Warum sollte die Raumzeitkrümmung Gravitation verursachen, da der Wert der Gravitationszeitdilatation so gering ist?

Um dies zu verstehen, betrachten Sie die Analogie von zwei Autos, die vom Äquator nach Norden fahren, wie in der Frage diskutiert: Warum beeinflusst die Geschwindigkeit eines Objekts seinen Weg, wenn die Schwerkraft eine verzerrte Raumzeit ist? Das relevante Diagramm aus dieser Frage lautet:

Aufgrund der Krümmung der Erdoberfläche konvergieren die beiden Autos, obwohl sie parallel gestartet sind, und das passiert in der Allgemeinen Relativitätstheorie, nur dass wir dort auch die Zeit als Dimension behandeln müssen.

Wenn Sie sich das Diagramm ansehen, sollte es offensichtlich sein, dass je schneller die Autos nach Norden fahren, desto schneller werden sie konvergieren, dh je größer die scheinbare Kraft zwischen ihnen ist. In der Tat, wie in Geodätische Abweichung auf einer Zweikugel besprochen, wenn die Autos eine Distanz starten$d$auseinander ihre Trennung zu der Zeit$t$wird gegeben von:

und eine schnelle Differenzierung später finden wir die Beschleunigung$d^2s/dt^2$ist proportional zu$v^2$. Die scheinbare Kraft zwischen den beiden Autos ist also proportional zum Quadrat ihrer Geschwindigkeit nach Norden.

In der allgemeinen Relativitätstheorie finden wir für ein stationäres Objekt, dass die vier Beschleunigungen gegeben sind durch:

Siehe Wie erklärt "gekrümmter Raum" die Gravitationsanziehung? woher diese Gleichung kommt. Die Quantität$u$ist die vierfache Geschwindigkeit, also haben wir wieder eine quadratische Abhängigkeit der Beschleunigung von der Geschwindigkeit, genau wie im Fall der 2-Sphäre oben.

Und das erklärt gut, warum selbst eine kleine Krümmung große Beschleunigungen verursacht. Das liegt daran, dass die Größe der vier Geschwindigkeiten immer gleich ist$c$, also multiplizieren wir in der Gleichung für die Beschleunigung den (kleinen) Krümmungsterm$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$durch den (sehr großen) Begriff$c^2$. So bekommen wir sogar an der Erdoberfläche, wo die Raumzeitkrümmung kaum messbar ist, noch eine Beschleunigung von$9.81~\textrm{m}^2$weil wir diese kleine Krümmung mit multiplizieren$9 \times 10^{18}$.

Was das Vergehen der Zeit betrifft, nein, es bedeutet nicht, dass die Zeit vergeht. In GR ist die Flugbahn eines Objekts eine Linie in einer 4D-Mannigfaltigkeit, dh die Menge aller möglichen Positionen des Objekts in der Raumzeit. Während Menschen wahrnehmen, dass sich die Position auf dieser Linie mit der Zeit ändert, gibt es in GR kein entsprechendes Konzept des Flusses. Mehr dazu unter Was ist Zeit, fließt sie und wenn ja, was bestimmt ihre Richtung?

Das resultierende Gravitationspotential (GPE pro Masseneinheit) ist ebenfalls "klein", verglichen mit$c^2$... aber in SI-Einheiten kann es immer noch ziemlich groß sein. Es ist, als würde man fragen, wie eine Geschwindigkeit messbar groß sein kann, wenn man erwartet, dass sie im Vergleich dazu klein ist$c$.

Bedeutet dies, dass die Schwerkraft in Einsteins Relativitätstheorie Zeit braucht, um zu funktionieren?

Das tut es auch in der Newtonschen Physik; in beiden Fällen wollen wir eine Beschleunigung erklären, die eine zeitliche Ableitung zweiter Ordnung ist.

Ich finde es hilfreich, sich die Schwerkraft wie ein Tiefdruckgebiet im Wetter vorzustellen. Sie müssen den Unterschied zwischen der Zeitrate in der Höhe und an der Erdoberfläche nicht berücksichtigen. Alles, was Sie wissen müssen, ist, dass der Zeitdruck unmittelbar unter dem Objekt etwas geringer ist als der Zeitdruck unmittelbar über dem Objekt. Das Objekt will sich also in diese Richtung bewegen, also nach unten.

Denken Sie daran, warum ein Heliumballon in die Luft steigt. Es weiß nicht, dass der Luftdruck in 100 Metern Höhe anders ist als an der Oberfläche. Es weiß nur, dass der Luftdruck direkt darüber ein kleines bisschen niedriger ist als der Luftdruck darunter. Es bewegt sich also in diese Richtung – nach oben.

Beim Fallen kommt es also nur auf die Differenz zwischen diesem Druck unmittelbar über und unmittelbar unter dem Objekt an.