Räume mit affinen Räumen.

Wenn Sie das Beispiel des Würfels nehmen, beschreiben Sie Liniensegmente. Diese sind tatsächlich nicht koplanar. Aber auch das sind keine Vektoren.

Wenn Sie koplanare Vektoren visualisieren möchten (übrigens kein gutes mathematisches Wort ...), müssen Sie den Ursprung dieser Vektoren an einem gemeinsamen Punkt positionieren. Wenn die anderen Eckpunkte dieser Vektoren und die gemeinsamen Punkte koplanar sind, dann können Sie sagen, dass diese Vektoren koplanar sind.

Wenn Sie diese Logik anwenden, kommen Sie zu dem Schluss, dass zwei beliebige Vektoren immer koplanar sind. Was übrigens nicht nur in der Dimension stimmt 3 aber für jede Dimension N ≥ 2 .

Da ich in der Highschool bin, weiß ich nicht, was affine Räume oder lineare Räume sind.
Dann vergiss diesen Satzteil und konzentriere dich auf Vektoren und Liniensegmente.
Warum ist es auch notwendig, dass die Vektoren denselben Punkt haben wie das Ende ihres Schwanzes?
@KoustubhJain Dies ist per Definition ein Vektor. Ich kann mir vorstellen, dass Ihr Lehrer Ihnen eine Definition eines Vektors gegeben hat. Oder zumindest hoffe ich es. Es wäre interessant, dass Sie Ihre Frage mit dieser Definition aktualisieren. Ich stelle mir auch vor, dass Sie eine Definition für zwei koplanare Vektoren erhalten haben.
"Dies ist per Definition ein Vektor", aber gilt dies dann nicht nur für lokalisierte Vektoren?
Ich weiß nicht, was ein lokalisierter Vektor ist ... Wie ist das definiert?

Ich denke, Sie, Ihr Professor und die andere Antwort haben unterschiedliche Definitionen von Vektoren gemischt, die in der Physik und in der Mathematik verwendet werden - was verständlich ist, da es in diesem Forum um Mathematik geht.

In der Physik ist es oft sinnvoll, freie Vektoren (oder euklidische Vektoren) zu verwenden, die eine Richtung und einen Betrag haben, und lokalisierte Vektoren (oder begrenzte Vektoren oder affine Vektoren), die auch einen Anwendungspunkt haben. Auf diese Weise werden lokalisierte Vektoren durch zwei Punkte definiert, während freie Vektoren durch nur einen Punkt definiert werden. Tatsächlich sind freie Vektoren wie lokalisierte Vektoren mit einem gemeinsamen Start. Eine Zusammenfassung, warum Physiker häufig lokalisierte Vektoren verwenden, finden Sie unter https://physics.stackexchange.com/questions/139824/why-is-force-a-localized-vector-and-not-a-free-vector .

Andererseits meint man in der Mathematik, wenn man von Vektoren und Vektorräumen spricht, fast immer freie Vektoren.

Dann ist es wahr, dass zwei freie Vektoren immer koplanar sind (wie die andere Antwort sagt), aber zwei lokalisierte Vektoren sind möglicherweise nicht koplanar (wie die Frage sagt).

Aus diesem Grund habe ich das OP in den Kommentaren dazu gedrängt, die Definitionen sorgfältig aufzuschreiben. Vor allem, wenn ein Begriff, dh ein Vektor, falsch verwendet wird, um verschiedene Begriffe zu überdecken. Buchen und Eichen sind Bäume. Aber verwenden Sie nicht das Wort Baum, wenn Sie es speziell mit einer Eiche zu tun haben wollen!!!
Meiner Erfahrung nach sind Physiklehrer (und noch mehr in der High School) nicht so streng in Bezug auf Definitionen, wie es Lehrer für lineare Algebra 101 wären. Tatsächlich kann ich mich nicht erinnern, dass mir eine Definition von Vektor im physikalischen Kontext gesagt wurde, weder in der High School noch in der Ingenieurschule. Ich glaube, ich habe nie eine solche Definition gebraucht, aber in Mathematik ist es genau das Gegenteil.
Ist es notwendig, dass zwei Vektoren immer koplanar sind?
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