Wie erklärt "gekrümmter Raum" die Gravitationsanziehung? [Duplikat]

Wenn Sie sich meine Antwort auf Wenn Objekte entlang geodätischer Pfade der gekrümmten Raumzeit fallen, ansehen, warum wirkt keine Kraft auf sie? dies erklärt, wie auf einer gekrümmten Oberfläche zwei sich bewegende Beobachter eine Kraft zu spüren scheinen, die sie zusammenzieht. Zwei stationäre Beobachter werden jedoch keine Kraft spüren. Die Kraft wird erst sichtbar, wenn Sie sich auf der gekrümmten Oberfläche bewegen.

Dies gilt auch für die allgemeine Relativitätstheorie, aber was Neulinge in GR leicht vergessen, ist, dass wir in GR Bewegung in der Raumzeit betrachten, nicht nur im Raum. Sie bewegen sich immer in der Raumzeit, weil Sie nicht anders können, als sich in der Zeit zu bewegen. Ihre Geschwindigkeit in der Raumzeit ist als die Vierergeschwindigkeit bekannt , und tatsächlich ist die Größe der Vierergeschwindigkeit (technisch die Norm ) immer$c$. Sie können also nicht anders, als sich durch die Raumzeit zu bewegen (mit Lichtgeschwindigkeit!) Und wenn die Raumzeit gekrümmt ist, bedeutet dies, dass Sie Gravitationskräfte erfahren werden.

Wahrscheinlich kennen Sie das erste Newtonsche Bewegungsgesetz. Diese besagt, dass die Beschleunigung eines Körpers Null ist, wenn keine Kraft auf ihn wirkt. Das zweite Newtonsche Gesetz gibt uns die Gleichung für die Beschleunigung:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F}{m}$$

Die dazu äquivalente allgemeine Relativitätstheorie heißt geodätische Gleichung:

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} = - \Gamma^\mu_{\alpha\beta} u^\alpha u^\beta \tag{1}$$

Dies ist viel komplizierter als Newtons Gleichung, aber die Ähnlichkeit sollte offensichtlich sein. Links haben wir eine Beschleunigung und rechts das GR-Äquivalent einer Kraft. Die Objekte$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$sind die Christoffel-Symbole und diese sagen uns, wie stark die Raumzeit gekrümmt ist. Die Quantität$u$ist die Vierergeschwindigkeit.

Betrachten wir nun das von Ihnen beschriebene spezielle Beispiel für das Loslassen eines Balls. Sie sagen, der Ball ist zunächst stationär. Wenn es in der Raumzeit stationär wäre, dh die vier Geschwindigkeiten$u = 0$, dann wäre die rechte Seite von Gleichung (1) immer Null und die Beschleunigung immer Null. Damit der Ball nicht herunterfällt. Aber die vier Geschwindigkeiten sind nicht null.

Angenommen, wir verwenden Polarkoordinaten$(t, r, \theta, \phi)$und schreiben Sie die Vier-Geschwindigkeit als$(u^t, u^r, u^\theta, u^\phi)$. Wenn Sie den Ball stationär im Raum halten, sind die räumlichen Komponenten der vier Geschwindigkeiten Null:$u^r = u^\theta = u^\phi = 0$. Aber Sie bewegen sich immer noch mit (ungefähr) einer Sekunde pro Sekunde durch die Zeit, also$u^t \ne 0$. Wenn wir die geodätische Gleichung (1) verwenden, um die Radialbeschleunigung zu berechnen, erhalten wir:

$${d^2 r \over d\tau^2} = - \Gamma^r_{tt} u^t u^t$$

Das Christoffel-Symbol$\Gamma^r_{tt}$ist teuflisch kompliziert zu berechnen, also werde ich tun, was wir alle tun, und es einfach nachschlagen:

$$\Gamma^r_{tt} = \frac{GM}{c^2r^2}\left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right)$$

und unsere Gleichung für die Radialbeschleunigung wird zu:

$${d^2 r \over d\tau^2} = - \frac{GM}{c^2r^2}\left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right) u^t u^t \tag{2}$$

Nun, ich schlage nicht vor, damit weiter zu gehen, weil die Mathematik sehr schnell sehr kompliziert wird. Es sollte jedoch offensichtlich sein, dass die Radialbeschleunigung nicht Null und negativ ist. Das bedeutet, dass der Ball nach innen beschleunigt wird. Was wir natürlich genau beobachten. Interessant ist, was in der Newtonschen Grenze passiert, dh wenn GR-Effekte so klein sind, dass sie vernachlässigt werden können. In dieser Grenze haben wir:

• $d\tau = dt$Also$d^2r/d\tau^2 = d^2r/dt^2$

• $1 \gg \frac{2GM}{c^2r}$also der begriff$1 - \frac{2GM}{c^2r} \approx 1$

• $u^t \approx c$

Setzen wir diese Näherungen in Gleichung (2) ein, erhalten wir:

$${d^2 r \over dt^2} = - \frac{GM}{c^2r^2}c^2 = - \frac{GM}{r^2}$$

und das ist nur Newtons Gravitationsgesetz!

Stellen Sie sich zwei Autos vor, die eine Meile voneinander entfernt auf dem Äquator zum Nordpol fahren. Wenn sie es erreichen, sind sie 0 Meilen voneinander entfernt, und während der gesamten Reise nimmt der Abstand zwischen ihnen ab.

Was bringt die Autos zusammen? Nichts. Die Erde ist gekrümmt, also kommen sie auf ihrer Reise zusammen.

Raumzeit ist genauso. Wir „reisen“ immer in eine vorwärts gerichtete (zeitliche oder zeitähnliche) Richtung, und wenn der Raum gekrümmt ist, beschleunigen einige Dinge zusammen, als wäre eine Kraft ausgeübt worden.

Das Herzstück der Allgemeinen Relativitätstheorie liegt im Äquivalenzprinzip , das besagt: Die Wirkung der Schwerkraft ist vollständig äquivalent zu einem beschleunigten Bezugssystem. Es gibt keinen physikalischen Prozess oder Experiment, mit dem Sie diese beiden unterscheiden können. Daher kann jede Frage bezüglich einer Gravitationsregion an die Verwendung eines beschleunigten Rahmens gedacht werden.

Dann betrachten wir Ihr Problem. Wenn Sie den Ball in der Erde halten, können Sie sich das genauso vorstellen, als ob Sie den Ball in einem Aufzug halten, der nach oben fährt. Überlegen Sie nun, was im Lift-Szenario passiert, wenn Sie Ihren Griff öffnen. Da jetzt keine Kraft mehr auf den Ball wirkt, bleibt er in einem konstanten Zustand. Geschwindigkeit und tatsächlich im Hubrahmen beschleunigt es nach unten. Das sollte also auch in einem Gravitationsfeld passieren. Daraus folgt.

Wenn Sie ein Bild der Raum-Zeit-Krümmung wünschen, müssen Sie daran denken, dass die allgemeine Relativitätstheorie von der Schwerkraft als einer Krümmung der Raum-Zeit und nicht nur des Raums spricht. Das Argument, das Sie ihr gegeben haben, ist nicht gültig. Die Erde bewegt sich in der Raumzeit unter dem Einfluss der von der Sonne erzeugten Krümmung. Aber lokal erzeugt die Erde selbst eine Krümmung in der Raumzeit. Der Ball bewegt sich nicht nur in der von der Sonne, sondern auch von der Erde erzeugten Krümmung. Somit hat sie neben der Bewegung auf die gleiche Weise, wie sich die Erde um die Sonne bewegt, eine zusätzliche Bewegung. Diese zusätzliche Bewegung ist auf die von der Erde erzeugte Krümmung zurückzuführen, die im Erdrahmen wie die Schwerkraft zum Erdmittelpunkt hin aussieht.

Denken Sie an Astronauten in der Raumstation. Sie schweben frei im Raum, ohne dass eine offensichtliche Gravitationskraft auf sie einwirkt. Wenn sie auf einer Waage stünden, wäre ihr Gewicht Null. Aber das Gravitationsfeld im allgemeinen Bereich der Internationalen Raumstation ist ungefähr dasselbe wie auf der Erdoberfläche. Der Grund für das Nullgewicht ist, dass diese Astronauten bereits frei fallen. Auf sie wirken keine äußeren Kräfte.

Wenn Sie diesen Ball in Ihrer Hand halten, während Sie auf der Erdoberfläche stehen, wenden Sie eine äußere Kraft an, die ihn an diesem bestimmten Ort hält. Wenn Sie dann den Ball loslassen, existiert diese Kraft nicht mehr. Wenn sich ein Ball bewegt und Sie eine Kraft anwenden, um ihn zu stoppen, und diese Kraft dann entfernen, bewegt sich der Ball wieder.

Ein weiteres Experiment, das Sie durchführen können, besteht darin, die auf Sie wirkenden Kräfte zu eliminieren, indem Sie von einem hohen Gebäude springen (stellen Sie sich das nur in Ihrem Kopf vor), während Sie den Ball halten, und dann den Ball loslassen. Sie und der Ball werden mit der gleichen Geschwindigkeit fallen.

Mir gefällt Aris Analogie zu einem beschleunigten Frame.

Wenn Sie Ihre Antwort in Bezug auf die Krümmung wünschen, denken Sie daran, dass GR sagt, dass ein Objekt immer einer Geodäte folgt. Wenn die Raumzeit flach wäre, würde dies bedeuten, sich mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen oder in Ruhe zu sein, was dem entspricht, was Sie mit "Ein ruhendes Objekt bleibt in Ruhe, es sei denn, es wird von einer äußeren Kraft eingewirkt."

Dies gilt nur in einer flachen Raumzeit. Wenn Raum und Zeit gekrümmt sind, dann ist Ruhe keine Geodäte mehr.

Eine Geodäte ist eine Weltlinie (Trajektorie in Raum und Zeit), die das „Raumzeit“-Intervall zwischen zwei Ereignissen minimiert,$s^2 = g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$.

In Ruhe zu sein bedeutet, sich nur in der Zeit zu bewegen, aber wenn die Zeit gekrümmt ist, minimiert das Verbleiben bei x = 0 die Geodäte nicht! Wenn Sie sich im Raum bewegen würden, um die Krümmung zeitlich auszugleichen, hätten Sie wieder ein Minimum.