Klassische Logik im Zusammenhang mit QM-Mathematik

Die elementarste Formulierung der Quantenmechanik (die normalerweise in Hilbert-Räumen formuliert wird) kann ausgehend von einem Gitter aller elementaren Aussagen konstruiert werden, die auf einem gegebenen Quantensystem getestet werden können und als Ergebnis JA oder NICHT erhalten.

Dies kann man ähnlich für die klassische Mechanik machen und in diesem Fall werden die Elementarsätze durch eine Klasse von Mengen im Phasenraum des physikalischen Systems, einem Elementarsatz, beschrieben$P$ist wahr (JA), wenn der Zustand des Systems dazugehört$P$zum betrachteten Zeitpunkt. Diese Klasse von Mengen/Sätzen muss unter der Wirkung von logischen Operatoren/Mengenoperationen abgeschlossen werden. Zum Beispiel$P$UND$Q$entspricht$P \cap Q$, und so weiter ... Ein Zustand des Systems ist in der Tat eine Karte, die jeden elementaren Satz mit einer Zahl in verknüpft$\{0,1\}$, Wo$0$bedeutet NEIN und$1$meint ja. Wenn stattdessen der gesamte Satz der Ergebnisse$[0,1]$ist zulässig, der Zustand ist probabilistisch, es ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine elementare Aussage wahr ist (dies ist zum Beispiel der Standard, wenn es um statistische Mechanik geht). Die Tatsache, dass ein Zustand ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist (ein Dirac-Maß für scharfe Zustände), zwingt die Klasse von Teilmengen, die Sätze beschreiben, dazu, a zu sein$\sigma$-Algebra , was etwas komplizierter ist als eine Boolesche Algebra .

In der Quantenmechanik könnte man versuchen, einen ähnlichen Standpunkt einzunehmen und die elementaren JA-NEIN-Sätze bei der Beschreibung eines Quantensystems von Grund auf herauszugreifen. Der Punkt ist, dass es Paare von Elementarsätzen gibt, die nicht durch Bindewörter verbunden werden können: Es sind die berühmten inkompatiblen Sätze . Hier ist ein typisches Beispiel.$P=$„Das Teilchen hat Impuls$p$" Und$Q=$„Das Teilchen hat eine Position$q$". In der Natur gibt es nichts Vergleichbares wie P UND Q. Kein physikalisches Experiment kann einen Wert JA/NEIN zuordnen$P$UND$Q$. Das sagen Physiker$P$Und$Q$sind inkompatibel . Eine boolesche Struktur kann hier nicht verwendet werden!

Die Situation ist jedoch nicht so verzweifelt, wie es auf den ersten Blick scheinen mag, denn es gibt mathematische Strukturen (nicht Boolesche Gitter), die in der Lage sind, die Physik elementarer Sätze eines quantenmechanischen Systems zu erfassen und zu beschreiben. Tatsächlich sind diese Strukturen isomorph zu den Gittern orthogonaler Projektoren von Hilbert-Räumen. Die Zustände können ähnlich wie im klassischen Fall definiert werden, (verallgemeinerte) Wahrscheinlichkeitsmaße, und es stellt sich heraus, dass sie den normierten Vektoren der erwähnten Hilbert-Räume zugeordnet sind (ich beziehe mich hier nur auf die sogenannten reinen Zustände ) .

Der Punkt ist, dass diese mathematischen Strukturen, nicht Boolesche Gitter, Operationen verkörpern, die den klassischen Konnektiven AND, OR, NOT,$\Rightarrow$usw. Sie sind Verallgemeinerungen des klassischen Korrespondierens und reduzieren sich darauf, wenn es um Mengen paarweise kompatibler Aussagen geht.

Hier ergibt sich eine doppelte Möglichkeit. Diese Tatsache kann man ignorieren und als rein technische Chance ausnutzen. Alternativ kann man davon ausgehen, dass diese Pseudokonnektive die Konnektive der Quantenwelt sind, die genau in diesem Sinne (Konnektoren mit unterschiedlichen Eigenschaften) einer anderen als der klassischen Logik genügen. Das war die Idee von von Neumann und Birkhoff, die mit der ersten Untersuchung dieser mathematischen Welt begannen. Heutzutage ist die Quantenlogik ein (weites) Forschungsgebiet, das eher Logikern als Physikern vorbehalten ist. Ich meine, aus mehreren Gründen, auch praktischer Natur, konnten von Neumann und Birkhoff die Physiker nicht davon überzeugen, die klassische Logik zugunsten (irgendeiner) Quantenversion aufzugeben.

In jedem Fall gibt es keine Probleme im Umgang mit der Quantenlogik, weil es nichts anderes als ein formales Verfahren ist, Aussagen zu konstruieren, wenn anfängliche Aussagen gegeben sind. In dieser Hinsicht unterscheidet sie sich nicht von anderen mathematisch formalisierten Theorien. Wir können mit der Quantenlogik mit intuitiver Logik genau so umgehen, wie wir mit einer Formalisierung der klassischen Logik mit intuitiver Logik umgehen können.

Die ersten Zeilen des Wikipedia-Eintrags Quantenlogik geben einen Eindruck. Um es kurz zu machen, die Essenz des Beispiels ist folgende: Sie haben ein Partikel in einer Box von Länge verschmiert$d$. Wenn Sie sich trennen$d$in zwei Teile,$d_\text{Left}$Und$d_\text{Right}$, dann „ist das Teilchen in der Vereinigung von$d_\text{Left}$Und$d_\text{Right}$" ist per Definition wahr, während "das Teilchen entweder in ist$d_\text{Left}$oder hinein$d_\text{Right}$" ist klassisch äquivalent, aber in der Quantenphysik nicht sinnvoll.

Wir sehen also, dass Aspekte der Quantenmechanik nicht direkt mit den Aussagenregeln der klassischen Logik ausgedrückt werden können - die Sprache ist nicht gut geeignet, um sofort darüber zu sprechen. Siehe NonfirstOrderizability für ein ganz anderes Beispiel dafür, wo die Sprache, die Sie verwenden möchten, es nicht ganz schafft: "Einige Kritiker bewundern nur einander."

Es besteht also zwar die Möglichkeit, Quantenlogik zu betreiben, die das QM-System direkt erfasst, Sie müssen es aber nicht. Mathematik wird normalerweise als Teil der klassischen Logik betrachtet, sehr oft erweitert mit Axiomen über Mengen (die meisten Leute interessiert es jedoch nicht), nur weil es ausreicht. Zum Beispiel als Satz$\{c,b,a,b\}$ist per Definition dasselbe wie die Menge$\{a,b,c\}$, das ist nicht so gut geeignet, um über Listen von Dingen zu sprechen. Aber die Leute gehen dann weiter und definieren das Paar$(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}$und definiere das Tripel$(x,y,z):=(x,(x,z))$und jetzt haben sie eine Vorstellung von Liste innerhalb der Mengenlehre (sprich niemals über das hässliche tatsächliche Ding "$\{\{x\},\{x,\{\{y\},\{y,z\}\}\}\}$" unten auf der Hardwareebene). Für alles, was Sie über Partikel in Kästchen sagen möchten, möchten (oder müssen) Sie möglicherweise das stärker belastete Gerüst von Erwartungswerten für Wahrscheinlichkeitsverteilungen und so weiter verwenden ... Dies ist eine niedergeschriebene Theorie Ganz klassisch. Auf jeden Fall kann man die Quantenmechanik in der Formensprache der klassischen Mechanik niederschreiben und dann anfangen, darüber - formell oder informell - mit Quantenlogik zu argumentieren. Es ist ein Werkzeug, auf welchem ​​Zustand man es anwenden möchte.

Aber es ist auch bemerkenswert, dass die Quantenlogik nicht die einzige nicht-klassische Logiksprache ist, mit der man versucht, sich der Quantenmechanik zu nähern. Übrigens, wenn Sie sagen "wenn Mathematik der klassischen Logik gehorcht", dann drücken Sie entweder aus, dass Sie eine Art Platoniker sind, oder Sie schränken absichtlich den Umfang der Mathematik ein. Nichtklassische Logiken werden immer beliebter, würde ich sagen. Lassen Sie mich auch auf meine Lieblingsantwort im StackExchange-Netzwerk verlinken: Ist First Order Logic die einzige grundlegende Logik? . Und siehe auch diese Frage.