Können Sie mir die Beschleunigung vollständig erklären?

Es ist einfacher als Sie (wahrscheinlich) denken.

In Ihrem Beispiel zur Definition von Geschwindigkeit: Dies ist ein Positionswechsel$s$in einer Zeit$t$. Die Entfernungseinheiten sind Meter und die Zeiteinheiten Sekunden, also sind die Geschwindigkeitseinheiten Meter pro Sekunde. So weit, ist es gut.

Betrachten Sie nun die Beschleunigung: Dies ist eine Geschwindigkeitsänderung$v$in einer Zeit$t$, also sind die Einheiten der Beschleunigung$v/t$. Die Einheiten der Geschwindigkeit sind Meter/s und die Einheiten der Zeit sind Sekunden, also sind die Einheiten der Beschleunigung (Meter/s)/s oder Meter/s$^2$.

Ein Teil des Problems ist das Wort Zeit und wie es missbraucht wird. Zeit kann unter anderem die Ablesung einer Uhr zu einem bestimmten Zeitpunkt oder die Differenz zweier solcher Ablesungen bedeuten. Ersteres sollte korrekter als Uhrablesung bezeichnet werden, während letzteres korrekter als Dauer bezeichnet werden sollte .

Ein weiterer Teil des Problems besteht darin, dass Autoren dasselbe Symbol verwenden, normalerweise nur$t$, um diese beiden Größen darzustellen! Während$t$ist gut für eine Uhranzeige, ein besseres Symbol für die Dauer ist$\Delta t$.

Ich mache den Autoren von Physiklehrbüchern, insbesondere von einführenden Lehrbüchern, Vorwürfe, dass sie diese Verschleierung und die daraus resultierende Verwirrung bei den Schülern aufrechterhalten.

Wie auch immer, es gibt in der Physik kaum einen Fall (ich kann mir keinen vorstellen, während ich dies schreibe), in dem wir eine Uhranzeige in eine kinematische oder dynamische Gleichung einsetzen müssen. In jedem Fall, an den ich denken kann, haben wir es wirklich mit Dauer zu tun$\Delta t$, und dafür gibt es zwei Gründe. Der erste ist, dass die Zahlen auf einer Uhr, obwohl sie astronomischen Ursprungs sind, ansonsten völlig willkürlich sind und daher keine inhärente physikalische Bedeutung haben. Zweitens hat der Unterschied zwischen zwei Uhrenanzeigen tatsächlich eine große physikalische Bedeutung. Letzteres, die Dauer, erscheint in den Definitionen von Geschwindigkeit, Beschleunigung und jeder anderen physikalischen Größe, die „Zeit“ beinhaltet (beachten Sie die Anführungszeichen).

Um Ihre Frage zur Bedeutung der Beschleunigung konkret zu beantworten, bedenken Sie, dass die korrekte Artikulation der Definition der durchschnittlichen Beschleunigung die Änderung der Geschwindigkeit eines Objekts im Vergleich zur Dauer ist, während der diese Geschwindigkeitsänderung auftritt . Das ist physikalisch viel genauer als die schlampige und allzu einfache Entfernung über die Zeit . Ich achte immer darauf, dass meine Schüler die richtigere Definition lernen; es verhindert so viele Fehler.

Betrachten Sie als Nächstes die Einheit für die Beschleunigung. Es muss die Einheit der Geschwindigkeit sein ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) im Vergleich zur Einheit der Dauer ($\mathrm{s}$). Dies kann korrekterweise als die stumpfe (und fast ohne physikalische Bedeutung) Kombination geschrieben werden$\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$aber dies verbirgt die Bedeutung, die durch die oben gegebene bessere Definition so klar artikuliert wird. Schreiben Sie also die Einheit der Beschleunigung als$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}$und lies es von unten nach oben. Eine Beschleunigung von, sagen wir,$3\;\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{s}}$würde so gelesen und interpretiert werden

„Für jede Sekunde der Dauer ändert sich die Geschwindigkeit des Objekts um$3\;\mathrm{m}/\mathrm{s}$."

Denken Sie daran, dass die Beschleunigung eine Vektorgröße ist, sodass es im Allgemeinen sowohl eine Änderung der Größe als auch eine Änderung der Richtung geben kann. Jede solche willkürliche Änderung kann in eine Änderung, die parallel (oder antiparallel) zur ursprünglichen Beschleunigung ist, und eine Änderung, die senkrecht zur ursprünglichen Beschleunigung ist, zerlegt werden. Mein Punkt ist, dass wir auch eine Richtung zitieren sollten, aber das habe ich hier nicht getan.

Ihr Standpunkt zur Bedeutung der Quadratzeit ist eine großartige Frage, die von mehr Schülern angesprochen werden sollte. Zeit zum Quadrat bedeutet nichts. Die Dauer im Quadrat hingegen ist physikalisch bedeutungsvoll und bildet die Grundlage unseres physikalischen Verständnisses von Bewegung.

Sie sprechen ein weiteres Problem an, und das ist der Begriff Distanz . Es wurde auch etwas missbraucht, aber ich hebe mir das für ein anderes Mal auf, falls jemand danach fragt.

Ich wünschte wirklich, die Community würde Lehrbuchautoren für diesen schwerwiegenden Missbrauch von Terminologie und Notation zur Rechenschaft ziehen.

Dies mathematisch zu betrachten, ist eine Möglichkeit, dies zu tun, aber Sie können es auch auf intuitivere Weise betrachten.

Wie Sie richtig darauf hingewiesen haben, ist die Geschwindigkeit von etwas ($v$) ist die zurückgelegte Strecke ($s$) dividiert durch die benötigte Zeit ($t$).

Beschleunigung ist definiert als wie schnell sich Ihre Geschwindigkeit ändert . In Bezug auf Einheiten würden Sie also fragen, wie viele Meter pro Sekunde ($m$/$s$) gewinnen Sie jede Sekunde ($s$), oder$m/s/s$(Meter pro Sekunde, pro Sekunde), was mathematisch äquivalent ist zu$m/s^2$.

Sie müssen nicht wirklich die Zeit quadrieren, um die Beschleunigung zu finden, Sie müssen nur herausfinden, wie sich Ihre Geschwindigkeit mit der Zeit ändert.

Die intuitivste Art, die Beschleunigung zu verstehen, besteht darin, sie in Form von Taylor-Reihenentwicklungen zu verstehen

Eine gute Einstiegsdiskussion darüber, wie man die Erweiterung der Taylor-Reihe auf die Frage der Positions-Geschwindigkeits-Beschleunigung anwendet, findet sich in diesem kurzen Artikel von dieser Website, die SA Fulling zugeschrieben wird .

Wenn wir den Satz von Taylor überprüfen, beginnen wir mit der Auswertung der Reihe mit$u=0$, Wolfram zeigt die Erweiterung als:

Wenn Sie sich die ersten drei Begriffe ansehen, sollten Sie die Ähnlichkeit erkennen zu:

Betrachten Sie nun zunächst die Erweiterung der$\frac{1}{n!}$inverse Fakultätsterme.

Betrachten Sie dann die Summe nur der Terme nach dem$\dfrac{1}{2}$Begriff:

Die Summe aller inversen Fakultätsterme danach$\frac{1}{2!}$ist nur$0.218282\dots$das ist deutlich weniger als$\frac{1}{2}$, also es sei denn, die Ableitungen höherer Ordnung von$f^{n}(u)$Wenn$u=0$erheblich sind, dann wird der Gesamteffekt der Ableitungen höherer Ordnung niemals größer sein als der erste nichtlineare Faktor$t^2$.

Um auf die Taylorentwicklung zurückzukommen, das Ziel ist natürlich die Bestimmung der Werte von$x_0$,$v_0$,$a_0$. Diese sind häufig gegeben oder können durch Beobachtung bestimmt werden, sind aber in jedem Fall als durch Integration erhaltene Konstanten zu verstehen. Wie in der obigen Übung erklärt , würde man beispielsweise damit beginnen, eine beliebige Konstante für die dritte Ableitung einer Funktion zu integrieren, wobei man annimmt, dass das reale Integral kleiner ist als das Integral einer beliebigen Konstante:

Wenn wir diese Integrale für aufeinanderfolgende Ableitungen durchführen, können wir schließlich die Form der Gleichung finden,

Gemäß der Übung zeigt dies, dass der Graph von$f(t)-x_0 + v_0t + \frac{1}{2}a_0t^2$wird zwischen zwei Kurven liegen$\pm \frac{1}{6}M|t|^3$die sollten sehr eng beieinander liegen$t=0$.

Seit$M = f'''(0)$, Wenn

Wenn außerdem gezeigt wird, dass die Ableitungsentwicklung Terme höherer Ordnung hat, die sich aufheben oder ausreichend unterdrückt werden, dann können die Terme höherer Ordnung ignoriert werden.

Allerdings sind die spezifischen Werte der$x_0$,$v_0$,$a_0$nicht bekannt, es sei denn, Integrationsbereiche und Randbedingungen sind angegeben.

In jedem Fall kann man die Positionsvariable in Bezug auf die Zeit weiter entwickeln und feststellen, dass "Ruck" die dritte Potenz oder Zeit und "Jounce" (oder "Snap") die vierte Potenz in der Erweiterung ist . Diese Beiträge höherer Ordnung und alle anderen Beiträge höherer Ordnung haben einen abnehmenden Beitrag zur Gesamtgleichung, der dem zuzuschreiben ist$n!$ Fakultätsterm im Nenner der Summation. Dies ist eine gute Analogie zum Verständnis des Konzepts der Kopplungskonstante und wie die Kopplung abnehmen kann, wenn man perturbativ um eine Lösung einer Gleichung (z. B. einer Funktion) expandiert.

Die Beschleunigung ist also der erste nichtlineare Term in der Erweiterung der Funktion, die den Ort auf die Zeit bezieht. Da Terme höherer Ordnung mit Sicherheit nicht mehr als der erste nichtlineare Term (Beschleunigung) beitragen$f(t)$, können ihre Auswirkungen in den meisten Fällen ignoriert werden (obwohl in einigen Situationen, wie z. B. bei der Konstruktion von Aufzügen, Ruck zu berücksichtigen ist, und wenn man in die Konstruktion von Raumfahrzeugen einsteigt, müssen auch die Ableitungen höherer Ordnung berücksichtigt werden).

Es ist darauf hinzuweisen, dass$f(t)$hat Ortseinheiten (z. B. m = Meter), da die Taylor-Entwicklung für die ist$t$Variable und die$t$Variable in jedem aufeinanderfolgenden Term auf eine höhere Ordnung angehoben wird, muss die Konstante Einheiten tragen, die die Zeiteinheiten für jeden Term aufheben. Seit$a_0$wird assoziiert mit$t^2$, es muss Einheiten von tragen$\frac{m}{s^2}$um das zu gewährleisten$f(t)$ist in Einheiten von$m$.

es ist nichts anderes als die Änderungsrate der Geschwindigkeit mit der Zeit. Sie müssen die Zeit nicht quadrieren. Angenommen, ein Körper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit, was bedeutet, dass er in einer bestimmten Zeit immer die gleiche Strecke zurücklegt. Dann ist die Geschwindigkeit konstant, also ist die Beschleunigung Null.

Die aktuellen Antworten haben bereits alle Aspekte ziemlich gut abgedeckt, aber vielleicht können die folgenden Formulierungen und Beispiele noch etwas beitragen.

Geschwindigkeit ist, wie stark sich die Position eines Objekts pro Zeiteinheit ändert (diese Einheit können Sie frei wählen). Die Beschleunigung verhält sich dann zur Geschwindigkeit wie die Geschwindigkeit zur Position: Sie gibt an, um wie viel sich die Geschwindigkeit eines Objekts pro Zeiteinheit ändert (wiederum frei wählbar, aber konsistent).

Stellen Sie sich zum Beispiel ein Objekt vor, das sich von Punkt A nach Punkt B bewegt, wobei beide 5 Meter voneinander entfernt sind (wie der Adler fliegt). Wenn das Objekt 5 Sekunden braucht, um von A nach B zu gelangen, dann war seine Durchschnittsgeschwindigkeit 5 Meter pro 5 Sekunden (und diese Durchschnittsgeschwindigkeit zeigt in die Richtung von$\mathbf{AB}$. Oder wenn Sie 1 Sekunde als Zeiteinheit verwenden möchten : 1 Meter pro 1 Sekunde ($1\,\mathrm{m/s}$). Dies ist eine häufig verwendete Zeiteinheit. Aber wenn Sie möchten, können Sie auch 1 Tag verwenden. Dann wird in diesem Beispiel die Durchschnittsgeschwindigkeit$86400\,\mathrm{m/day}$. Sie könnten sogar etwas Ungewöhnliches wie 5 Minuten und 23 Sekunden als Zeiteinheit verwenden und es a nennen$\mathrm{Mia}$. Dann gibt das Beispiel$323\,\mathrm{m/Mia}$.

Wie auch immer, wenn wir jetzt wissen, dass sich das Objekt nicht immer mit einer Geschwindigkeit von bewegt hat$323\,\mathrm{m/Mia}$(was war$1\,\mathrm{m/s}$Denken Sie daran), möchten wir vielleicht wissen, wie das Geschwindigkeitsprofil im Laufe der Zeit aussah. Wie hat sich die Geschwindigkeit pro Zeiteinheit verändert? (sowohl in Richtung als auch in Größe) Nehmen wir an, wir kennen nur die Geschwindigkeit am Anfang (in A, z$0\,\mathrm{m/s}$) und am Ende (in B, z$2\,\mathrm{m/s}$) und dass sich die Richtung (der Einfachheit halber) nicht geändert hat. Dann wissen wir, dass die (durchschnittliche) Geschwindigkeitsänderung ist$2\,\mathrm{m/s}$. Wir wissen auch bereits, dass das Objekt 5 Sekunden brauchte, um von A nach B zu gelangen, also beträgt die durchschnittliche Beschleunigung [2 Meter pro Sekunde] pro 5 Sekunden. Oder mathematisch:

Sie können es auch so betrachten: Definieren Sie eine neue Einheit der Geschwindigkeit (wie die$\mathrm{Mia}$für die Zeit) und nenne es die$\mathrm{Wouter}$, gleich$1\,\mathrm{m/s}$. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeitsänderung$2\,\mathrm{Wouter}$und die durchschnittliche Beschleunigung ist$2\,\mathrm{Wouter}$pro$5\,\mathrm{seconds}$oder, wenn wir verwenden$1\,\mathrm{s}$als Zeiteinheit:$0.4\,\mathrm{Wouter}$pro$1\,\mathrm{second}$. Wir konnten jetzt ausrechnen, wie viele$\mathrm{Wouter}$pro$\mathrm{Mia}$dies entspricht, aber lassen Sie uns nicht.

Sie haben nach der Herleitung oder dem Beweis für die Beschleunigungsformel gefragt. Eine Sache, die Sie über die Beobachtung der physischen Realität da draußen verstehen müssen, ist, dass Sie nicht bei Null anfangen können. Es ist einfach nicht möglich. Phänomene in der Natur müssen in ein plausibles, verständliches und sehr greifbares Konzept umgewandelt werden. Daher sind grundlegende Konzepte in der Physik wie Bewegung: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Geschwindigkeit alle DEFINIERT. Das zweite, was Sie verstehen müssen, ist, wie diese Konzepte miteinander zusammenhängen. Wenn Sie die Bewegung eines Teilchens beobachten, werden Sie feststellen, dass es in einem bestimmten Zeitintervall eine bestimmte Strecke zurücklegt. Daher verstehen Sie, dass die zurückgelegte Strecke proportional zur Zeit ist, während der die Bewegung stattfindet. Daraus können Sie schließen, dass eine bestimmte Konstante oder Größe, die in der Natur nicht direkt beobachtbar ist, definiert werden kann, um die Art der beschriebenen Bewegung besser zu verstehen. Daraus wurde der Begriff der Geschwindigkeit geboren, der sich als das Verhältnis der Positionsänderung eines Objekts zur Änderung der Zeit definierte, die für die vorzunehmende Positionsänderung benötigt wird. Aber wenn Sie die Bewegung von Objekten weiter beobachten, werden Sie feststellen, dass nicht einmal die Geschwindigkeit konstant bleibt. Wenn Sie einen Blick auf Ihren Tacho werfen, wenn Sie ' Wenn Sie ein Fahrzeug fahren, werden Sie sicherlich feststellen, dass die Geschwindigkeit, mit der Sie unterwegs sind, nicht konstant bleibt. Es schwankt je nachdem, wie viel Sie darauf treten. Also führten die Physiker ein anderes Konzept ein, das versuchte, die Änderung der Geschwindigkeit selbst zu definieren. Durch die Beobachtung von sich ändernden Geschwindigkeiten erkannten die Physiker, dass Objekte, die ihre Geschwindigkeit ändern, in gleichen Zeitintervallen unterschiedliche Entfernungen zurücklegen können. So wurde das Konzept der Beschleunigung geboren, das Durch die Beobachtung von sich ändernden Geschwindigkeiten erkannten die Physiker, dass Objekte, die ihre Geschwindigkeit ändern, in gleichen Zeitintervallen unterschiedliche Entfernungen zurücklegen können. So wurde das Konzept der Beschleunigung geboren, das Durch die Beobachtung von sich ändernden Geschwindigkeiten erkannten die Physiker, dass Objekte, die ihre Geschwindigkeit ändern, in gleichen Zeitintervallen unterschiedliche Entfernungen zurücklegen können. So wurde das Konzept der Beschleunigung geboren, dasDEFINIERTE die Änderungsrate der Geschwindigkeit selbst. Wenn Sie diese Konzepte besser verstehen wollen, ist es immer ratsam, einige Bücher über klassische Mechanik zu kaufen und sich insbesondere mit Bewegungsgraphen zu befassen. Vergleichen Sie die Graphen der Bewegung eines Objekts in Bezug auf die Zeit, der Geschwindigkeit desselben Objekts in Bezug auf die Zeit und der Beschleunigung desselben Objekts in Bezug auf die Zeit. Entspannen Sie sich, lassen Sie die Konzepte auf sich wirken, denken Sie darüber nach, und Physik wird zur einfachsten Sache der Welt. So soll es sein, schließlich beschreibt es eine Welt, in der Sie selbst jahrelang gelebt, erlebt und verstanden haben.

Die Quadratur der Zeit macht keinen Sinn, stimmt. Dahinter steckt keine Magie.

Wenn sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, dann ist die zurückgelegte Strecke$S=v t$, für verschiedene Trajektorien haben wir unterschiedliche$v$Nach einiger Zeit der Untersuchung finden wir also heraus, dass wir den Raum über die Zeit teilen müssen, um die Geschwindigkeit (als PARAMETER) der Bewegung zu erhalten.

Dann kommt unser Freund und sagt uns, dass er wo Bewegungen beobachtet hat$S=a t^2$, also ist der zurückgelegte Raum proportional zum Quadrat der Zeit (als Parameter), dann haben wir uns Gedanken gemacht und beschlossen, diesen neuen Bewegungsparameter herauszufinden$a$auf die gleiche Weise wie zuvor, indem Sie einfach den Raum durch die Zeit teilen, aber in diesem Fall durch die Zeit im Quadrat.

Stellen Sie sich vor, Sie kennen die Dimensionen von Geschwindigkeit und Beschleunigung nicht, aber Sie haben gerade 2 verschiedene Bewegungsarten beobachtet - linear und parabolisch. Raum hat nichts mit Zeit zu tun, um daraus einen dimensionalen Sinn zu machen$S=a t^2$Sie müssen etwas erfinden.