Kapazität zweier sich fast berührender Halbkugeln

Definition von Kapazität ist:

$$C = \frac{Q}{\Delta V}$$

Dies sind die ersten Prinzipien, von denen aus wir arbeiten müssen, denn nur Ladung und Spannung sind wirklich fundamentale Größen. Wenn Sie einen Kondensatortyp vorschlagen, postulieren Sie ein physikalisches System, bei dem zwei Oberflächen (oder Volumen, aber in diesem Fall Oberflächen) äquipotential sind und eine gewisse relative Spannungsdifferenz aufweisen. Die absolute Spannung ist undefiniert, weshalb wir die Spannung mit Delta schreiben. Alles, was wir wissen, ist die Spannungsdifferenz und Geometrie. Wir können sagen, dass die Gebühren sind$-\Delta V/2$und$\Delta V/2$oder dass sie es sind$0$und$\Delta V$. Diese Information reicht soweit aus, um die gespeicherte Ladung zu finden. Das bedeutet nicht, dass es einfach ist.

Dies kann zumindest auf ein 2D-Problem reduziert werden, bei dem die Ladungsflächendichte als Funktion des Winkels definiert ist,$\sigma(\theta)$. Wir brauchen wegen der Symmetrie nur eine Funktion, und wir brauchen sie nur definiert von$\theta=0$zu$\pi/2$. Ich werde die Konvention von entgegengesetzten und gleichen Spannungen verwenden, was bedeutet, dass die Ladungsverteilung auch entgegengesetzt und gleich ist.

Das Integral, das die Spannung definiert, ist wie immer haarig. Die Ladungen auf beiden Platten tragen irgendwann zum elektrischen Potential bei. Bezeichnen Sie die eigene Sphäre des Punktes mit 1 und die gegenüberliegende Sphäre mit 2, und nehmen Sie die eigene Sphäre des Punktes als die positive Ladung.

$$V(\theta) = \frac{\Delta V}{2} = k \left(\int_0^{\pi/2} \frac{\sigma}{d_1^2} dS_1 - \int_0^{\pi/2} \frac{\sigma}{d_2^2} dS_2 \right)$$

Wenn wir dies lösen, erhalten wir eine Gleichung, die eine bestimmte enthält$\theta$ebenso gut wie$\sigma(\theta)$. Sie können das als ähnlich einer Differentialgleichung erkennen. Das könnte hypothetisch gelöst werden$\sigma(\theta)$, möglicherweise durch Algebra, obwohl dies möglicherweise nicht praktikabel ist. Von daher wäre es eine wahre Aussage zu sagen:

$$Q = 2 \int_0^{\pi/2}\sigma dS$$

Die zwei werden wegen der zwei Platten hinzugefügt. Dies würde in die vorherige Definition der Kapazität einfließen, und dann haben Sie Ihre Antwort. Der schwierige Teil ist es, es zu tun. Hier kann ich langsam anfangen, die Lücken zu füllen. Während unsere Ladungsdichte eine schöne Funktion mit einer Variablen ist, kann das Gleiche nicht über das Integral gesagt werden. Wir müssen über zwei Variablen integrieren, weil der Abstand zwischen Punkten von beiden abhängt.

$$dS = R \sin(\theta) d\theta d \varphi$$

Wir müssen eine Koordinatentransformation von zylindrischen zu rechtwinkligen Koordinaten verwenden, um Vektoren zu subtrahieren. Ich nehme die x-Achse so, dass sie durch die Mitte beider Kugeln verläuft.

$$r_1(x,y,z) = r(\theta,\varphi) = R \left< \left( 1 - \cos{(\theta)} \right) , \sin{(\theta)} \sin{(\varphi)} , \sin{(\theta)} \cos{(\varphi)} \right>$$

$$r_2(x,y,z) = r(\theta,\varphi) = R \left< -\left( 1 - \cos{(\theta)} \right) , \sin{(\theta)} \sin{(\varphi)} , \sin{(\theta)} \cos{(\varphi)} \right>$$

$$d_1 = \left| r_1(\theta,0) - r_1(\theta',\varphi) \right|$$

$$d_2 = \left| r_1(\theta,0) - r_2(\theta',\varphi) \right|$$

Ich werde die Abhängigkeiten jetzt etwas unterdrücken.

$$d_1^2 = \left( x_1 - x_1' \right)^2 + \left( x_1 - x_1' \right)^2 +\left( x_1 - x_1' \right)^2$$

$$d_2^2 = \left( x_1 - x_2 \right)^2 + \left( x_1 - x_2 \right)^2 +\left( x_1 - x_2 \right)^2$$

Sie sollten in der Lage sein, ein explizites Formular daraus zu erhalten. Ich konnte ausschreiben$d_1^2$und$d_2^2$explizit in Bezug auf die sphärischen Variablen. Sie haben immer noch die entmutigende Aufgabe, sich zu integrieren$\theta'$und$\varphi$. Dies geschieht für beide Integrale.

Selbst wenn Sie das tun, sind Sie noch lange nicht fertig. Sie hätten nur eine Gleichung aufgestellt, die zum Auflösen ausreicht$\sigma(\theta)$, und selbst diese Gleichung können Sie nicht einfach in einen Differentialgleichungslöser einfügen, da es sich um eine Integralgleichung handelt. Vielleicht könnten Sie es zu einer Integro-Differentialgleichung machen , indem Sie es in Bezug auf setzen$Q$(obwohl ich das nicht probiert habe). Es ist immer noch eine gültige mathematische Spezifikation der Oberflächenladungsdichte.

Ich denke, Sie können die loswerden$\varphi$Bestandteil. Ich verstehe, dass es nur in folgender Form erscheint:

$$\int \frac{f(\theta)}{g(\theta) + h(\theta) \cos{(\varphi)}} d\theta d\varphi$$

und

$$\int \frac{f(\theta)}{g(\theta) + h(\theta) \cos{(\varphi)}^2} d\theta d\varphi$$

Das kann so ausgewertet werden, dass es in Bezug auf explizit wird$\varphi$. Es ist nicht kurz, also werde ich es nicht schreiben. Aber wenn Sie dies tun, gelangen Sie zu einem Ausdruck, in den Sie integrieren können$\theta$allein. Mit Algebra oder iterativen Techniken, die verwendet werden können, um die Ladungsdichte für jeden zu finden$\theta$, die selbst integriert werden kann, um Ladung zu erhalten, die verwendet werden kann, um die Kapazität zu erhalten.

BEARBEITETE ANTWORT:

Hier ist, was meiner Meinung nach ein Weg sein könnte, um das Problem zu lösen.

Wir können uns vorstellen, dass jede Hemisphäre aus einer Reihe von Ringen besteht. Jeder Ring hat ein „Spiegelbild“ auf der anderen Halbkugel, was ihn zu einem Kondensator aus zwei ringförmigen Platten macht. Da die gesamte Halbkugel auf einem Potential liegt, sind die Kondensatoren parallel geschaltet, und wir können die äquivalente Kapazität des Systems durch einfache Addition ermitteln.

In Parallelkombination:$C_{eq} = \sum C$

Wir wissen, dass die Kapazität eines Kondensators ist:

$$C = \frac{\epsilon_oA}{d}$$

Daher wäre die Kapazität eines Rings mit infinitesimaler Fläche:

$$dC = \frac{\epsilon_o.dA}{d}$$

Nehmen Sie, wie in der Abbildung unten gezeigt, einen Ring mit einem Winkel von an$\theta$von der x-Achse, wobei die Breite einem Winkel von gegenüberliegt$d\theta$am Ursprung.
Die Breite eines solchen Rings wäre$rd\theta$, und sein Radius - wie in der Abbildung gezeigt - wäre$rsin\theta$.

Damit haben wir die Fläche des Rings:
Sie ist gleich dem Umfang ($2\pi R$) multipliziert mit der Breite ($rd\theta$). Hier,$R = rsinθ$(Ringradius).

$$\begin{eqnarray*} \therefore dA &=& 2 \pi (r\sin\theta) . rd\theta\\ &=& 2\pi r^2 \sin\theta d\theta \end{eqnarray*}$$

Finden Sie nun den Abstand zwischen den Ringen auf jeder Halbkugel. Aus der Geometrie können wir schließen:

Der Abstand (d) zwischen den beiden Ringen:

$$d = 2r(1-\cos\theta)$$

Setzt man Fläche und Entfernung in die Gleichung ein, erhält man:

$$\begin{eqnarray*} dC &=& \frac{\epsilon_o(2\pi r^2 \sin\theta d\theta)}{2r(1-\cos\theta)}\\ &=& \frac{\epsilon_o \pi r \sin\theta d\theta}{1-\cos\theta} \end{eqnarray*}$$

Jetzt müssen wir nur noch alle Kapazitäten addieren, um die äquivalente Kapazität zu finden! Dazu integrieren wir die Kapazität:

$$\int dC = \int \frac{\epsilon_o \pi r \sin\theta d\theta}{1-\cos\theta}$$

Seit$\epsilon_o \pi r$eine Konstante ist, entfernen wir sie aus dem Integral, um zu erhalten:

$$\int dC = \epsilon_o \pi r \int \frac{\sin\theta d\theta}{1-\cos\theta}$$

Nun, die Integration von$dC$ist$C$. Anwenden der Grenzwerte für$\theta$wie$0$und$\frac{\pi}{2}$(da diese Grenzen es uns ermöglichen, die gesamte Hemisphäre abzudecken), erhalten wir:

$$C = \epsilon_o \pi r \int_0^{\pi /2} \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}.d\theta$$ $$C = \epsilon_o \pi r \bigg[ ln(1-\cos\theta) \bigg]_0^{\pi /2}$$

$\big(ln(1-\cos\theta)$ist das Integral von$\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$, da die Ableitung von$ln(1-\cos\theta)$gibt uns$\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\big)$.

$$\therefore C = \epsilon_o \pi r \bigg[ ln(1-\cos(\pi / 2)) - ln( 1 - \cos(0)) \bigg]$$

$\because \cos(\pi / 2) = 0$ UND $\cos(0) = 1$

wir bekommen:

$$C = \epsilon_o \pi r \bigg[ ln(1 - 0) - ln( 1 - 1) \bigg]$$ $$C = \epsilon_o \pi r \bigg[ ln(1) - ln(0) \bigg]$$

An diesem Punkt stecke ich fest, weil ln (0) seither nicht existiert$\rightarrow (-\infty)$

Aber ich glaube, ich bin der Antwort ziemlich nahe! Das einzige, was ich brauche, ist für$\bigg[ ln(1) - ln(0) \bigg]$um den Wert 8 zu erhalten, denn das wird mir die Antwort geben$2r/k$!!

Seit,$K = \frac{1}{4\pi \epsilon_o}$

Und es ist durchaus möglich, dass der Wert nahe 8 ausfällt, da der natürliche Logarithmus einer Zahl NUR größer als Null negativ ist und nahe bei -8 liegen kann. Wenn dem so ist, werden wir die Antwort 2r/k bekommen, aber ich weiß nicht, wie wir das können. Es tut uns leid! :) Hoffe, ich habe trotzdem ein bisschen geholfen!

Um dieses Problem zu lösen, muss man erkennen, dass 4 Oberflächen beteiligt sind. Das Äußere und Innere der Hemisphäre A, und dasselbe für B.

Gegeben: C = r/2k. Dies ist die Kapazität einer Halbkugel zwischen/aufgrund der "äußeren" Oberfläche und der Unendlichkeit.
Es gibt auch eine gleiche Kapazität von der Innenfläche und der Unendlichkeit. Da diese beiden Kondensatoren parallel geschaltet sind, hat Halbkugel A eine Gesamtkapazität von (r/2k + r/2k = ) r/k.

Dasselbe gilt für Halbkugel B, die ein Kondensator parallel zur Halbkugel A ist, sodass die Gesamtkapazität beider Halbkugeln (r/k + r/k = ) 2r/k) ist.

Soweit ich weiß, scheint dies wie zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren zu sein, also

1/c = 1/c1+1/c2

Setzen von Werten kommt dies auf r/4k.

Übrigens gibt 1 eine andere Formel zur Berechnung der Kapazität an