Können die Maxwell-Gleichungen aus dem Coulomb-Gesetz und der speziellen Relativitätstheorie abgeleitet werden?

Maxwells Gleichungen folgen aus den Gesetzen der Elektrizität in Kombination mit den Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie. Diese Tatsache bedeutet jedoch nicht , dass das Magnetfeld an einem bestimmten Punkt weniger real ist als das elektrische Feld. Ganz im Gegenteil, die Relativitätstheorie impliziert, dass diese beiden Felder gleichermaßen real sein müssen.

Wenn die Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie auferlegt werden, das elektrische Feld$\vec{E}$muss in ein Objekt eingebaut werden, das sich auf wohldefinierte Weise unter den Lorentz-Transformationen transformiert – dh wenn die Geschwindigkeit des Beobachters geändert wird. Da es keine "skalare elektrische Kraft" gibt und ich aus anderen technischen Gründen nicht erklären möchte,$\vec{E}$kann kein Teil eines 4-Vektors in der Raumzeit sein,$V_{\mu}$.

Stattdessen müssen es die Komponenten sein$F_{0i}$eines antisymmetrischen Tensors mit zwei Indizes,

Die Indizes$\mu,\nu$Werte nehmen$0,1,2,3$dh$t,x,y,z$. Aufgrund der obigen Antisymmetrie gibt es 6 unäquivalente Komponenten des Tensors - die Werte von$\mu\nu$kann sein

Als ich 10 Jahre alt war, dachte ich auch, dass das Magnetfeld nur ein Artefakt des elektrischen Felds sein könnte, aber das kann nicht sein. Stattdessen sind die elektrischen und magnetischen Felder an jedem Punkt völlig unabhängig voneinander. Die Lorentz-Symmetrie kann sie jedoch ineinander verwandeln und beide werden benötigt, damit ihr Freund sich in etwas in einem anderen Inertialsystem verwandeln kann, damit die Symmetrie unter der Änderung des Inertialsystems nicht verloren geht.

Wenn Sie nur mit der beginnen$E_z$elektrisches Feld, die Komponente$F_{03}$ist ungleich Null. Allerdings, wenn Sie das System in der verstärken$x$-Richtung mischen Sie die Zeitkoordinate$0$mit dem Räumlichen$x$-Koordinate$1$. Folglich ist ein Teil der$F_{03}$Feld wird in die Komponente transformiert$F_{13}$was als Magnetfeld interpretiert wird$B_y$, bis zu einem Zeichen.

Alternativ kann man die Elektrizität auch durch das elektrische Potential beschreiben$\phi$. Allerdings ergibt sich die Energiedichte aus der Ladungsdichte$\rho=j_0$muss ein Tensor mit zwei zeitähnlichen Indizes sein,$T_{00}$, Also$\phi$selbst muss ebenfalls einen zeitähnlichen Index tragen. Das muss es sein$\phi=A_0$für einen 4-Vektor$A$. Dieser ganze 4er-Vektor muss aufgrund der Relativitätstheorie existieren, einschließlich der räumlichen Komponenten$\vec{A}$, und ein neues Feld$\vec{B}$kann als Kräuselung von berechnet werden$\vec{A}$während$\vec{E}=-\nabla\phi-\partial \vec{A}/\partial t$.

Offenbar wollten Sie die Abwesenheit der magnetischen Monopole beweisen, indem Sie die Abwesenheit des Magnetfeldes selbst beweisen . Nun, entschuldigen Sie, dass ich Ihren Forschungsplan unterbrochen habe: Es kann nicht funktionieren. Magnete sind verdammt real. Und falls Sie interessiert sind, die Existenz magnetischer Monopole ist in jeder konsistenten Theorie der Quantengravitation unvermeidlich. Insbesondere können zwei Pole eines hantelförmigen Magneten zu einem Paar Schwarzer Löcher kollabieren, die zwangsläufig die (entgegengesetzten) magnetischen Monopolladungen besitzen. Die möglichst leichten (Planck-Masse) Schwarzen Löcher mit magnetischen Monopolladungen werden "Proofs of Concept" schwere Elementarteilchen mit magnetischen Ladungen sein - es können jedoch manchmal auch leichtere Teilchen mit denselben Ladungen existieren.

Die Antwort von Lubos Motl ist sehr gut, aber ich denke, es lohnt sich, ein oder zwei zusätzliche Dinge zu sagen.

Sie können Magnetismus im folgenden Sinne einfach als Nebenprodukt der Elektrizität betrachten: Wenn Sie davon ausgehen, dass das Coulombsche Gesetz korrekt ist und dass die spezielle Relativitätstheorie korrekt ist und dass die Ladung ein Lorentz-Skalar ist (so dass Ladung und Stromdichte ein 4- Vektor), dann können Sie alle Maxwell-Gleichungen herleiten. (Eigentlich müssen Sie wahrscheinlich auch davon ausgehen, dass die Theorie auch linear ist, jetzt, wo ich darüber nachdenke.) Das Lehrbuch für Studenten von Purcell arbeitet dies sehr explizit auf eine nette, angenehme Weise heraus, und es ist auch in fortgeschritteneren Lehrbüchern enthalten .

Einige Bücher beschönigen die Notwendigkeit zu postulieren, dass Ladung ein Skalar ist. Mindestens ein Lehrbuch – ich weiß nicht mehr welches – betont es und liefert überzeugende Argumente dafür, dass es sich lohnt, darauf zu achten. Eine Möglichkeit zu sehen, dass es keine triviale Bedingung ist, diese aufzuerlegen, besteht darin, die Analogie mit der Schwerkraft zu betrachten – das heißt, Masse durch Ladung und Schwerkraft durch elektrisches Feld zu ersetzen und zu versuchen, dasselbe Argument anzuführen. (Nehmen Sie schwache Felder an, damit alles als linear behandelt werden kann, wenn Sie möchten.) Es gibt "gravitomagnetische" Effekte, aber sie hängen nicht mit der normalen Schwerkraft zusammen, wie das Magnetfeld mit dem elektrischen Feld zusammenhängt - dh , sehen die gravitativen Analoga der Maxwell-Gleichungen anders aus als die regulären Maxwell-Gleichungen). Ein Grund sind die Vorzeichenunterschiede, natürlich - wie Ladungen sich in einem Fall abstoßen und im anderen anziehen. Aber ein wichtigerer Grund ist, dass die Quelle der Gravitation kein Skalar ist: Ihre Dichte ist kein Teil eines 4-Vektors, sondern eines Rang-2-Tensors.

Aber auf einer eher philosophischen (oder vielleicht semantischen) Ebene würde ich von dieser Tatsache nicht zu dem Schluss kommen, dass Magnetismus „nur“ ein Nebenprodukt der Elektrizität ist. Zumindest scheint eine solche Sprache nicht nützlich zu sein, um die Theorie zu verstehen oder sie anzuwenden! Zum Beispiel ist es viel einfacher und natürlicher zu verstehen, wie sich eine elektromagnetische Welle von einer fernen Galaxie zu Ihrem Auge ausbreiten kann, wenn Sie es aus der "normalen" Perspektive betrachten.

Keine direkte Antwort auf Ihre Frage, aber dennoch eine überraschende Ableitung der Maxwell-Gleichungen:

Feynmans Beweis der Maxwell-Gleichungen (FJ Dyson - Phys. Rev. A, 1989) zeigt, dass es möglich ist, die Maxwell-Gleichungen aus Newtons zweitem Bewegungsgesetz und Kommutierungsbeziehungen (unter nicht-relativistischen Grenzen) abzuleiten.

Ja, Sie können es machen, aber Sie müssen auch ein Superpositionsprinzip anwenden.

1. Sie bestimmen, dass das Coulomssche Gesetz, $$\mathbf F = \frac{qQ\mathbf r}{|\mathbf r |^{3}},$$ ist ein Grenzfall der relativistischen Kraft, die durch das Feld einer Q-Ladung auf die Ladung q wirkt.
2. Unter Verwendung der Lorentz-Transformation für die Kraft und für den Radius-Vektor, $$\mathbf F = \mathbf F' + \gamma \mathbf u \frac{(\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F')}{c^{2}},$$ $$\mathbf r' = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} (t = 0),$$ wobei u die Geschwindigkeit des Inertialsystems, v die Ladungsgeschwindigkeit ist, kann man davon ausgehen, dass relativ zum anderen Inertialsystem mit Relativgeschwindigkeit u die Kraft so aussieht $$\mathbf F = q\mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf v \times \mathbf B],$$ wo $$\mathbf E = \frac{\gamma Q \mathbf r}{(r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2})^{\frac{3}{2}}}, \quad \mathbf B = \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E].$$ Natürlich ist das Magnetfeld ein relativistischer kinematischer Effekt, aber ein oben beschriebenes Verfahren ist die relativistische kinematische Transformation des Coulombschen Gesetzes. Einige Leute haben also einen Fehler gemacht, indem sie eine negative Antwort gegeben haben.
3. Danach können Sie unter Verwendung primärer Theoreme der Vektoranalyse und des Regularisierungsverfahrens rot und div der obigen E- und B-Ausdrücke "nehmen". Danach können Sie Maxwells Gleichungen verdienen. Sie müssen das Überlagerungsprinzip verwenden, wenn Sie von einem Feld mit einer Ladung zu einer kontinuierlichen Verteilung mit mehreren Ladungen wechseln.

Ich weiß, dass Purcell und andere die Lorentz-Symmetrie als pädagogisches Mittel verwendet haben, um die Einführung von Magnetfeldern zu motivieren, aber ich kann mich nicht erinnern, jemals eine axiomatische Ableitung der Maxwell-Gleichungen gesehen zu haben. Es könnte eine interessante Übung sein, genau zu sehen, welche Annahmen jenseits der Lorentz-Symmetrie und des Coulomb-Gesetzes notwendig sind, um die Maxwell-Gleichungen zu rekonstruieren.

B-Felder sind keine fiktiven Felder

Wenn Sie die elektrischen und magnetischen Felder in einem Inertialsystem kennen, können Sie die elektrischen und magnetischen Felder in jedem anderen System über die Lorentz-Transformation bestimmen. Wenn das Magnetfeld in einem bestimmten Inertialsystem verschwindet, könnte man sich magnetische Effekte in anderen Systemen als fiktiv vorstellen. Allerdings ist es nicht immer möglich, einen Rahmen zu finden, in dem die Magnetfelder verschwinden. Der schnellste Weg, dies zu sehen, besteht darin, zu beachten, dass E ^ 2 - B ^ 2 c ^ 2 eine Lorentz-invariante Größe ist ( siehe Wikipedia). Wenn wir feststellen, dass B^2 > E^2/c^2 an einem gegebenen Raumzeitpunkt in einem gegebenen Inertialsystem, folgt daraus, dass B^2 > 0 an diesem Punkt in allen Inertialsystemen ist. Tatsächlich könnten Sie in einem Rahmen beginnen, in dem das elektrische Feld verschwindet, das magnetische Feld jedoch nicht; die in anderen Rahmen beobachteten elektrischen Felder könnten dann als fiktiv betrachtet werden.

Im Allgemeinen kann weder das elektrische Feld noch das magnetische Feld unter einem Lorentz-Schub zum Verschwinden gebracht werden. Um dies schnell zu sehen, beachten Sie, dass das Skalarprodukt des E-Feldvektors mit dem B-Feldvektor an einem bestimmten Raumzeitpunkt eine Lorentz-invariante Größe ist ( siehe Wikipedia ). Wenn dieses Skalarprodukt an einem gegebenen Raumzeitpunkt in einem gegebenen Trägheitsrahmen ungleich Null ist, werden sowohl der elektrische als auch der magnetische Feldvektor an diesem Raumzeitpunkt in allen Trägheitsrahmen ungleich Null sein.

Wie Einstein betonte, können Sie die Bewegung eines geladenen Teilchens verstehen, indem Sie sich auf das elektrische Feld im Ruhesystem dieses Teilchens beziehen. Wenn Sie jedoch mehrere Partikel mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten haben, müssen Sie das elektrische Feld im momentanen Ruhesystem jedes Partikels verfolgen. Da Lorentz das E-Feld mit dem B-Feld verstärkt, ist die einzige Möglichkeit, das E-Feld im Ruhesystem jedes Ihrer Teilchen in Form lokaler Größen in einem Inertialsystem zu verfolgen, die Bezugnahme auf das E-Feld und das B aufstellen.

Lokalität

Auch wenn es möglich ist, ist mir nicht klar, ob es wünschenswert wäre, das Coulombsche Gesetz als Axiom in der elektromagnetischen Theorie zu verwenden. Die Maxwell-Gleichungen erklären die Bewegung von Teilchen durch Bezugnahme auf lokale Freiheitsgrade, die Felder. Das Coulombsche Gesetz hingegen ist eine Form der Fernwirkung und offensichtlich nicht lokal.

Es ist sicherlich möglich, sowohl das E- als auch das B-Feld in Form von Integralen über Ladungsdichte und Stromdichte umzuschreiben (ich kann keinen weiteren Link posten, also googeln Sie "Jefimenkos Gleichungen") und diese Ausdrücke dann verwenden, um elektromagnetische Kräfte als zu interpretieren eine Form verzögerter Fernwirkung. Um diese Ausdrücke zu erhalten, sind jedoch Annahmen über die Randbedingungen der E- und B-Felder erforderlich. Wir können immer eine andere gültige Lösung der Maxwell-Gleichungen erhalten, indem wir einfach die Randbedingungen für die Felder ändern, was zeigt, dass die Felder eine unabhängige Existenz haben und keine bloßen Buchhaltungsvariablen sind, um eine grundlegendere nichtlokale Wechselwirkung zu vereinfachen.

Monopole

Wie gewöhnlich geschrieben, enthalten die Maxwell-Gleichungen keine Terme, die der magnetischen Ladung entsprechen, aber es wäre konsequent, solche Terme hinzuzufügen. Tatsächlich zeigte Dirac, dass die Quantisierung der elektrischen Ladung auf die Existenz magnetischer Monopole zurückzuführen sein könnte (ich kann keinen weiteren Link posten, also google "magnetische Monopol-Dirac-Quantisierungsbedingung"). Die Maxwell-Gleichungen sagen uns nicht, ob magnetische Monopole existieren oder existieren könnten, aber die Quantisierung der elektrischen Ladung könnte ein Beweis dafür sein, dass irgendwo im Universum magnetische Monopole existieren.

Sie können nicht. B ist nicht nur ein relativistischer Nebeneffekt von E . Jackson, Electrodynamics , Abschnitt 12.2 hat eine nette Diskussion, in der er die „Beweise“ widerlegt, die in einigen Bachelor-Texten gegeben werden.

„Die Verwirrung entsteht hauptsächlich, weil die Lorentz-Transformationseigenschaften der Kraft so sind, dass ein magnetähnlicher Kraftterm erscheint, wenn die Kraft in einem Trägheitssystem durch die Kraft in einem anderen System ausgedrückt wird. Es ist verlockend, diesen zusätzlichen Kraftterm anzugeben eine unabhängige Existenz und so das Magnetfeld als separate Einheit identifizieren. Aber ein solcher Schritt ist ohne zusätzliche Annahmen nicht gerechtfertigt.“

Jackson fährt fort, ein explizites Gegenbeispiel zu zeigen, das auf einem Lorentz-Skalarpotential basiert. Dieses Feld sieht im nicht-relativistischen Grenzfall aus wie Elektrostatik (oder sogar Newtonsche Gravitation!). Es hat auch "eine offensichtliche magnetähnliche Kraft. Aber es gibt keine unabhängige Einheit B. " In dieser "Theorie" ist B also zwar nur ein relativistischer Effekt, aber diese Theorie gilt nicht für die Natur.

Mit dem Coulomb-Gesetz und der speziellen Relativitätstheorie können Sie das Ampere-Gesetz ableiten, das Ihnen Magnetostatik gibt. Was für die Elektrodynamik fehlt, ist der Verschiebungsstrom ($\frac{1}{c^2} \frac{\partial E}{\partial t}$), die eine Quelle eines Magnetfelds ist, das aus einem zeitlich veränderlichen elektrischen Feld entsteht, und nicht aus der Bewegung elektrischer Ladung.

Die Relativitätstheorie hat nur zwei Postulate:

1. Die Gesetze der Physik sind in allen Trägheitsbezugssystemen gleich
2. Alle Trägheitsbeobachter messen die gleiche Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Die Relativitätstheorie an sich schreibt nicht vor, dass sich elektrische Felder (oder elektrisches Potential in dieser Angelegenheit) mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen müssen. Um die Maxwell-Gleichungen abzuleiten, benötigen Sie ein zusätzliches Postulat, das von der Wellengleichung (für elektrisches Potential) in Abschnitt 4 der Referenz in Helders Antwort bereitgestellt wird. Ohne dieses zusätzliche Postulat (dass sich Änderungen des elektrischen Potentials mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten) können Sie den Verschiebungsstrom nicht allein aus dem Coulomb-Gesetz und der Relativitätstheorie ableiten.

von Hans de Vries (*):

Die einfachste und vollständige Herleitung des Magnetismus als relativistischer Nebeneffekt der Elektrostatik

Er verwendet nur das elektrostatische Feld und die Nicht-Gleichzeitigkeit, um das magnetische Feld zu erhalten. Er erklärt es besser als Purcell.

Das Magnetfeld ist ein Nebeneffekt der Bewegung im elektrischen Feld.

(*) Hans de Vries hat ein sehr interessantes Online-Buch (noch nicht fertiggestellt) auf seiner Website, und er bietet eine weitere Perle an, die nichts mit diesem Beitrag zu tun hat, aber ich fühle mich gezwungen, sie zu teilen: Die Lorentz-Kontraktion ist ein echter Effekt und nicht nur „Referenzeffekt“, wie wir versucht sind zu glauben.

Nein, das kannst du nicht. Aus mehreren Gründen. Erstens, wenn Sie E haben, um das B-Feld zu erhalten, benötigen Sie zusätzliche Annahmen über die Struktur der Theorie, dh genauer gesagt den Feldstärketensor, siehe obige Antwort von Lubos. Aber zusätzlich dazu müssen Sie, selbst wenn Sie die Lösung für eine Punktladung hätten, mehr wissen, als nur eine Lösung zu haben, um die Maxwell-Gleichungen zu erhalten. Zum Beispiel, dass sie linear sind, zweiter Ordnung, und was die Symmetriegruppe ist. Und wenn Sie das hinzugefügt haben, können Sie die Maxwell-Gleichungen ohnehin aus diesen Annahmen ableiten, ohne überhaupt mit dem Coulomb-Feld zu beginnen.

Ja. Siehe Prinzipien der Elektrodynamik von Melvin Schwartz. Er leitet die gesamte Elektrodynamik einschließlich der Maxwell-Gleichungen aus dem Coulomb-Gesetz und der speziellen Relativitätstheorie ab.

Die Antwort von Luboš Motl ist insofern hilfreich, als sie zeigt, wie man die Art von Einsichten einbringt, die die Relativitätstheorie bietet, aber sie beginnt dennoch mit ihrer allgemeinen Schlussfolgerung, und diese Schlussfolgerung ist falsch. Es ist größtenteils aus den in der Antwort von WIMP kurz angegebenen Gründen falsch.

Die Frage ist wichtig, und es ist wichtig, die richtige Antwort zu bekommen. Die Frage ist:

Können die Maxwell-Gleichungen nur unter Verwendung des Coulomb-Gesetzes und der speziellen Relativitätstheorie abgeleitet werden?

Die Antwort lautet: nein, denn viele andere Feldtheorien, die die spezielle Relativitätstheorie respektieren, können erfunden werden, so dass sie das Coulombsche Gesetz im Trägheitssystem einer gegebenen Punktladung reproduzieren.

Was man jedoch sagen kann, ist, dass der klassische Elektromagnetismus (dh die Maxwell-Gleichung und die Lorentz-Kraft-Gleichung oder jede dazu äquivalente Formulierung, wie z. B. eine Lagrange-Formulierung) zu den einfachsten Feldtheorien gehört, die die spezielle Relativitätstheorie respektieren und das Coulomb-Gesetz beinhalten. Die Definition von „einfach“ ist hier zugegebenermaßen ungenau.

Der Hauptgrund, warum Sie Maxwell nicht von 'Coulomb + SR' ableiten können, ist, dass Sie nicht wissen würden, ob Beschleunigungseffekte in die Beziehung zwischen Potentialen und Ladungen einbezogen werden sollen.

Jetzt werde ich den Deckel der theoretischen Physik hier ein wenig heben. Ein sehr guter (nicht der einzige) mathematische Weg, um sicherzustellen, dass jedes Stück Physik die Spezielle Relativitätstheorie (SR) respektiert, besteht darin, sich bei allem, was Sie vorschlagen und aufschreiben, auf tensorielle Ausdrücke zu beschränken. „Tensorial“ umfasst hier Tensoren vom Rang Null, also Skalare, aber nicht irgendwelche Skalare, sondern Lorentz-invariante Skalare. Es enthält auch 4-Vektoren und Tensoren zweiten und höheren Ranges. Beim Ableiten verwenden Sie den kovarianten Gradientenoperator$\partial_a$, und dann haben Sie einen Werkzeugkasten zum Konstruieren von Differentialgleichungen, die SR berücksichtigen

Die „einfachste“ Feldtheorie könnte also eine solche sein, dass Teilchen eine Lorentz-invariante skalare Eigenschaft namens Ladung haben können$q$, und die Kraft auf ein geladenes Teilchen ist unabhängig von der 4-Geschwindigkeit$u^a$des Teilchens. Das Problem ist, dass Sie schnell feststellen, dass in einer solchen Theorie die Kraft auf ein Teilchen die Geschwindigkeit eines Teilchens nicht ändern kann, ohne auch seine Masse zu ändern. Wenn Sie weiter forschen, versuchen Sie, die 4-Kraft zuzulassen$f^a$durch eine einfache lineare Gleichung mit einem Skalarfeld von der 4-Geschwindigkeit abhängig zu sein$\phi$, wie zum Beispiel$f^a = q \phi u^q$(?). Immer noch nicht gut (wieder Massenänderungen). Sie werden also dazu verleitet, einen zweitrangigen Tensor auszuprobieren$F^{ab}$für das Feld, weil es das Einfachste ist, abgesehen von einem Skalar, der einen 4-Vektor annehmen kann$u^a$als Eingabe und geben eine 4-Vektor-Kraft zurück:

$f^a = q F^{a\mu} u_\mu$

Jetzt ist es ok: Die Kraft ist solange masseerhaltend$F^{ab}$ist antisymmetrisch. Gut! Ein antisymmetrischer Tensor ist der einfachste Typ eines Tensors zweiten Ranges. Als nächstes wollen wir eine Differentialgleichung für dieses Feld: Versuchen Sie das Einfachste, nämlich die Divergenz zu nehmen, und Sie sind auf dem besten Weg zu den Maxwell-Gleichungen. Wenn wir jetzt das Coulombsche Gesetz einführen (und hier kommt es ins Spiel), dann erhalten Sie garantiert zwei von Maxwells Gleichungen, wenn Sie den Quellterm in Ihrer Differentialgleichung auf nur einen einzigen Term beschränken, der proportional zur Ladungsdichte und zur 4-Geschwindigkeit ist . Das Coulombsche Gesetz selbst sagt Ihnen nicht, dass Sie keine weiteren Begriffe hinzufügen sollen, die mit der 4-Beschleunigung zu tun haben.

Durch diesen Ansatz gelangen wir nicht unaufhaltsam zu den Maxwell-Gleichungen, aber man findet, dass sie wohl die einfachsten sind, die die Eigenschaft der Ladungserhaltung beinhalten und eine masseerhaltende Kraft (in der Fachsprache eine reine Kraft) zulassen.

Unter anderen Feldtheorien, denen man begegnet, gibt es eine, die Maxwell sehr ähnlich ist, aber magnetische Monopole enthält. Dies ergibt sich ganz natürlich in der theoretischen Behandlung und ist sicherlich eine ernsthafte Kandidat-Möglichkeit dafür, wie die physische Welt wirklich funktioniert. Es ist insofern etwas weniger einfach, als man die schöne Eigenschaft verliert, den Feldtensor als 4-Curl eines 4-Vektorfeldes (das 4-Potential) zu schreiben, und die Theorie die Symmetrie unter Rauminversion (Parität) nicht mehr respektiert. Siehe Jacksons Buch über Elektromagnetismus für eine Diskussion. Wenn es tatsächlich magnetische Monopole gibt, wie viele Versionen der Quantenfeldtheorie vermuten lassen, dann besteht das Rätsel darin, warum elektrische Monopole so viel häufiger vorkommen als magnetische Monopole.

Ich möchte jedoch betonen, dass dieses magnetische Monopolproblem bei weitem nicht der einzige Grund ist, warum die Maxwell-Gleichungen nicht vollständig aus dem Coulomb-Gesetz und SR ableitbar sind. Zu den anderen Gründen gehört, dass man sich leicht vorstellen kann, dass die Feldgleichungen Ableitungen höherer Ordnung der Bewegung beinhalten des Teilchens; SR allein kann Ihnen nicht sagen, dass dies nicht der Fall ist. Indem man mit einem Lagrange-Ansatz beginnt, kann man weitere Einschränkungen einführen, wie z. B. Invarianz, die zu Erhaltungsgesetzen führt, und dann ist der Elektromagnetismus ziemlich streng, aber immer noch nicht vollständig eingeschränkt. Grundsätzlich kann SR Ihnen sagen, dass ein Feld, das eine Kraft unabhängig von der Geschwindigkeit eines Körpers liefert, nicht die ganze Geschichte über die Physik sein kann. Ein solches Feld (zB das elektrische Feld) mussin Partnerschaft mit weiteren Effekten sein, die von der Geschwindigkeit eines Körpers abhängen.

Es gibt nur wenige Artikel, die zeigen, dass die Erhaltungs- / Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung ausreicht, um den gesamten Satz von Maxwell-Gleichungen abzuleiten. Siehe zum Beispiel diese Referenz und Zitate; https://pdfs.semanticscholar.org/3251/31eadb62c8fdfdaaad7b21a308992ff3a4d2.pdf„Wie man die kovariante Form der Maxwellschen Gleichungen aus der Kontinuitätsgleichung erhält.... Daher scheint im Elektromagnetismus ein Kreisprozess unvermeidlich zu sein: ρ und J implizieren E und B, die wiederum neue ρ1 und J1 implizieren, und demnächst. Aufgrund dieser kreisförmigen Charakteristik ist nicht klar, ob E und B (die die Maxwell-Gleichungen erfüllen) eine Folge von ρ und J (die die Kontinuitätsgleichung erfüllen) sind oder umgekehrt. Nach Ansicht des Schiedsrichters scheint es Geschmackssache zu sein, zu sagen, welches eine Folge des anderen ist. Mit anderen Worten: Aus dem Kommentar des Gutachters könnten wir schließen, dass die Verbindung zwischen Quellen und Feldern ein bisschen wie das Ei-und-Henne-Problem ist: Wer war zuerst?''.

Ausgehend vom Coulomb-Gesetz für statische Elektrizität und unter Berücksichtigung der Tatsache, dass sich Aktion nicht schneller als Licht ausbreiten kann, erzeugt die Verwendung des verzögerten Integrals den vollständigen Satz von Maxwell-Gleichungen. https://en.wikipedia.org/wiki/Li%C3%A9nard%E2%80%93Wiechert_potential .

Somit führt die Verzögerung selbst zu einer Kraft, die normal zur Bewegung (Geschwindigkeit) ist, proportional zu ihr und als umgekehrtes Quadrat der Entfernung abfällt - das ist per Definition das Magnetfeld. Es führt auch zu einer Zweikomponentenkraft - einem elektrischen und einem magnetischen Feld, das proportional zur Beschleunigung ist, die nur als Kehrwert der Entfernung abfallen (nicht im Kehrwert zum Quadrat), und dies ist per Definition Strahlung. Man kann daher folgern, dass Magnetismus und Strahlung emergente Phänomene sind, die durch die Endlichkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der beteiligten Kräfte verursacht werden.

Einige Antworten wiesen auf den Zusammenhang mit Gravito-Magnetismus und Relativitätstheorie hin. Ich denke, das kommt von der Tatsache, dass das Newtonsche Gravitationsgesetz ähnlich wie das Coulomb-Gesetz behandelt werden kann, was zu einem Satz von Gleichungen führt, die den Maxwell-Gleichungen ähneln. Dies sind die gravitomagnetischen Gleichungen und lassen sich tatsächlich auch aus der allgemeinen Relativitätstheorie für schwache Felder ableiten. https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism

Wie ich Ihre Idee verstehe, fragen Sie, ob es möglich ist, alle Maxwell-Gleichungen nur mithilfe von Lorentz-Transformationen und der Existenz eines elektrischen Felds wiederherzustellen. Die Antwort ist nein. Ein heuristisches Beispiel ist dieses: Wenn Sie einen kreisförmigen eindimensionalen Draht mit einem variablen Strom haben$I(t)$, gibt es keine Lorentz-Transformation, um das Magnetfeld dieses Systems nur ausgehend von einem elektrischen Feld zu erzeugen, da sich die elektrische Ladung des kreisförmigen Drahtes nicht inertial bewegt.