Fehler bei der Verwendung von KVL und KCL in einer idealen Operationsverstärkerschaltung

Jan, ich sehe in diesem Schaltplan keine Notwendigkeit für die Operationsverstärker-Stromquellen und ihre Ströme (in einigen anderen Fällen könnte ich das tun). Daher denke ich nicht, dass dies hier eine wichtige Erkenntnis ist.

Hier ist der Schaltplan ohne all diese Ströme, die ich absolut nicht brauche, da Sie sowohl für KVL als auch für KCL offen sind.

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Lassen Sie uns (frei verfügbares) SymPy verwenden :

var('r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 iout v1 v2 v3 v4 vin vout')
eq1 = Eq( v1/r1 + v1/r2, vin/r1 )                      # KCL node V1
eq2 = Eq( v2/r3 + v2/r4 + v2/r5, vin/r3 + v3/r5 )      # KCL node V2
eq3 = Eq( v3/r5 + v3/r6, v2/r5 + v4/r6 )               # KCL node V3
eq4 = Eq( v4/r6 + v4/r7, v3/r6 + vout/r7 + iout )      # KCL node V4
eq5 = Eq( vout/r7 + vout/r8, v4/r7 )                   # KCL node Vout
eq6 = Eq( v1, v3 )                                     # ideal opamp
ans = solve( [ eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6 ], [ v1, v2, v3, v4, vout, iout ] )
tf = simplify( ans[vout] / vin )
pprint( tf )

-r₈⋅(r₂⋅(r₃⋅r₄⋅r₆ - (r₅ + r₆)⋅(r₃⋅r₄ + r₃⋅r₅ + r₄⋅r₅)) + r₄⋅r₅⋅r₆⋅(r₁ + r₂))
────────────────────────────────────────────────────────────────────────
               r₅⋅(r₁ + r₂)⋅(r₇ + r₈)⋅(r₃⋅r₄ + r₃⋅r₅ + r₄⋅r₅)

Alle Lösungen, wenn Sie sie wollen, sind:

             r₂
v₁ = vᵢₙ ⋅ ───────
           r₁ + r₂

               r₄⋅(r₂⋅r₃ + r₅⋅(r₁ + r₂))
v₂ = vᵢₙ ⋅ ────────────────────────────────
           (r₁ + r₂)⋅(r₃⋅r₄ + r₃⋅r₅ + r₄⋅r₅)

             r₂
v₃ = vᵢₙ ⋅ ───────
           r₁ + r₂

               (-r₁⋅r₄⋅r₆ + r₂⋅r₃⋅r₄ + r₂⋅r₃⋅r₅ + r₂⋅r₃⋅r₆ + r₂⋅r₄⋅r₅)
v₄ = vᵢₙ ⋅ ───────────────────────────────────────────────────────────
           r₁⋅r₃⋅r₄ + r₁⋅r₃⋅r₅ + r₁⋅r₄⋅r₅ + r₂⋅r₃⋅r₄ + r₂⋅r₃⋅r₅ + r₂⋅r₄⋅r₅


            -r₈⋅(r₂⋅(r₃⋅r₄⋅r₆ - (r₅ + r₆)⋅(r₃⋅r₄ + r₃⋅r₅ + r₄⋅r₅)) + r₄⋅r₅⋅r₆⋅(r₁ + r₂))
vₒᵤₜ = vᵢₙ ⋅ ────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                         r₅⋅(r₁ + r₂)⋅(r₇ + r₈)⋅(r₃⋅r₄ + r₃⋅r₅ + r₄⋅r₅)

(Ich mache mir nicht die Mühe, iₒᵤₜ aufzuschreiben. Es ist länger und wahrscheinlich nicht interessant.)

Sie haben einen Fehler bei der Berechnung des Versorgungsstroms gemacht, der zum Operationsverstärker fließt. Es ist mit ziemlicher Sicherheit einfacher, mit einem neuen Satz von Gleichungen zu beginnen, als es Jonks Antwort tut, aber es ist auch pädagogisch nützlich, Ihre bestehende Argumentation fortzusetzen und zu erörtern, warum Ihr Satz von Gleichungen überbestimmt ist und welche Freiheitsgrade wir haben fehlen.

Aus Ihrer vierten und fünften Gleichung können Sie die Gleichung erhalten$I_0 = I_1 + I_4 + I_7$(Ein Komposit, das I3 eliminiert, was nicht wirklich ein Strom ist, der zwischen Knoten fließt, sondern ein Artefakt des Denkens, dass sich kreuzende Linien auf einem Schaltplan trennen -> Knoten trennen).

Diese Gleichung ist neben den anderen I0-Gleichungen problematisch - sie behauptet, dass der Strom I7 (und damit I6) notwendigerweise über I0 (dh über die Vi-Spannungsquelle) und dann irgendwie magisch zurück in den Operationsverstärker fließt, aber in Wirklichkeit tut es das nicht - es fließt durch nicht gezeichnete Zweige, die die Stromversorgung des Operationsverstärkers darstellen:

Der richtige Satz von Gleichungen hat auch eine "Kopie" von I6, die über den Erdungsknoten fließt, oder entfernt die falsch codierte Aussage insgesamt.

Wenn wir die Gleichungen rund um den Erdungsknoten umgestalten möchten, können wir damit beginnen, einen neuen Strom zu kennzeichnen, der die Netzversorgung in den Operationsverstärker darstellt:

Wir können dann KCL am Bodenknoten umschreiben:

Ich habe mir auch die Zeit genommen, I3 zu entfernen, als ich um den Bodenknoten herum gearbeitet habe. I3 ist sinnvoll, wenn Sie sich einen Schaltplan in Bezug auf Linien und Kreuzungen ansehen, aber es ist kein natürlicher Schaltkreis, den Sie berücksichtigen sollten, wenn Sie über Knoten nachdenken .

Beachten Sie, dass der erste Satz von Gleichungen Angaben zur Topologie sind; sie sind wahr, egal ob die Elemente linear oder nichtlinear sind. Die zweiten Sätze werden manchmal als Branch Constituent Equations (BCE) bezeichnet. Sie beschreiben, wie in diesen Fällen die Zweigströme mit den entsprechenden Spannungen über den Zweigen zusammenhängen. Was fehlt, ist eine Beschreibung, wie der Stromausgang des Operationsverstärkers mit den Eingangsspannungen des Operationsverstärkers zusammenhängt. Beachten Sie auch, dass die Gleichungen in Teil 1 und Teil 2 wahr wären, wenn der Operationsverstärker durch einen offenen Stromkreis ersetzt würde und i_6 auf 0 gesetzt wäre.

Typischerweise könnte der Operationsverstärker durch einen Transkonduktanzverstärker (spannungsgesteuerte Stromquelle) oder eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle (VCVS) modelliert werden. Für den allgemeinen Fall ist i_6 = gm*(v_1 – v_3) für ein VCCS oder v_4 = A*(v_1 – v_3) für ein VCCS. Diese allgemeine Lösung ist sogar hilfreich, um die Lösung für "ideale" Operationsverstärker zu finden, indem die Grenze genommen wird, wenn die Verstärkung des Operationsverstärkers gegen unendlich geht.

Da die Schaltung eine negative Rückkopplung bereitstellt, wird die Differenzspannung von v_1 zu v_3 kleiner, wenn die Verstärkung zunimmt. Das heißt, es wird eine kleinere Differenzspannung benötigt, um das i_6 zu erzeugen, das erforderlich ist, damit sich v_3 v_1 annähert.