Kann die Heisenbergsche Unschärferelation verwendet werden, um zu beweisen, dass das Elektron auf diese Weise nicht im Kern existieren kann?

Es ist ein Fehler, sich auf die Relativität der Geschwindigkeit zu berufen$v$ohne auch den relativistischen Impuls zu verwenden$p$. Aber wenn dies ein Text für Schüler ist, die vielleicht ein wenig relativitätsschwach sind, ist es vielleicht ein pädagogisch nützlicher Fehler. Die meisten Schüler kommen in den Unterricht und wissen, dass die Lichtgeschwindigkeit eine „Geschwindigkeitsbegrenzung“ ist, auch wenn sie nur eine vage Vorstellung davon haben, was passiert, wenn sich ein Objekt dieser Grenze nähert. Die Einführung aller Konzepte, die Sie benötigen, um dieses Argument auf konsistente Weise vorzubringen, könnte für die Zielgruppe dieses Textes viel zu erwarten sein.

Physiker denken gerne in Energieeinheiten. Eine korrekte Version dieses Arguments könnte ersetzen

mit

(Wir brauchen uns nicht um Faktoren von zwei zu kümmern.) Wir wissen experimentell, dass ein Elektron mit einer Energie von einigen eV aus einem Atom entfernt werden kann. Wir vermuten, dass das Elektron durch elektrische Anziehung in der Nähe des Kerns gehalten wird, was dem Virialsatz unterliegt , also seiner kinetischen Energie$T$und seine Bindungsenergie$U$haben die gleiche Größe,$T \approx -U$(Vernachlässigung eines Faktors von zwei). Die Unschärferelation besagt, dass jedes Teilchen, das auf einen Kern beschränkt ist,$\Delta x \lesssim 1\rm\,fm$, muss eine Impulsunsicherheit haben$c\Delta p \gtrsim 200\rm\,MeV$. Für ein Elektron Masse$m_e c^2 \approx \frac12\rm\,MeV$, ist dieser Impuls hyperrelativistisch und die entsprechende kinetische Energie ist es$T\approx E\approx pc$. Aber wenn das Elektron in einem Potentialtopf mit einer Tiefe von 200 MeV gebunden wäre, könnte man ein Atom nicht mit einem Photon im eV-Maßstab ionisieren. Es muss etwas gegeben werden.

Beachten Sie, dass, wenn wir das gleiche Argument für ein in einem Kern gefangenes Nukleon mit Masse vorbringen$m_N c^2 \approx 1000\rm\,MeV$, kommen wir meistens mit der Verwendung der nichtrelativistischen kinetischen Energie davon:

Die tatsächlichen Nukleonentrennungsenergien liegen in der Regel bei etwa 10 MeV, wenn wir also davon ausgehen$T\approx |U|$das ist überhaupt keine schlechte Vermutung. Es ist vernünftig zu sagen, dass die Größe des Kerns durch die Unschärferelation in direktem Zusammenhang mit den Energien steht, die an der nuklearen Wechselwirkung beteiligt sind. Und für diese Angelegenheit steht die Größe des Atoms in direktem Zusammenhang mit der Größenordnung der Elektronenbindungsenergien:

Wenn Sie tatsächlich eine Wellenfunktion finden, verwenden Sie natürlich nicht die Unschärferelation: Sie verwenden die Wellenmechanik der Schrödinger-Gleichung. Aber die Unschärferelation ist im Grunde eine Aussage darüber, wie sich Wellen mathematisch verhalten, also ist das Ergebnis in Faktor-2-Land in Ordnung. Und wenn Sie den Faktor 2 verlassen und sorgfältig rechnen, stellen Sie fest, dass die mit einer tatsächlichen Wellenfunktion verbundenen Unsicherheiten in Position und Impuls immer größer sind als das durch das Unsicherheitsprinzip festgelegte Minimum.

Zu Ihren konkreten Beschwerden:

1. Die Unsicherheit steht in keinem Verhältnis zu den realen Werten.

Das ist einfach nicht so. Stellen Sie sich statt eines einzelnen Atoms ein Ensemble von 100 Atomen vor, die alle an Ort und Stelle fixiert sind. Wenn die Elektronen ihre Atome nicht verlassen, wissen wir, dass der durchschnittliche Vektorimpuls der Elektronen Null sein muss. Das Unsicherheitsprinzip beschreibt „Ein-Sigma“-Unsicherheiten. Wenn Sie also die Elektronenimpulse für Ihre 100 Atome gemessen haben, erwarten Sie, dass etwa 32 von ihnen eine Impulsgröße haben$|p|$ größer als$\Delta p$, und etwa 5 von ihnen haben eine Impulsgröße$|p| > 2\Delta p$. (Wir sprechen häufiger von 68 % und 95 % „Vertrauensintervallen“.) Wenn Sie ein Elektron zufällig auswählen und vor der Messung seine Impulsgröße schätzen,$\Delta p$ist eine bessere Schätzung als Null.

2. Jetzt habe ich das Universum in kleine Kugeln aufgeteilt, jede mit einem ähnlichen Radius wie der Kern. Wendet man die Heisenbergsche Unschärferelation auf jede dieser Kugeln an, kann das Elektron in keiner dieser Kugeln existieren.

Dies ist eigentlich eine vernünftige Schlussfolgerung. Der nächste Schritt ist nicht der, den Sie unternehmen („Daher existiert das Elektron nicht“), sondern eine kontraintuitive Aussage über die Größe: Kalte Elektronen sind groß und können nicht eingeschlossen werden. Wenn Sie möchten, dass ein Elektron auf ein kleines Volumen beschränkt ist, muss es an einer Wechselwirkung mit hohem Impuls teilnehmen.

Wir sprechen oft von einem Elektron als „Punktteilchen“ mit „Nullgröße“. Wir sagen das, weil es anscheinend keine andere Wechselwirkung gibt, die sich einschaltet, wenn Sie ein Elektron auf kurzen Skalen untersuchen. Eine solche kurzreichweitige Wechselwirkung wäre ein Zeichen dafür, dass das Elektron eine Unterstruktur hat. (Zum Beispiel ändert die nukleare Wechselwirkung ihren Charakter bei Entfernungen, die näher als etwa ein Femtometer sind, was indirekt mit der Zusammensetzung von Nukleonen aus Quarks zusammenhängt.) In der Kopenhagener Interpretation und ihrem Bastardkind, der Pilotwellentheorie, stellen wir uns vor, dass es a gibt punktförmiges „echtes Elektron“, das wir irgendwo lokalisieren können. Aber wie Sie festgestellt haben, widerspricht das der Unschärferelation. Es gibt viele Situationen, in denen das mentale Modell „kalte Elektronen sind groß“ hilfreich ist.

Eine physikalische Folge von „kalten Elektronen sind groß“ tritt in weißen Zwergsternen auf, die durch Elektronenentartung aufgehalten werden. Wenn Sie den Stern heißer machen, wird die Ungewissheit über die Impulse der Elektronen$\Delta p$größer wird (weil jedes Elektron im Durchschnitt mehr Energie speichert). Die zusätzliche Unsicherheit in$\Delta p$ermöglicht die Lautstärke$(\Delta x)^3$verbunden mit jedem Elektron zu schrumpfen. Weiße Zwerge werden kleiner, wenn man sie erhitzt, weil kalte Elektronen groß sind.

Wenn ich sage, dass der Fehler in Ihrem zitierten Lehrbuch pädagogisch nützlich sein könnte, meine ich damit, dass die Argumentation des Lehrbuchs in fünf Sätze und vier Zeilen Mathematik passt. Meine korrektere Antwort ist wesentlich länger und wird durch viel mathematisches „achte nicht auf den Mann hinter dem Vorhang“ verkürzt, was leicht zu rechtfertigen ist, aber einem Intro-Studenten Unbehagen bereiten würde.

Die hier angegebene Lösung ist falsch. Es verwendet den nicht-relativistischen Ausdruck für Impuls und vergleicht dann die Geschwindigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit, die die Geschwindigkeitsgrenze der relativistischen Mechanik ist. Wenn wir konsequent den relativistischen Ausdruck für Impuls verwenden,

der Wert der Geschwindigkeit wird viel kleiner und kleiner als sein$c$, was zu keinem Widerspruch mit der Annahme führt.

Bei der Unschärferelation sind x und p Fourier-Paare. Das heißt, die Standardabweichung (locker als Unsicherheit bezeichnet) der Position der Wellenfunktion multipliziert mit der Standardabweichung des Impulses der Wellenfunktion muss größer oder gleich hbar/2 sein. Wenn die gesamte Wellenfunktion auf die Größe des Kerns komprimiert wird, ist die entsprechende minimale Standardabweichung des Impulses so groß, dass die Anziehungskraft des Kerns das Elektron nicht mehr halten kann und das Elektron sehr schnell ins Vakuum entweichen würde (im Wesentlichen , sind in der Wellenfunktion des Elektrons so viele Impulszustände enthalten, die energiereicher sind als die Anziehungskraft, dass das Elektron einfach wegfliegt). Der gebundene Zustand des Elektrons mit der niedrigsten Energie (d. h

Diese Antwort ergänzt die anderen: Ich denke, der Ausdruck "kann nicht im Kern existieren" ist schlecht gewählt, erweckt einen Eindruck, der nicht mit der Berechnung übereinstimmt, mit der er gepaart ist, und dies kann eine wichtige Quelle für die Verwirrung des Fragestellers sein.

Die gezeigte Berechnung (nach Korrekturen wie in den anderen Antworten beschrieben) zeigt, dass ein Elektron nicht in einer kerngroßen Kugel eingeschlossen werden kann. Das heißt, es kann sich nicht in einem Zustand befinden, in dem seine Position niemals außerhalb dieser Sphäre liegt.

Aber die nüchterne Bedeutung von "cannot exist inside" ist anders: "can never be inside". Die gezeigte Berechnung zeigt nichts dergleichen, und sie ist tatsächlich nicht wahr. Wenn wir an die "echten punktförmigen Elektronen" denken, auf die robs Antwort abzielt: Atomelektronen befinden sich manchmal innerhalb ihres zugehörigen Kerns. Wenn wir stattdessen das mentale Modell "kalte Elektronen sind groß" bevorzugen, besetzen Atomelektronen Raumvolumina, die den Kern überlappen. (In Bezug auf die eigentliche Mathematik haben die Wellenfunktionen von Atomelektronen eine Amplitude$> \epsilon$sowohl für den Raum innerhalb als auch außerhalb des Kerns. Wenn ich mich richtig erinnere, für die niedrigste Energie$s$Orbitale ist die Amplitude pro Volumeneinheit innerhalb des Kerns am größten , obwohl die größte Gesamtwahrscheinlichkeit in einer Entfernung vergleichbar mit dem Bohr-Radius liegt.)

Atomelektronen, die sich „manchmal“ in ihren zugehörigen Kernen befinden, haben real beobachtbare physikalische Konsequenzen: Ein Elektroneneinfang könnte sonst nicht stattfinden.

Es scheint ein seltsamer Weg, es zu tun.

Es ist konzeptionell einfacher, wenn wir machen$\Delta x$das Thema und argumentieren, wenn es größer als ist$10^{-15}m$dass das Elektron nicht im Kern enthalten sein kann.

Da wir nichts über die Geschwindigkeit des Elektrons wissen, wenn es sich in einem Kern befände,$\Delta v$kann auf den Höchstwert von gesetzt werden$3\times 10^8$geben$\Delta x = 2 \times 10^{-13}m$, also kann es nicht im Kern enthalten sein.

Wenn$\Delta v$niedriger waren,$\Delta x$wird höher.

Die Unsicherheit steht in keinem Verhältnis zu den realen Werten. Es ist ein Maß dafür, wie falsch wir liegen, und nicht, welchen falschen Wert wir erhalten.

Nun, ich nehme an, das hängt ein wenig davon ab, welche Quanteninterpretation Sie verwenden (daran mag etwas Wahres sein, sagen wir, die Pilotwelleninterpretation), aber in der Kopenhagener Interpretation ist dies definitiv nicht wahr; Eine Messung der Geschwindigkeit ist eine Zufallsvariable, und die Unsicherheit bezieht sich auf die Standardabweichung dieser Zufallsvariablen.

Der Δv-Term sollte nichts mit der tatsächlichen Geschwindigkeit zu tun haben, und daher glaube ich, dass dies falsch ist.

In der Kopenhagener Interpretation gibt es keine feste Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit wird über einen Bereich von Werten verteilt, und$\Delta v$ist ein Maß dafür, wie weit diese Werte verteilt sind.

Wendet man die Heisenbergsche Unschärferelation auf jede dieser Kugeln an, kann das Elektron in keiner dieser Kugeln existieren. Daher existiert das Elektron nicht.

Die Wellenfunktion des Elektrons kann in keiner dieser Sphären vollständig enthalten sein. Das heißt nicht, dass es nicht existiert. Der Wortlaut in dem Buch ist irreführend, zusätzlich zu seiner mathematischen Falschheit, aber die Grundidee ist wahr: Für den größten Teil der Wahrscheinlichkeit ist die Masse des Elektrons in einer Radiuskugel enthalten$10^{-15}$m , müsste seine Geschwindigkeit um ein Intervall gespreizt werden, das die Austrittsgeschwindigkeit aus dem Kern enthält, und daher ist dies kein stabiler Zustand.

Bei der vollständigen Berechnung wird die Größe der Elektronenwolke um den Kern durch Lösen der Schrödinger-Gleichung bestimmt, deren Lösung einfach viel größer ist als der Kern. Klassisch würde man erwarten, dass das Elektron einfach am Kern "kleben" kann. Das gegebene Textbeispiel ist ein Versuch, dem Quantenergebnis eine gewisse Intuition zu verleihen, indem man sich ihm aus einem anderen Blickwinkel nähert und zeigt, dass die Anziehungskraft der Coulomb-Kraft in gewissem Sinne gegen die kinetische Energie eines eingeschlossenen Elektrons kämpfen muss, die im Heisenberg-Unschärferelation implizit enthalten ist .

Ich denke, dass der Text einen kleinen pädagogischen Fehler macht, indem er sich zu sehr auf die Lichtgeschwindigkeit konzentriert, was nicht wirklich der Punkt ist, und zu einigen Anschuldigungen führt, dass der Text einfach falsch ist. Der Kernpunkt dieser gängigen Rechnung ist, dass in der Quantenmechanik aufgrund der Unschärferelation ein besonders ortsgebundenes Teilchen eine hohe kinetische Energie haben muss.

Das Problem hätte noch einen Schritt weiter gehen und die dieser Geschwindigkeit entsprechende Energie berechnen können, aber für diejenigen mit mehr Erfahrung, sobald Sie diese Berechnung durchführen und sehen$v\gg c$Sie erkennen, dass ein solches Elektron sehr relativistisch sein muss und eine enorme Energie haben muss, die viel, viel größer ist als die anziehende potentielle Energie und daher sofort unplausibel ist. Ich vermute, dass dies der Denkprozess des Autors ist.

Um jedoch direkt zu antworten,

(1) Das ist im Grunde einfach falsch. Ich würde Sie ermutigen, sich anzusehen, wie$\Delta x$Und$\Delta p$werden bei gegebener echter Wellenfunktion in Form von Erwartungswerten berechnet. Das Prinzip sagt Ihnen sehr viel über mögliche reale Werte von aus$x$Und$p$.

(2) Dies ist bis zum letzten Schritt richtig. Nach diesem Argument könnte ein nicht-relativistisches Elektron nicht in einer einzigen kerngroßen Kugel im Universum existieren, aber es kann zwischen vielen verteilt existieren, was ihm eine viel größere verleiht$\Delta x$