Kann es sein, dass das Gleichungssystem eines Stromkreises keine eindeutige Lösung hat?

Wenn ich Kirchhoffs Schaltungsgesetze und das Ohmsche Gesetz verwende, um das System linearer Gleichungen zu modellieren, die einer elektrischen Schaltung entsprechen (bisher nur Schaltungen mit Widerständen und Quellen), konnte ich keine Schaltung finden, die ein inkonsistentes System oder ein System ergibt mit unendlichen Lösungen.

Daher habe ich mich gefragt, ob es möglich ist, dass das resultierende Gleichungssystem keine eindeutige Lösung hat, und wenn ja, was wäre die physikalische Interpretation für ein solches Ergebnis?

Falls dies nicht möglich ist, was wäre das wissenschaftliche Ergebnis, das diese Tatsache stützt? Aus Gründen der Klarheit füge ich ein Beispiel für die Art von Schaltungen bei, mit denen ich gearbeitet habe, und das entsprechende Gleichungssystem.

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Erlauben Sie negative Widerstände (es können dann mehrere Lösungen existieren)? Was ist, wenn eine Spannungsquelle kurzgeschlossen wird? Oder einen Stromquellenpfad öffnen? Was ist mit nichtlinearen Komponenten und Schwingungen? Was schließen Sie in Ihre Frage ein und aus? Wenn Sie die gleiche Anzahl von Variablen wie Gleichungen haben und die Gleichungen unabhängig und konsistent sind und eine Determinante existiert, ist die Lösung eindeutig eindeutig. Aber das ist nur eine mathematische Ausflucht. Sehen Sie sich also hier in Abschnitt 9.4+ einen von vielen Ansätzen an.
Außerdem konnte ich dies mit ein paar Schlüsselsuchwörtern finden und es sieht näher aus, als ich mir vorstelle, wonach Sie suchen.
Schließen Sie aktive Geräte wie Transistoren ein und die Antwort ist ja. Ein Flip-Flop zum Beispiel hat zwei stabile Lösungen und einige instabile. Sie lesen diesen Kommentar zu einem solchen System. Nur Quellen und Widerstände? NEIN.
Unendlich viele Lösungen: Habe in einem Netzwerk 2 Null-Ohm-Zweige parallel zueinander. Dann kann jedes Verhältnis zwischen ihren Strömen die Gesetze erfüllen, solange die Summe ihrer Ströme stimmt. Ebenso können Sie ein Netzwerk haben, das eigentlich aus zwei völlig getrennten Netzwerken ohne gemeinsamen Knoten besteht. Dann kann zwischen den Teilen eine beliebige Spannung anliegen. Wenn Sie nach allgemeiner elektrischer Netzwerktheorie suchen, finden Sie, wie Netzwerke einschließlich der Topologie als Matrizen dargestellt werden können. Das bringt das Problem auf die Existenz und Eindeutigkeit einer linearen Matrixgleichung zurück.
(Fortsetzung) Wenn Sie abhängige Spannungs- oder Stromquellen zulassen, können Sie leicht Schaltungen finden, die keine Lösung haben können. Betrachten Sie eine Quelle mit Uout=Uin+1V. Connect ist Uout directry zu seinem Uin. Dann ist Uout=Uout+1V.

Antworten (2)

Solange Sie Netzwerke betrachten, die nur positiv bewertete lineare Widerstände, ideale Spannungsquellen und ideale Stromquellen enthalten (und Sie nicht zwei Stromquellen in Reihe oder zwei Spannungsquellen parallel schalten), wird es immer eine einzige einzigartige Lösung geben.

Ich habe keinen Beweis dafür zur Hand, aber es ist ziemlich klar, dass Sie, wenn Sie der (modifizierten) Knotenanalysemethode folgen, eine Gleichung für jeden Knoten (außer dem Erdungsknoten) erhalten, der nicht verbunden ist eine Spannungsquelle und eine KVL-Gleichung für jeden Superknoten plus eine Superknotengleichung. Und dass diese Gleichungen linear unabhängig sind, da jeder Knoten mit einem anderen Satz von Zweigen verbunden ist. (Ein ergänzendes Argument, das ein ähnliches Ergebnis für die Netzanalyse zeigt)

Für einen gründlichen Beweis siehe zum Beispiel Chua, Desoer und Kuh, 1987 .

Wenn Sie nichtlineare Widerstände in Betracht ziehen, ist es möglich, eine Schaltung mit mehreren Lösungen zu haben. Dies geschieht unter anderem, wenn die Schaltung eine Hysterese aufweist , sodass die richtige physikalische Lösung von der Vorgeschichte abhängt, wie die Quellenspannungen angelegt wurden, um zu der analysierten Situation zu gelangen.

Hast du absichtlich Kondensatoren und Induktivitäten weggelassen?
@relayman357, wenn wir über Gleichstromkreise sprechen, sind Kondensatoren und Induktivitäten nur offene Stromkreise und Drähte.
Warum die Schaltung auf stationären Gleichstrom beschränken? Dies ist nicht erforderlich, da DC-Transientenerregung, AC-Erregung usw. von R-, L-, C-Schaltungen immer noch zu einzigartigen Lösungen für die spezifischen Bedingungen führen.
@relayman357, jedenfalls glaube ich nicht, dass es stimmt, wenn wir anfangen, über Wechselstromkreise mit L- und C-Elementen zu sprechen. Angenommen, ich habe eine Wechselstromquelle. Darüber schließe ich eine LC-Serienschaltung bei Resonanz an (also ist die Nettoimpedanz 0). Und dann schalte ich parallel dazu einen zweiten LC-Kreis in Resonanz. Jetzt gibt es keine eindeutige Lösung für den Strom durch einen der Tanks.
Ich stimme mathematisch zu. Aber das sind keine echten Schaltungen. Ein Kurzschluss zwischen den Klemmen, wenn eine ideale Spannungsquelle unendlichen Strom erzeugen würde (und KVL verletzt), aber das ist in der realen Welt unmöglich. Jeder Tankkreis hat einen gewissen Widerstand und ist nicht perfekt in Resonanz. Das ist ein interessantes Thema.
@ relayman357, Entschuldigung, ich habe meinen Kommentar bearbeitet, um eine Stromquelle anzugeben, keine Spannungsquelle. Aber in jedem Fall ist dies eine theoretische Frage, also sollten wir diese nicht realen Schaltungen berücksichtigen.
Ja, einverstanden. Außerdem habe ich gerade zurückgeschaut und OP sowieso auf Widerstände beschränkt. Danke schön.

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Kirchoffschen Gesetze und das Verfahren zum Ersetzen von Komponenten durch idealisierte Versionen ein Modell und ein Verfahren zur Unterstützung der Lösbarkeit sind.

Wie andere bereits erwähnt haben, sind Hysterese und Oszillation zwei Szenarien, in denen zusätzliche Komponenten selbst in ihrer idealisierten Form zu komplexeren Modellen führen. Unkontrolliertes Feedback ist ein Verhalten, das aus Lösungen resultiert, die gegen unendlich streben. Sie können auch Schaltungen mit unendlichen Lösungen erstellen, wie z. B. diesen fraktalen Oszillator: https://arxiv.org/abs/1807.02675 . Auch inkonsistente/chaotische Lösungen sind möglich: http://www.chaotic-circuits.com/wp-content/uploads/2016/06/Simple-Two-Transistor-Single-Supply-RC-Chaotic-Oscillator.pdf

Aber selbst unter Berücksichtigung der einfachen Komponenten, die Sie hier haben, können Sie die Anwendbarkeit des Modells in Betracht ziehen: Es ist ein stationäres Modell - es sagt nichts über das Starten oder Herunterfahren von Schaltungen aus, eine komplexere Modellierung würde in diesen Phasen ein interessantes Verhalten zeigen

So:

  1. Ja, es ist möglich, mehrere Lösungen zu haben, Lösungen, die ins Unendliche gehen, und unendliche Lösungen
  2. Es hat eine physikalische Bedeutung für das Verhalten der Schaltung
  3. vereinfachte Modelle sind auf Lösbarkeit ausgelegt und können komplexere Grenzfälle ignorieren
Kann es sein, dass das Gleichungssystem eines Stromkreises keine eindeutige Lösung hat?
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