Ist es richtig zu sagen: "Die Zeit verlangsamt sich, je tiefer wir in ein Gravitationsfeld eindringen, weil ein Teil davon in räumliche Geschwindigkeit umgewandelt wird"?

Ich weiß nicht, warum die Leute die Frage ablehnen. Es ist offensichtlich, dass Sie mit der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht genug vertraut sind, aber ich verstehe Ihre Frage.

In GR ist das wichtigste Objekt die Metrik , die uns sagt, wie man Entfernungen mit einigen Koordinaten misst. Die quadrierte Länge eines infinitesimalen Liniensegments in der Raumzeit ist gegeben durch

$$ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu =\left[ \matrix{ dx_0 & dx_1 & dx_2 & dx_3} \right]\left[ \matrix{ g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03 } \\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13 } \\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23 } \\ g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33}} \right] \left[ \matrix{ dx_0 \\ dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3} \right]$$

Hier,$g_{\mu \nu}$wird metrischer Tensor genannt und ist eine Matrix, die alle Informationen enthält, die wir benötigen, um zeitliche und räumliche Entfernungen zu messen.

Die Geschwindigkeit in GR wird mit einem 4-Vektor beschrieben, der einfach als 4-Geschwindigkeit bekannt ist . Es wird von gegeben

$$U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$$ $\tau$steht für Eigenzeit , die durch definiert ist $d\tau^2 = -ds^2$, aber machen wir uns vorerst keine Gedanken über seine Bedeutung. Einstellung $c=1$der Einfachheit halber können wir die Komponenten des Vektors explizit schreiben: $$U^\mu = (\gamma, \gamma \mathbf{u}) = \left[ \matrix{ \gamma \\ \gamma \frac{dx_1}{dt} \\ \gamma \frac{dx_2}{dt} \\ \gamma \frac{dx_3}{dt} } \right]$$ Hier, $\gamma$ist der Lorentzfaktor gegeben durch $$\gamma = \frac{d\tau}{dt}$$ und es beschreibt das Verhältnis der Änderung der Eigenzeit in Bezug auf die Koordinatenzeit . Mit anderen Worten, es beschreibt, wie viel Sie sich in der Raumzeit bewegen, wenn Sie sich nicht in diesem Koordinatensystem durch den Raum bewegen. Oder, wenn Sie so wollen, es beschreibt die Geschwindigkeit durch die Zeit (Zeitdilatation, um genau zu sein). Die anderen drei Komponenten beschreiben die Geschwindigkeit durch den Raum , multipliziert mit $\gamma$.

Bisher folgen? Wenn nicht, suchen Sie nach den unbekannten Begriffen, Sie sollten sie leicht finden!

Ok, schauen wir uns an, was im Gravitationsfeld in der Nähe eines ungeladenen, nicht rotierenden kugelförmigen Massenobjekts passiert$M$. Die Lösung für dieses Problem lässt sich am einfachsten mit der Schwarzschild-Metrik ausdrücken , gegeben durch

$$ds^2 = - \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right) dt^2 + \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$ Hier, $G$ist Newtons Gravitationskonstante und die Koordinaten, die wir verwenden, sind als Schwarzschild-Koordinaten bekannt . $t$ist die von einem unendlich weit vom Objekt entfernten Beobachter gemessene Zeitkoordinate und $r$ist die radiale Koordinate, die den Umfang misst, dividiert durch $2\pi$, einer Kugel, die um das Objekt zentriert ist. Der Einfachheit halber können Sie anzeigen $t$als Zeit u $r$als Abstand vom Mittelpunkt des Objekts, aber denken Sie daran, dass diese Koordinaten konkrete Definitionen haben. $\Omega$steht für Winkelkoordinaten, aber kümmern wir uns hier nicht darum.

Indem Sie es von Anfang an in die Formel einsetzen, können Sie das Raumzeit-Entfernungselement schreiben (ignorieren Sie der Einfachheit halber den Winkelteil, dh$d\Omega = 0$) mit dieser Matrixgleichung:

$$ds^2 = \left[ \matrix{ dt & dr } \right] \left[ \matrix{- \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right) & 0 \\ 0 &\left( 1 - \frac{2GM}{r} \right)^{-1}} \right] \left[ \matrix{ dt \\ dr } \right]$$

Die Geschwindigkeit (wieder ohne Berücksichtigung des Winkelanteils) ist dann

$$\left[ \matrix{ \frac{dt}{d \tau} \\ \frac{dr}{d \tau} } \right] = \left[ \matrix{ \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{2GM}{r}} }\\ \sqrt{ 1 - \frac{2GM}{r} } } \right]$$

Wenn Sie sich also dem Objekt nähern,$r$abnimmt und Ihre Geschwindigkeit durch die Zeit abnimmt, während die Geschwindigkeit durch den Raum zunimmt. Aber denken Sie nicht an Entfernungen$r\leq 2GM$weil Sie auf einige Probleme stoßen werden, die den Rahmen dieser Antwort sprengen würden. ( Der Vollständigkeit halber möchte ich nur erwähnen, dass Objekte mit einem Radius kleiner als$2GM$sind schwarze Löcher und ihr Ereignishorizont wäre bei$r_s=2GM$, bekannt als Schwarzschild-Radius )

Die Antwort auf Ihre Frage lautet also ja , aber man muss mit Worten vorsichtig sein und ihre Bedeutung genau angeben.

Ich habe vielleicht irgendwo ein Minuszeichen übersehen, aber es sollte die Schlussfolgerung nicht beeinflussen. Ich habe die verwendet$(-,+,+,+)$Konvention. Fühlen Sie sich frei, mich zu korrigieren oder auf einen Fehler hinzuweisen.