Kürzester Abstand von der z-Achse zu gegebenen Linien

Question

Archis Welankar

Der kürzeste Abstand zwischen den Linien $x+y+2z-3=2x+3y+4z-4=0$ und die z-Achse ist?.

Versuchen

$\text {Attempt}$ . Ich habe zuerst das Kreuzprodukt der Vektoren zweier Linien genommen, dh

i + j + 2 k, 2 i + 3 j + 4 k

$i+j+2k,2i+3j+4k$ um den senkrechten Vektor als zu erhalten

- 2 i + k

$-2i+k$ . Ich weiß, dass der Abstand zwischen zwei Schräglinien ist

| \frac{(a_{2} - a_{1}) . (b_{1} \times b_{2})}{(b_{1} \times b_{2})} |

$|\frac {(a_2-a_1). (b_1×b_2)}{(b_1×b_2)}|$ . Wo

a_{2}, a_{1}

$a_2,a_1$ sind Positionsvektoren aus Linien und

b_{1}, b_{2}

$b_1,b_2$ sind die Vektoren

- 2 i + k, k (z - a x i s)

$-2i+k,k (z-axis)$ .Aber wie finde ich die Positionsvektoren ?.Danke.

Michael Rosenberg · Answer 1

Lassen $z=t$ .

Somit, $x+y=3-2t$ Und $2x+3y=4-4t$ , was gibt $x=5-2t$ Und $y=-2$ .

Daher, $(5-2t,-2,t)$ ist unsere Linie.

Nun lass $(5-2t,-2,t)\subset\pi$ Und $(0,0,k)||\pi$ .

Lassen $\vec{n}(a,b,c)$ ist ein normales von $\pi$ .

Daher, $(a,b,c)(0,0,1)=0$ Und $(a,b,c)(-2,0,1)=0$ oder $c=0$ Und $-2a+c=0$ ,

was das gibt $\vec{n}(0,1,0)$ und die Gleichung von $\pi$ es ist $y=-2$ .

Id est, die Entfernung ist $2$ .

Ich habe die letzte Zeile nicht bekommen, und die Gleichung von pi ist y=-2.. wie hast du y mit distance in Beziehung gesetzt.
@Archis Welankar Der Abstand zwischen $z$ -Achse und die Ebene $y=-2$ gleich $2$ . Es ist offensichtlich, aber wir können verwenden: Distanz $=\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ , Wo $ax+by+cz+d=0$ ist eine Gleichung der Ebene und $(x_1,y_1,z_1)$ ist ein Punkt. In unserem Fall ist es ein Punkt $(0,0,0)$ und die Ebene ist es $0x+y+0z+2=0$ .