Warum beeinflusst die Geschwindigkeit eines Objekts seinen Weg, wenn die Schwerkraft eine verzerrte Raumzeit ist?

Sie verwenden die Formulierung "gekrümmte Raumzeit", aber Sie denken immer noch nur an "gekrümmten Raum" mit einer unabhängigen, linearen Zeit.

In Ihrem Krümmungsmodell gehen Sie davon aus, dass beim Bewegen durch einen räumlichen 3D-Punkt in einer räumlichen 3D-Richtung dieselbe 3D-Pfadkrümmung unabhängig von der Geschwindigkeit auftritt (als ob Sie einen Ball durch ein gekrümmtes Rohr schießen würden). Sie würden sicherlich zustimmen, dass eine andere anfängliche 3D-Richtung zu einem anderen Pfad führt.

Jetzt sind wir in 4D, was bedeutet, dass zwei verschiedene Anfangsgeschwindigkeiten zwei verschiedene 4D-Richtungen sind, und da die Zeit nicht als unabhängige Komponente behandelt werden kann, sondern zusammen mit dem Raum gekrümmt ist, führt dies leicht zu einem anderen Pfad.

Nähern wir uns dem mit einer einfachen Analogie. Angenommen, Sie und ich sitzen in zwei Autos am Äquator und fahren nach Norden. Obwohl wir anfangs genau parallel zueinander gefahren sind, werden wir feststellen, dass der Abstand zwischen uns abnimmt, bis wir am Nordpol kollidieren würden. Unser Antrag sieht so aus:

(Dieses Diagramm stammt aus meiner Antwort auf Wenn Objekte entlang geodätischer Pfade der gekrümmten Raumzeit fallen, warum wirkt keine Kraft auf sie? )

Die Krümmung der Erde hat also dazu geführt, dass wir aufeinander zu beschleunigt und schließlich zusammengestoßen sind, und diese Beschleunigung hängt von unserer Geschwindigkeit ab. Wenn wir sehr langsam fahren, würden wir uns langsam annähern, während wir uns schnell annähern würden, wenn wir schnell fahren würden. Die scheinbare Kraft, die uns dazu bringt, aufeinander zu zu beschleunigen, hängt also von unserer Geschwindigkeit ab.

Und das ist ungefähr das, was in der Allgemeinen Relativitätstheorie passiert. Die Beschleunigung eines Objekts, das in eine gekrümmte Raumzeit fällt, wird durch eine Gleichung beschrieben, die als geodätische Gleichung bezeichnet wird, und die Geschwindigkeit des Objekts, oder genauer gesagt die Vierergeschwindigkeit, erscheint in dieser Gleichung.

In meiner vereinfachten Analogie der Kugel beeinflusst die Geschwindigkeit unsere Beschleunigung zueinander, aber nicht das Endergebnis, dh wir würden am selben Ort (dem Nordpol) kollidieren. Aber dies ist ein Artefakt der vereinfachten Analogie, die ich verwendet habe. Wenn wir die Berechnung in der 4D-Raumzeit durchführen, stellen wir fest, dass die Geschwindigkeit auch die Flugbahn beeinflusst. Unterschiedliche Vierergeschwindigkeiten erzeugen unterschiedliche Viererbeschleunigungen und unterschiedliche Trajektorien.

Werde den Planeten in deinem Szenario los. Haben Sie einfach zwei Objekte am selben Ort und zur selben Zeit in (1 + 1D) flacher Raumzeit. Lassen Sie uns unseren Referenzrahmen so aufbauen, dass beide am Ursprung beginnen$(t,x)=(0,0)$, wobei man sich bewegt$1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$im$+x$Richtung und eine bewegt sich an$2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$im$+x$Richtung. Bewegen sich diese Objekte in der Raumzeit auf demselben Weg? Ich denke, Sie könnten ja sagen, weil beide dem räumlichen Weg folgen$t = 0$, aber die Antwort ist eindeutig nein! Der Weg eines Objekts durch die Raumzeit ist genau das : der Weg durch Raum und Zeit. Unser "langsames" Objekt folgt dem Pfad$x=t\cdot1\,\mathrm{m}/\mathrm{s},$und unsere schnelle$x=t\cdot2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.$

Was Sie als "Pfad" denken, ist der "Schatten" der vollständigen Raumzeitpfade auf die "räumliche Hyperebene" (in diesem Fall auf der x-Achse; in Ihrer Frage wäre das der dreidimensionale "Raum". ). Aber das ist SR/GR: Der springende Punkt ist, dass es nicht ausreicht, nur den Raum zu betrachten. Jedenfalls jetzt, wo wir festgestellt haben, dass Objekte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bereits unterschiedlichen Wegen durch die Raumzeit folgen, selbst wenn die Raumzeit flach ist und selbst wenn sie am selben Punkt beginnen. Alles, was ich wirklich sagen muss, ist, dass eine gekrümmte Raumzeit es zulassen kann, dass dieser Unterschied, der im Moment "zeitlich" aussieht, überläuft und "räumlich" wird.

Nun, ich werde nicht auf den GR eingehen, aber bei Objekten mit geringer Masse wie der Erde kommt der größte Teil der Gravitationsanziehung von der Krümmung der Zeit , nicht vom Raum. Alle Objekte bewegen sich auf natürliche Weise in Richtung Zukunft, und die Schwerkraft der Erde bedeutet, dass die Zukunftsrichtung nahe ihrer Oberfläche eine nach innen gerichtete radiale Komponente erhält (im Vergleich zu einem Beobachter im freien Fall "weit entfernt"). Auf die Erde zu fallen ist genauso unvermeidlich wie sich durch die Zeit zu bewegen ... was, wie oben gezeigt, ziemlich "vermeidbar" ist, wenn Sie schnell genug gehen. Dass wir offensichtlich nicht durch den Boden fallen, liegt daran, dass uns die Abstoßung zwischen unseren Atomen und der Erde ständig beschleunigt$1 g$nach oben, solange wir mechanisch mit der Oberfläche verbunden sind.

Nun, ich sagte, ich würde nicht voll GR gehen. Stattdessen sage ich Folgendes: Selbst hier, auf der Erdoberfläche, können wir uns die Raumzeit als flach vorstellen (also befinden wir uns im SR-Land), und die Dinge scheinen sich unter der Schwerkraft zu beschleunigen, einfach weil wir uns in einem Nicht- Trägheitsrahmen, der unter der Normalkraft des Bodens ständig nach oben beschleunigt. Als SR-Trick sollten wir Rindler-Koordinaten verwenden. Rindler-Koordinaten in SR sind die Koordinaten eines nicht inertialen Bezugsrahmens, der eine konstante Eigenbeschleunigung hat. Von einem Trägheitsrahmen aus gesehen sind die Rindler-Koordinatenachsen gekrümmt. Vom Rindler-Rahmen aus gesehen sind die kartesischen Achsen des Trägheitsrahmens gekrümmt. Angenommen, wir beschleunigen um$a=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$entlang der$+y$Richtung und wir lassen den Ursprung teilen, die Transformation von Trägheit$(t, x, y)$Koordinaten zu Rindler$(T, X, Y)$Koordinaten ist

(Hinweis: Dies ist fast, aber nicht ganz (ein paar Teile in [insert-big-pot-of-10-hier] off) eine Parabel). In der obigen Grafik ist die$X$-/$x$-Achse geht in/aus dem Bildschirm. Wenn Sie sich vorstellen, unser Diagramm von oben zu nehmen und es auszurichten$x$- Und$y$-Achsen mit der$X$- Und$Y$-Achsen hier, und dann das Biegen$y$- Und$t$-Achsen, so dass sie mit dem ausgerichtet sind$Y$- Und$T$-Achsen, dann biegen sich auch die Weltlinien der beiden Objekte, um den Pfad anzugeben, wie wir sie von unserem Referenzrahmen aus sehen, der am "Boden" befestigt ist. Da die Objekte keine hatten$y$-Komponente ihrer Bewegung, ihre Weltlinien sind tatsächlich "oben auf".$t$-Achsenkurve oben, so dass das obige Diagramm auch dazu dient, die (fast) quadratische Beziehung zwischen Höhe und verstrichener Zeit für die Objekte zu zeigen, wenn sie unter der Schwerkraft fallen. Beachten Sie, dass ihre scheinbare Beschleunigung und anschließende Verschiebung in der$Y$-Richtung (die Sie als "räumliche" Richtung "Höhe" betrachten könnten) kommt rein von der Biegung der Zeitachse.

Wenn wir nun die überlagerten Graphen so drehen, dass die$X$- Und$Y$-Achsen sind sichtbar, aber die$T$-Achse verschwindet, stellen wir endlich Ihre räumlichen Pfade wieder her. Während im Inertialsystem die räumlichen Bahnen der beiden Objekte zusammenfielen, hat die Krümmung der Rindler-Koordinaten die zeitliche Trennung zwischen ihnen (aufgrund ihrer unterschiedlichen Geschwindigkeiten) in eine räumliche verwandelt. Meine Demonstration ist rein mathematisch – die durch Rindler-Koordinaten beschriebene Raumzeit ist immer noch flach, selbst wenn die Koordinaten gekrümmt sind – aber ich hoffe, Sie können sehen, dass in GR, wo sich die Raumzeit wirklich krümmt, diese Krümmung den Unterschied zwischen sich bewegenden Objekten „erkennen“ kann mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten, weil sich die Objekte einfach in unterschiedliche Raumzeitrichtungen bewegen .

Unterschiedliche Anfangsgeschwindigkeiten bestimmen unterschiedliche Anfangsrichtungen für die Geodäte durch die Raumzeit. Denken Sie zum Beispiel an einen Lichtkegel in einer einfachen flachen Raumzeit. Die Weltlinie für ein Objekt mit Nullgeschwindigkeit verläuft entlang der Kegelachse. Die Weltlinie für ein Objekt, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, verläuft entlang der Oberfläche des Kegels. Andere Weltlinien für verschiedene Geschwindigkeiten liegen in verschiedenen Winkeln dazwischen.

Wie andere erklärt haben, ist der Hauptpunkt, dass die Krümmung in 4D ist, nicht nur in 3D. Tatsächlich findet die Hauptverzerrung in der Zeitrichtung statt.

Ich möchte Ihrer Fantasie nur mit zwei Bildern helfen.

Stellen Sie sich einen 2D-Raum (horizontal) + Zeit (vertikal) Raumzeit und einen Referenzrahmen mit der Erde in Ruhe vor, wie im ersten Bild unten. Die Erde ist eine 2D-Scheibe; seine Weltröhre (dünne blaue Linie) in dieser Raumzeit ist ein 3D-Zylinder.

Nehmen Sie drei Projektile, die eine tangentiale Bewegung über der Erdoberfläche beginnen (dicke rote Linien). Die erste hat in Bezug auf die Erde eine Anfangsgeschwindigkeit von Null, sodass ihre Weltlinie vertikal beginnt. Die zweite hat eine nicht verschwindende Tangentialgeschwindigkeit, sodass ihre Weltlinie in einem gewissen Winkel zu einer horizontalen Ebene beginnt. Die dritte hat eine höhere anfängliche Tangentialgeschwindigkeit als die dritte, daher beginnt ihre Weltlinie in einem kleineren Winkel mit einer horizontalen Ebene (gleicher Abstand = horizontale Spanne in kürzerer Zeit = vertikale Spanne).

Wenn diese Raumzeit flach wäre, wie im obigen Bild, würden die drei Weltlinien innerhalb einer Ebene (grün) parallel zur Weltröhre der Erde liegen. Das erste Projektil würde ruhig bleiben und nicht fallen, mit einer geraden vertikalen Weltlinie. Die anderen beiden hätten auch gerade Weltlinien, die sich von der Weltröhre der Erde weg fortsetzen.

Die Energie-Impuls-Belastung der Erde krümmt stattdessen die Raumzeit, wie im zweiten Bild unten gezeigt. Die Weltlinie des Projektils mit anfänglicher Nullgeschwindigkeit wird in Richtung des Weltrohrs der Erde gebogen – wodurch es eine radiale Geschwindigkeit erhält und schließlich die Erdoberfläche berührt. Die Weltlinie des zweiten Projektils ist um die Weltröhre der Erde gebogen; Dies wird als Orbitalbewegung angesehen. Die Weltlinie des dritten Projektils ist ebenfalls in Richtung der Weltröhre der Erde gebogen, aber nicht so stark wie die zweite. Es setzt sich schließlich weit von der Erde entfernt fort (und wird "gerade", wenn die Krümmung abnimmt); Dies wird als Flucht vor der Gravitation der Erde angesehen.

Die Raumzeitkrümmung biegt also Weltlinien mit unterschiedlichen "Neigungen" auf unterschiedliche Weise. Daher die Abhängigkeit von der Geschwindigkeit, wie wir eine solche Neigung sehen.

Dass der größte Teil der Krümmung in Zeitrichtung liegt, wird deutlich, wenn man für Raumstrecke und Zeitraffer natürliche Einheiten nimmt (1 s = 300000 km). Die Weltlinien gewöhnlicher Projektile sind fast "vertikal", und ihre Krümmung tritt in diesem Beispiel der Raumzeit nur über riesige "vertikale" Entfernungen auf.

Der Mond zum Beispiel hat eine Geschwindigkeit von etwa 1 km/s. In natürlichen Einheiten wäre dies eine Weltlinie mit einem Winkel von 89,9998° zur Horizontalen. Und die Spirale seiner Weltlinie würde erst nach einer vertikalen Entfernung von ungefähr eine Spule bilden$56\,000\,000$mal den Durchmesser des hier abgebildeten Weltrohrs der Erde – Sie bräuchten ungefähr$56\,000\,000$Bildschirme übereinander, um eine Spule zu sehen, wenn das Bild hier natürliche Einheiten respektiert.

Ein noch einfacheres intuitives Bild erhält man, wenn man einen senkrecht geworfenen Ball mit unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten betrachtet. Ich lade Sie ein, ein 1+1-Raumzeitbild der Weltlinien des Balls mit unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten zu zeichnen (sie werden wie Parabeln aussehen) – Sie werden den Effekt der Krümmung und ihre Abhängigkeit von der Geschwindigkeit direkt vor sich sehen . Sehen Sie sich auch an, wie diese parabolischen Weltlinien aussehen würden, wenn Sie natürliche Einheiten verwenden.

(Bitte beachten Sie, dass die obigen Bilder nur der Veranschaulichung dienen, sie sind keine Darstellungen von Lösungen von 2+1-Einstein-Gleichungen oder ähnlichem; und entschuldigen Sie die schlechte Zeichenkunst!)

Zur Berücksichtigung vorhandener Geschwindigkeiten:

Beginnen Sie mit der standardmäßigen Gedankendemonstration des Äquivalenzprinzips: Ein Raumschiff beschleunigt in ungekrümmter Raumzeit. Das Raumschiff beschleunigt; es zieht G's. Durch das Äquivalenzprinzip: Alle Bewegungen von Objekten im Raumfahrzeug können als Bewegungen behandelt werden, die der Erdbeschleunigung unterliegen.

Nächster Schritt: Ein Projektil wird von einer Seite des Raumfahrzeugs abgefeuert, die Anfangsgeschwindigkeit des Projektils ist senkrecht zur G-Last.

Wenn dieses Projektil auf der anderen Seite des Raumfahrzeugs ankommt, bewegt es sich nicht mehr genau senkrecht. Das Projektil ist im Laufe seines Fluges abgefallen.

Die zu erwartende Fallhöhe hängt von zwei Faktoren ab:
Der Größe der G-Last
Der Geschwindigkeit des Projektils

In Bezug auf die relativistische Physik durchläuft jedes Projektil die Raumzeit .

Der Faktor Zeit darf keinesfalls aus dem Bild gestrichen werden; Wenn es weggelassen wird, ist das eigentliche Bild verschwunden.

Zurück zum Projektil im Raumfahrzeug: Je schneller sich das Projektil bewegt, desto weniger Zeit steht der G-Last zur Verfügung, um das Projektil zum Fallen zu bringen.

Nun zu dem Beispiel in Ihrer Frage: Satelliten werden in die Umlaufbahn gebracht, indem ihnen eine ausreichende Geschwindigkeit (in Richtung senkrecht zur Schwerkraft der Erde) verliehen wird.

Wie im Raumschiff: Die Tropfenmenge pro Zeiteinheit ist bei jedem Objekt gleich. Wenn das Objekt jedoch eine große senkrechte Geschwindigkeit hat, ist die Tropfenmenge pro zurückgelegter Entfernungseinheit vergleichsweise gering.

Allgemeiner gesagt, sollten Sie die gekrümmte Raumzeit nicht als eine Art Leitung betrachten. Der Ausdruck „gekrümmte Raumzeit“ drückt aus, dass ein Objekt, das diese Region der Raumzeit durchquert, eine Geschwindigkeitsänderung erfahren wird. Diese Geschwindigkeitsänderung kommt zusätzlich zur bestehenden Geschwindigkeit hinzu, falls es eine gibt.

Ich stimme Ihnen zu: Eine angemessene Darstellung dessen, was gekrümmte Raumzeit ist, sollte berücksichtigen können, dass eine andere Startgeschwindigkeit zu einem anderen Ergebnis führt. Umgekehrt: Wenn eine Präsentation dem nicht gerecht werden kann, dann ist sie fatal mangelhaft.

Ergänzende Bemerkungen:
Auch für die Himmelskörper des Sonnensystems ist die räumliche Ungeradheit noch sehr gering. Im Falle der Sonne und der Merkurbahn: Die Krümmung der gesamten Raumzeit ergibt die Merkurbahn, die Präzession des Perihels der Merkurbahn korreliert mit dem Grad der räumlichen Ungeradheit .

Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten ist der Beitrag der räumlichen Nicht-Geradheit zum Gesamteffekt sehr gering, wie durch die Umlaufbahn des Merkur veranschaulicht wird.

Andererseits bewegt sich Licht so schnell, dass nur sehr wenig Zeit bleibt, um die Raumzeitkrümmung wirksam werden zu lassen. Aufgrund dieser sehr kurzen Zeit hat der räumliche Effekt einen größeren Anteil am Gesamteffekt. (Der Effekt der räumlichen Nicht-Geradheit hängt nicht davon ab, wie viel Zeit zur Verfügung steht; es ist ein räumlicher Effekt.)

Es gibt die Krümmung des Lichts durch die Krümmung der Raumzeit um einen Stern. Das Eddington-Experiment von 1919 versuchte, die Menge der Lichtablenkung zu messen, die die Sonne streift. Die GR-Vorhersage dafür ist 1,75 Bogensekunden. (Die Hälfte dieser 1,75 Bogensekunden wird der räumlichen Nicht-Geradheit der Raumzeit zugeschrieben). Dies unterstreicht noch einmal, dass die räumliche Nicht-Geradheit des Raums um die Sonne sehr, sehr gering ist.

Dies ist keine vollständige Antwort auf Ihre Frage, sondern eher eine Ergänzung zu den vorhandenen Antworten und eine Antwort auf einige Ihrer Kommentare.

In einem Kommentar sagten Sie:

Ich stelle mir die verzerrte Raumzeit als eine Art Spur oder Gitter vor, und wenn Sie die Spur oder das Gitter krümmen, krümmt sich offensichtlich alles, was sich entlang der Spur / des Gitters "vorwärts" bewegt, in dem Maße, in dem die Spur / das Gitter gebogen ist.

Das ist völlig in Ordnung, solange man bedenkt, dass man bei einer Reise durch den Weltraum nicht umhin kommt, sich gemäß einer Uhr, die man mit sich führt, mit 1 Sekunde pro Sekunde in der Zeit vorwärts zu bewegen. Die von dieser Uhr gemessene Zeit wird Ihre eigentliche Zeit genannt, und wir verwenden im Allgemeinen den griechischen Buchstaben$\tau$(tau) um die richtige Zeit darzustellen.

Wenn Sie sich in der flachen Raumzeit mit einer konstanten Geschwindigkeit relativ zu mir bewegen (wir messen uns also gegenseitig, um eine konstante Geschwindigkeit zu haben und sich in einer konstanten räumlichen Richtung zu bewegen), können Sie sich als in Ruhe betrachten, also Ihre Raumkoordinaten sind konstant, aber natürlich tickt Ihre eigentliche Zeit wie gewohnt weiter. Wie ich bereits in einem Kommentar sagte, werden wir die Raumzeit etwas anders in Raum und Zeit aufteilen, und es wird einen Winkel zwischen unseren Zeitachsen geben.

Ein Punkt in der Raumzeit wird als Ereignis bezeichnet. Nehmen wir an, Sie reisen von einem Ereignis A zu einem anderen Ereignis B. Sie ruhen in Ihrem Rahmen, also haben A und B in Ihrem Rahmen dieselben Raumkoordinaten, aber B wird eine spätere Eigenzeit haben.

In meinem Rahmen hat die Raumzeit-„Spur“ von Ereignis A zu Ereignis B eine räumliche Komponente ungleich Null sowie eine zeitliche Komponente. Also während du sagst, dass die Zeit "Entfernung" zwischen A & B ist$\tau$und der Raumabstand 0 ist, messe ich, dass der Raumabstand zwischen A & B ist$s$und der Zeitabstand ist$t$(nach meiner richtigen Zeit), und es gibt eine einfache Formel, die diese Zahlen verbindet, die Minkowski-Version der Pythagoreischen Formel:

Jetzt können wir in der Allgemeinen Relativitätstheorie einen Teil der gekrümmten Raumzeit in kleine Teile der Raumzeit zerlegen, wobei die Krümmung jedes kleinen Teils vernachlässigbar ist. Wenn der große Brocken stark gekrümmt ist, müssen wir diese kleinen Brocken nur sehr klein machen. (Dies ist genau derselbe Prozess, den wir verwenden, um einen Atlas aus flachen Karten der gekrümmten Erdoberfläche zu erstellen. Auf jeder Seite des Atlasses können wir die Krümmung ignorieren und einfache 2D-Flachgeometrie und die Fehler durch das Ignorieren der Krümmung verwenden sind vernachlässigbar). In jedem dieser kleinen Stücke der Raumzeit können wir also die Raumzeitkrümmung ignorieren und unsere Berechnungen mit den Gleichungen der flachen Raumzeit aus der Speziellen Relativitätstheorie durchführen. Die Mathematik der Allgemeinen Relativitätstheorie ist im Wesentlichen die Maschinerie, die erforderlich ist, um die Raumzeit mithilfe von Standardkalkültechniken in kleine Stücke zu zerlegen.

Wie ich in einem früheren Kommentar erwähnt habe, ist es nicht einfach, die 4D-Raumzeit zu visualisieren, da ihre Minkowski-Entfernungsformel die standardmäßige pythagoreische Entfernungsformel ersetzt. Wir können die Dinge ein wenig vereinfachen, indem wir eine räumliche Dimension weglassen. Wenn wir zum Beispiel einen Rahmen verwenden, in dem die Sonne ruht, verläuft die Umlaufbahn der Erde um die Sonne ziemlich genau in einer Ebene. Also können wir diese Ebene für unsere zwei räumlichen Dimensionen verwenden, und wir können die vertikale Richtung verwenden, um die Zeit darzustellen (aber wenn man bedenkt, dass die Zeitrichtung wegen der$\tau^2 = t^2 - s^2$Entfernungsformel). Um die Sache noch einfacher zu machen, nehmen wir an, die Umlaufbahn der Erde sei ein perfekter Kreis, also umkreist sie die Sonne in einem konstanten Abstand von ungefähr 499 Lichtsekunden mit einer konstanten Geschwindigkeit von$10^{-4}\,c$, das ist$10^{-4}$Lichtsekunden pro Sekunde oder 30 km/s in konventionelleren Einheiten.

Ein solcher Kreis hat im Vergleich zu typischen menschlichen Maßstäben eine ziemlich kleine räumliche Krümmung. Ein 55 km langer Bogen dieses Kreises weicht von einer vollkommen geraden Linie um etwas mehr als 1 cm ab. (Das heißt, wenn Sie eine Sehne von einem Ende des 55-km-Bogens zum anderen ziehen, beträgt der Abstand zwischen dem Bogen und der Sehne an ihren Mittelpunkten etwa 1 cm). Diese räumliche Krümmung ist jedoch im Vergleich zur Raumzeitkrümmung enorm .

Ein Pfad in der Raumzeit wird als Weltlinie bezeichnet. In unserem Rahmen, in dem die Sonne ruht, ist die Weltlinie der Sonne eine vertikale Linie. Die Weltlinie der Erde ist dann eine Helix mit einer Umdrehung der Helix pro Jahr. Jetzt beträgt ein Jahr etwa 31.557.000 Sekunden, also beträgt die Steigung der Helix (der vertikale Abstand zwischen Windungen) etwa das 63.240-fache ihres Radius.

In Einheiten von reziproken Lichtsekunden ist die Krümmung des Bahnkreises angegeben$1 / 499 \approx 0.002$. Im Gegensatz dazu ist die Krümmung der Bahnwendel

was viel kleiner ist. Es braucht also nicht viel Raumzeitkrümmung, um einen Planeten in der Umlaufbahn zu halten.

Eigentlich sollte ich wahrscheinlich ein Minuszeichen im Nenner dieser Helixkrümmungsberechnung verwenden, um die Minkowski-Metrik zu respektieren. Das hat jedoch keinen Einfluss auf das numerische Ergebnis auf dieser Genauigkeitsebene, es ist immer noch$\approx 1.978\times 10^{-11}$.

Der Ausdruck gekrümmte Raumzeit kann zu solchen Gedankenassoziationen führen. Es ist besser zu glauben, dass die Wirkung der Schwerkraft darin besteht, eine Art krummliniger Koordinaten aufzuerlegen.

Was bei GR passiert, ist, dass die typische beschleunigte Bewegung, gefolgt von umlaufenden Körpern, zu einer nicht beschleunigten wird, wenn:

1. die krummlinigen Koordinaten der Metrik werden verwendet,

2. die Berechnung der Beschleunigung werden um die Tatsache korrigiert, dass die Koordinaten krummlinig sind.

Ich kann mir zwar nicht vorstellen, wie man 4D visualisiert, aber es ist möglich zu erklären, wie schwierig krummlinige Koordinaten in einem 2D-Beispiel sind.

Ein Flugzeug wählt den kürzesten Weg zwischen 2 Städten, es sei denn, es gibt einen anderen Grund, dies nicht zu tun. Da die Längen- und Breitengrade krummlinige Koordinaten sind, nimmt eine Fliege zwischen zwei Punkten auf fast demselben Breitengrad (z. B. San Francisco nach Washington DC) keine Route, die konstant nach Osten verläuft. Wenn Sie in einem Diagramm eines Fliegenmagazins sehen, scheint die Fliege eine Kurve zu sein, wobei das Flugzeug in der ersten Hälfte der Reise eine gewisse Geschwindigkeitskomponente nach Norden und in der zweiten Hälfte der Reise nach Süden hat.

Aber wenn Sie die Route in einem Globus sehen, ist es leicht zu erkennen, dass es sich tatsächlich um den kürzesten Weg handelt. Der Kompass zeigt immer an, dass sich die Richtung der Geschwindigkeit ändert, aber das ist nicht wirklich der Fall. Es gibt eine mathematische schwere Maschinerie namens kovariante Ableitung, die die Eingaben des Kompasses korrigiert, was zu einer konstanten Geschwindigkeit führt.

Ähnlich verhält es sich mit der 4D-Raumzeit. Unsere Koordinaten zeigen eine beschleunigte Bewegung. Aber wenn sie durch die kovariante Ableitung korrigiert wird, wird sie zu einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.

Wenn sich ein Teilchen nicht im gekrümmten Raum bewegt, würde es nach Ihrer Argumentation im Raum bleiben.
Aber wenn der Raum gekrümmt ist, ist die Zeit (die ein integraler Bestandteil der Raumzeit ist, im Gegensatz zur Newtonschen Sichtweise, wo sie als getrennt und absolut betrachtet werden) ebenfalls gekrümmt. Der verbundene Raum und die verbundene Zeit sind die absolute Entität in der Relativitätstheorie anstelle des getrennten absoluten Raums und der absoluten Zeit in der Newtonschen Mechanik.

Der Grund, warum Uhren an verschiedenen Orten in der Raumzeit mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten laufen, wird von Feynman in seinem kleinen Buch "Six not so easy pieces" (Sie können sich dieses schöne Buch hier ansehen ; der Raketenteil ist um Seite 162 herum zentriert) schön erklärt Er diskutiert, was mit dem Tempo zweier Uhren passiert, die oben und unten auf einer Rakete (im Weltraum) platziert sind, wenn die Rakete beschleunigt wird (was nach Einsteins Äquivalenzprinzip bedeutet, dass wir genauso gut sagen können, dass sich die Rakete darin befindet ein Schwerefeld).

Aufgrund dieser engen Verbindung zwischen Raum und Zeit ignorieren Sie die begleitende gekrümmte Zeit , wenn Sie auf einem gekrümmten Raum reisen (wie Sie in Ihrer Frage annehmen).
Der Grund, warum ich auf die Erde falle, ist die (gekrümmte) Zeitkomponente der gekrümmten Raumzeit.

Es gibt drei Regime:

1. Ich bewege mich sehr langsam durch die gekrümmte Raumzeit. In diesem Fall hat der gekrümmte Raum den größten Einfluss auf mich, indem er mich frei bewegen lässt.
2. Ich bewege mich mit einer Geschwindigkeit, die irgendwo zwischen Null und Lichtgeschwindigkeit liegt. Dann haben sowohl die Krümmung der Zeit als auch die des Raums einen vergleichbaren Einfluss auf meine Flugbahn.
3. Nicht ich, sondern Photonen, die sich immer mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen, egal aus welchem ​​Bezugsrahmen sie betrachtet werden. Die Raumkrümmung hält nur die Photonen fest (da die Zeit für Photonen stillsteht, hat die Zeitkrümmung sie nicht im Griff). Sie werden von der Erde abgelenkt (wenn auch nur sehr geringfügig) aufgrund des Raumkrümmungsteils der verbundenen gekrümmten Raumzeit.

Deshalb gibt die Geschwindigkeit, mit der sich ein Objekt bewegt, unterschiedliche Ergebnisse für die Flugbahn im Raum , wie Sie sagten.

Wenn es Sie interessiert, wird in diesem Artikel (den Sie herunterladen können) der "berühmte" Faktor 2 bei der Ablenkung von Licht durch eine kugelförmige Masse diskutiert:

Das Problem der Lichtablenkung in einem Medium mit unterschiedlichem Brechungsindex wird auf die Lichtbewegung in einem schwachen Schwarzschild-Gravitationsfeld angewendet. Im Gegensatz zur Standardableitung ist das vorliegende Verfahren physikalisch transparent und liefert ohne detaillierte Berechnung einen klaren Grund für die Abweichung des allgemeinen relativistischen Ergebnisses um den Faktor 2 von dem der Newtonschen Theorie.

Nehmen wir der Argumentation halber an, dass die beiden kleinen Objekte genau die gleiche Menge an Stressenergie haben und im Vergleich zum Planeten relativ klein sind (wenig Stressenergie), und nehmen wir an, der Planet ist die Erde.

Nun ist die Antwort auf Ihre Frage:

1. Das langsamere Objekt verbringt mehr Zeit im Gravitationsfeld der Erde

2. GR-Zeitdilatation

3. die Größe der vier Geschwindigkeitsvektoren muss konstant bleiben

4. 1,2,3 bewirkt, dass das langsamere Objekt auf seiner Flugbahn stärker abgelenkt wird

Jetzt sind 1,2 ziemlich klar, die GR-Zeitdilatation ist ein Effekt, der durch das Gravitationsfeld der Erde verursacht wird und dazu führt, dass das Objekt, das sich im Gravitationsfeld befindet, (relativ) zeitlich langsamer wird.

Was nun näher erklärt werden muss, ist die Verbindung zwischen der GR-Zeitdilatation und den vier Geschwindigkeitsvektoren, die dazu führt, dass das langsamere Objekt auf seinem Weg stärker abgelenkt wird.

Gravitationszeitdilatation ist eine Form der Zeitdilatation, eine tatsächliche Differenz der verstrichenen Zeit zwischen zwei Ereignissen, gemessen von Beobachtern, die sich in unterschiedlichen Abständen von einer gravitativen Masse befinden. Je niedriger das Gravitationspotential ist (je näher die Uhr an der Gravitationsquelle ist), desto langsamer vergeht die Zeit und beschleunigt sich, wenn das Gravitationspotential zunimmt (die Uhr entfernt sich von der Gravitationsquelle).

https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_time_dilation

Wenn Sie akzeptieren, dass das Universum so aufgebaut ist und die vier Geschwindigkeitsvektoren so aufgebaut sind, dass die Größe der vier Geschwindigkeitsvektoren konstant bleiben muss, dann ist es sehr wichtig zu verstehen, dass die GR-Zeitdilatation die vier Geschwindigkeitsvektoren des Objekts verursacht zeitliche Komponente zu ändern. Das meinen wir, wenn wir sagen, dass das Objekt mit der Zeit (relativ) langsamer wird.

Kurz gesagt, die Größe der Vierergeschwindigkeit für jedes Objekt ist immer eine feste Konstante:

https://en.wikipedia.org/wiki/Four-velocity

Denken Sie jetzt daran, dass die Größe der vier Geschwindigkeitsvektoren konstant bleiben muss. Wenn sich seine zeitliche Komponente ändert, müssen die räumlichen Komponenten kompensieren. Dies ist sehr wichtig. Das bedeutet, dass das Objekt auf seinem Weg zum Erdmittelpunkt abgelenkt wird.

Je mehr Zeit (größerer Zeitraum relativ zum schnelleren Objekt) das langsame Objekt unter dem Einfluss des Gravitationsfeldes der Erde verbringt, desto mehr ändert sich die zeitliche Komponente seines vierfachen Geschwindigkeitsvektors (desto mehr wird es zeitlich relativ langsamer). Je mehr sich ihre zeitliche Komponente ändert, desto mehr muss die räumliche Komponente kompensieren (desto mehr wird sie von ihrer Bahn zum Erdmittelpunkt abgelenkt).

Bitte beachten Sie, dass dies einer der Gründe ist, warum wir sagen, dass Raum und Zeit miteinander verbunden sind.

In einer stark vereinfachten Form tritt das, woran Sie denken, nur an einem Schwarzen Loch auf, wo die Raumzeit tatsächlich einen vollständigen Kreis um den Körper bildet, sodass sich sogar Licht einfach in einem vollständigen Kreis bewegt. Andernfalls ist die Krümmung, an die Sie denken, bei etwas weniger als einem Schwarzen Loch nur teilweise.

Sie wissen wahrscheinlich, dass, wenn Sie eine Kugel aus Ihrer Hand fallen lassen und wenn Sie eine Kugel horizontal abschießen, beide gleichzeitig den Boden treffen. (Sagen wir 1 Sekunde). Dies liegt daran, dass sie beide mit der gleichen Geschwindigkeit von der Schwerkraft (der Krümmung der Raumzeit) beeinflusst werden. Aber was ist, wenn Sie eine Kugel mit sehr hoher Geschwindigkeit horizontal abschießen? Obwohl es mit der gleichen Geschwindigkeit wie die anderen Kugeln fällt, fliegt es in 1 Sekunde viel weiter, sodass die Erdkrümmung ein Faktor wird. Es wird also nicht in 1 Sekunde auf dem Boden aufschlagen, weil sich der Boden von ihm entfernt hat. Das gleiche passiert, wenn Sie sich zu noch schnelleren Objekten bewegen, wie einem Kampfjet, der mit Mach 3 fliegt, dauert es noch länger, weil sich die Erdkrümmung und der Boden noch weiter entfernt haben. Dies wird mit einem Lichtstrahl sehr deutlich. Das Licht wird auf die gleiche Weise gebogen, aber in 1 Sekunde wird es weit an der Erde vorbei gereist sein und nicht mehr der Erdanziehungskraft unterliegen. Aber wenn Sie einen Planeten hätten, der sehr, sehr groß und sehr, sehr flach wäre, dann würden die abgeworfene Kugel, die abgeschossene Kugel und der Lichtstrahl tatsächlich alle genau zur gleichen Zeit auf den Boden treffen.

Genau diese Frage wurde auf den Seiten 32-33 von Gravitation von Misner, Thorne und Wheeler angesprochen :

Wie können die Bahnen einer Kugel und einer Kugel so unterschiedlich gekrümmt sein, wenn diese Krümmung aus der Geometrie des Raums entsteht? ... In der Raumzeit (C) dargestellt, scheinen die Bahnen von Kugel und Kugel eine vergleichbare Krümmung zu haben.

In 4 Dimensionen ist eine andere Geschwindigkeit bereits ein anderer Weg.

Da die Raumzeit verzerrt ist, sollte es unauffällig sein, dass der Teil des Weges in den drei Raumdimensionen auch je nach Steilheit in der vierten unterschiedlich sein kann.

Sie haben vollkommen Recht, wenn Sie sagen, dass der Grund, warum die Dinge fallen, darin besteht, dass sie in der Raumzeit gerade Wege nehmen und die Raumzeit sich krümmt ... Ich habe zwei Argumente ... das zweite ist eine Vermutung (kommt aber von der speziellen Relativitätstheorie, Its Es liegt an Ihnen, die Antwort zu akzeptieren, die Sie für richtiger halten) -

das erste argument-

Der Grund, warum etwas einen geraden Weg nehmen muss, ist, dass es sich in der Zeit bewegt. Der Grund, warum zum Beispiel etwas fällt, wenn man etwas fallen lässt, ist, dass es sich in der Zeit vorwärts bewegen muss und die Raumzeit um und in die Erde gekrümmt ist. Es folgt einer geraden Koordinaten-Raum-Zeit-Linie (diese Linie geht natürlich in Zeitrichtung einfach ins Unendliche, wie im Diagramm y = 1, wo x die Zeitkoordinate ist) ... Denken Sie nun über die Dimensionen der Raumzeit nach, die die Objekte haben sie bewegen sich durch ... sie bewegen sich durch Raum und Zeit, beides ... im Gegensatz zum letzten Beispiel, wo sich ein Objekt gerade durch die Zeit bewegt hat ... also muss es nicht wirklich (überhaupt) einem geraden Weg folgen. Es könnte von der Raum-Zeit-Koordinatenlinie abweichen ... Und wenn es genug abweicht, wird es nicht von der Schwerkraft erfasst ...

Hier ist mein zweites Argument (mein Favorit)-

In der speziellen Relativitätstheorie würde ein sich bewegendes Objekt die Zeit verlängern, dh die Zeit würde dafür langsamer fließen ... jetzt ist die Zeitflussrate für das sich schneller bewegende Objekt geringer als die des anderen sich langsamer bewegenden Objekts ... Wie ich zuvor sagte, der Grund ein Objekt fällt, weil es seit seiner Bewegung durch die Zeit einem geraden Weg durch die Raumzeit folgen muss. Aber hier wird die Zeit verlangsamt, sodass die Zeitkomponente nicht so stark ist wie die Raumkomponente für das sich schneller bewegende Objekt. Es bewegt sich also langsam in der Zeitkoordinatenlinie und schneller in der Raumkoordinatenlinie. Was das andere Objekt betrifft, passiert das Gegenteil (war das nicht nett? Einsteins Haupttheorien verbinden ...)

Ich hoffe, Sie haben die Antwort auf Ihre Frage bekommen