Geschwindigkeit eines schwimmenden Objekts unter Wasser [geschlossen]

Ich habe versucht, eine Gleichung für die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Objekts zu finden, das aus einer bestimmten Wassertiefe nach oben schwimmt. Aber die Gleichung ergibt beim Schwimmen immer eine imaginäre Lösung, bei der das Gewicht ( M ⋅ G ) ist kleiner als das Gewicht des verdrängten Wasservolumens ( v ⋅ ρ ⋅ G ). Ich würde fragen, ob jemand eine bessere Lösung kennt oder ob mit meiner Gleichung etwas nicht stimmt?

Das Folgende ist eine Erklärung der Schritte, die ich getan habe:

M = Masse des Objekts

v = Volumen des Objekts

G = Schwerkraftbeschleunigung

C D = Luftwiderstandsbeiwert

ρ = Dichte von Wasser

F = F B − F G − F D

M ⋅ A = v ⋅ ρ ⋅ G − M ⋅ G − ρ ⋅ C D ⋅ A ⋅ v 2 2

D v D T = ( v ⋅ ρ − M ) G M − ρ ⋅ C D ⋅ A ⋅ v 2 2 ⋅ M

Durch Lösen dieser Differentialgleichung mit Mathematica erhält man den Wert der Geschwindigkeit (v) wie folgt:

DE= v'[t]-(((V*p-m)*g)/m)+(p*A*Cd*(v[t]^2)/(2*m));

sol=DSolve[{DE==0,v'[0]==(((V*p-m)*g)/m)},v[t],t];

v=v[t]/.sol[[1]];

die Geschwindigkeit ( v ) und Beschleunigung ( A ) Gleichungen sind:

v = − 2 ( M − v ⋅ ρ ) G A ⋅ C D ⋅ ρ ⋅ bräunen ⁡ ( A ⋅ C D ⋅ G ⋅ ρ ⋅ ( M − v ⋅ ρ ) 2 ( T M ) )

A = ( v ⋅ ρ − M ) G M − ( M − v ⋅ ρ ) G M ⋅ bräunen 2 ⁡ ( A ⋅ C D ⋅ G ⋅ ρ ⋅ ( M − v ⋅ ρ ) 2 ( T M ) )

"Aber die Gleichung gibt immer eine imaginäre Lösung" Ich sehe keine. Das Problem hat eine echte Lösung.
Ich habe mir Ihre Arbeit noch nicht angesehen, aber ist die Ausgangstiefe so, dass die Dichte des Wassers von dort bis zur Oberfläche als konstant angesehen werden kann?
Hallo OP! Wenn Sie versuchen könnten, Ihre Frage ein wenig aufzuräumen (siehe zum Beispiel den MathJax-Leitfaden hier - math.meta.stackexchange.com/questions/5020/… ), werden Sie möglicherweise feststellen, dass es den Benutzern von PSE leichter fällt, Ihre Frage zu lesen , und Sie erhalten bessere und hochwertigere Antworten!
Es könnte nützlich sein, die Endgeschwindigkeit zu berechnen .
@Gert Wenn ich davon ausgegangen wäre, dass das Objekt eine leere Box ist. so dass sein Gewicht (m g) kleiner ist als die Auftriebskraft (V Wasserdichte g). Der Term sqrt(mV p) in den Geschwindigkeits- und Beschleunigungsgleichungen ergibt immer eine imaginäre Lösung.
@ MC2k danke, ich habe es bearbeitet!

Antworten (2)

Die Beschleunigung ändert das Vorzeichen, je nachdem, ob das Objekt schwerer oder leichter als Wasser ist, also müssen Sie auch das Vorzeichen unter der Quadratwurzel für die Geschwindigkeit ändern (damit das Argument immer positiv ist). Vielleicht möchten Sie meine Webseite https://www.physicsmyths.org.uk/buoyancy.htm für eine vollständige Ableitung und Erklärung einschließlich Diagrammen für einige Beispielfälle besuchen . Ich zitiere das Endergebnis für die Geschwindigkeit von dort

v ( T ) = v T ⋅ T A N H ( G ⋅ ( M − M D ) ⋅ T v T ⋅ ( M + M D ) )

mit der Endgeschwindigkeit

v T = 2 ⋅ | M − M D | ⋅ G ρ ⋅ C D ⋅ A

Wo

M D = ρ ⋅ v

ist die verdrängte Masse.

Beachten Sie, dass im Gegensatz zu dem von Ihnen zitierten Ergebnis das Argument der T A N H Funktion (Sie haben tatsächlich geschrieben T A N versehentlich) hat M + M D im Nenner nicht M . Denn die Schwerkraft muss nicht nur die Masse beschleunigen M sondern auch die verdrängte Masse M D (In die andere Richtung). Andernfalls hätte ein schwimmfähiges Objekt ohne Masse eine unendliche Beschleunigung, was nicht möglich ist (die maximale Beschleunigung, die ein schwimmfähiges Objekt erreichen kann, ist tatsächlich die Beschleunigung des freien Falls G .)

Ich habe die resultierende Geschwindigkeit als Funktion der Zeit aufgetragen für den Fall eines schwimmfähigen Objekts im Gravitationsfeld der Erde ( G = 981 C M / S e C 2 mit Querschnitt von A = 1 C M 2 , Masse M = 0,5 G , Dichte des Mediums ρ = 1 G / C M 3 (Wasser) das ist M D = 1 G , und einen Luftwiderstandsbeiwert C D = 0,47 (Kugel).

Geschwindigkeit eines schwimmenden Objekts

Die rote Kurve steht für die übliche (falsche) Theorie, die die Masse vernachlässigt M D der verdrängten Flüssigkeit im Nenner der T A N H obige Funktion berücksichtigt die blaue Kurve die verdrängte Flüssigkeitsmasse entsprechend korrekt. Während die Endgeschwindigkeit v T in beiden Fällen identisch ist, ist die Zeit, die benötigt wird, um diese Geschwindigkeit zu erreichen, wesentlich unterschiedlich.

DANKE MEIN HERR!!
Ich habe Ihre Webseite gelesen und sie ist wirklich hilfreich. Ich sehe aus den Gleichungen (8) bis (10), dass die Geschwindigkeitsgleichung aus dem Fall Fg>Fb abgeleitet werden sollte, dann muss das Vorzeichen des Arguments unter der Quadratwurzel geändert werden, wenn das Objekt dichter als das Medium ist (m> md). Es ist, als könnten wir den Absolutwert von (m-md) nehmen, um die Größe der Geschwindigkeit (v) zu erhalten.
@Abdulsalam_Musaad Ja, das ist richtig. Sie können den absoluten Wert nehmen, aber nur unter der ersten Quadratwurzel, die die Endgeschwindigkeit ist (dies ist nur ein Skalar).
v T = 2 ⋅ | M − M D | ⋅ G ρ ⋅ C D ⋅ A
nicht im Ausdruck für die tatsächliche Geschwindigkeit
v ( T ) = v T ⋅ T A N H ( G ⋅ ( M − M D ) ⋅ T v T ⋅ ( M + M D ) )
Beachten Sie, dass es tatsächlich so ist T A N H nicht T A N in der zweiten Gleichung und der Nenner im Argument sein sollte M + M D nicht M (wie auf meiner Webseite physicalmyths.org.uk/buoyancy.htm erklärt )
@Abdulsalam_Musaad Entschuldigung, ich habe mich oben vertippt. Das sollte sein M D auch in der zweiten Gleichung nicht M D

Du hast die Differentialgleichung richtig aufgestellt. (Abgesehen davon, dass ich all Ihre Logik und Gleichungen wiederhole, weiß ich nicht, wie ich Ihnen den Glauben geben soll, dass ich mir Ihre Arbeit angesehen habe und weiß, dass sie korrekt ist. Mit nur zwei Vorbehalten wie unten bestätigt dies Sie bis zum Punkt der Mathematik. Ich weiß es nicht Erweitern Sie meine Antwort dort.)

Sie müssen die variable Dichte des Wassers nicht berücksichtigen. Wasser ist ziemlich inkompressibel und variiert in der Dichte nicht über vernachlässigbare Mengen hinaus, was nicht der Fall wäre, wenn dies in Luft geschehen würde. Die einzige andere Sache, vor der ich warnen möchte, ist, dass sich der Luftwiderstand mit der Geschwindigkeit ändern kann; Ich meine, der Begriff selbst kann sich aufgrund eines sich ändernden Koeffizienten oder sogar einer sich ändernden funktionellen Form in verschiedenen Strömungsregimen ändern (offensichtlich hängt die Höhe des Luftwiderstands vom Wert der Geschwindigkeit ab v , worauf ich nicht hinaus will). Wenn dies eine sehr geringe Tiefe und niedrige Geschwindigkeiten ist, könnte die Annahme der turbulenten Luftwiderstandsform von quadratisch es erheblich übertreiben. Haben Sie sich Moodys Relative-Roughness-Chart angesehen oder wie finden Sie es? C D ?

Danke für deine Antwort. Eigentlich bin ich über dieses Thema "schleppen" nicht gut informiert. Können Sie mir bitte gute Referenzen zu dem Thema nennen? So konnte ich mehr lesen.
Geschwindigkeit eines schwimmenden Objekts unter Wasser [geschlossen]
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