Können wir Beugung beobachten, selbst wenn die Spaltgröße gegen Null geht?

Eigentlich gibt es immer Beugung durch einen Schlitz, theoretisch egal wie dünn: Es ist einfach so, dass das Eindringen von Licht durch einen weniger als eine Wellenlänge breiten Schlitz fantastisch ineffizient wird, wenn die Schlitzbreite schmaler wird. Wie in fffreds Antwort kann man dies als Statistikproblem betrachten. Die Antwort von fffred hebt auch eine hervorragende praktische Grenze hervor, die sich ergibt, weil der Bildschirm aus Atomen besteht, deren Elektronen eine sehr kleine Lücke "stopfen". Ich werde also den theoretischen Fall untersuchen , in dem der Bildschirm ein theoretisches Kontinuum ist, und zeigen, dass es ohne die in fffreds Antwort genannte Grenze immer welche geben wirdBeugung an einem beliebig engen Spalt. Das Feld hinter dem Schlitz hat zwei Komponenten: ( i ) eine Strahlungskomponente, die sich ausbreitende ebene Wellen umfasst, und ( ii ) ein evaneszentes Feld, das sich nicht ausbreitet, dessen Amplitude jedoch exponentiell mit dem Abstand vom Schirm abnimmt. Wenn sich der Schlitz verengt, wird der Charakter des Feldes überwältigend der des evaneszenten ersteren, aber es gibt immer ein winziges bisschen Strahlung. Das Problem , über das Sie nachdenken , ist sehr eng mit der Idee des Quantentunnelns verwandt .

Bevor ich zu theoretisch werde, gibt es einen praktischen Weg, dies in Bezug auf alltäglichere Dinge zu verstehen. Wenn ein beliebig kleiner Spalt überhaupt nicht strahlen würde, gäbe es für ein Fluorophor (ein angeregtes Atom) keine Möglichkeit zu strahlen. Fluorophore sind Bruchteile von Nanometern breit, ungefähr ein Tausendstel einer Wellenlänge, und dennoch haben sie einen von Null verschiedenen Kopplungskoeffizienten mit dem elektromagnetischen Strahlungsfeld freier Photonen. Man kann sie sich genau wie elektrische Dipolantennen vorstellen (dieses Bild gilt übrigens noch immer in der Beschreibung des physikalischen Systems in Bezug auf Photonen, siehe meine Antwort hierfür weitere Informationen): Ihr jetzt schnell antikes AM-Tischradio interagiert perfekt mit dem elektromagnetischen Feld, auch wenn es einige Zentimeter breit sein kann, wenn es sich auf ein AM-Signal mit einer Wellenlänge von hundert Metern einstellt. Und es strahlt auch, wenn es empfängt, deshalb kann der Fernsehdetektor Sie erreichen, wenn Sie in Großbritannien leben und ein Radio oder Fernsehen ohne Lizenz betreiben. Darüber hinaus gibt es AM-Band-Transceiver, die perfekt funktionieren, obwohl die Antenne des Senders ein Tausendstel einer Wellenlänge sein könnte. Betrachten Sie den Strahlungswiderstand des Dipols als Funktion der Antennenlänge$\ell$: es ist proportional zu$\ell^2/\lambda^2$, also ist bei gegebenem Antennenstrom die abgestrahlte Leistung proportional zu$\ell^4/\lambda^4$(Dies hängt mit der Rayleigh-Streuungsformel zusammen ) und daher strahlen kleine Antennen, wie schmale Schlitze, im Verhältnis zu der Energie, die in ihren evaneszenten, sogenannten "nahen" Feldern gespeichert ist, sehr wenig Leistung aus.

Betrachten wir dies zunächst durch die Skalartheorie, dh die Theorie eines Skalarfeldes, das die Helmholtz-Gleichung erfüllt$(\nabla^2 + k^2)\psi = 0$ebenso wie alle sechs kartesischen Komponenten des elektromagnetischen Feldes$(\vec{E},\,\vec{B})$ebenso wie die vier kartesischen Komponenten des Lorentz-geeichten potentiellen Vierervektors$(\vec{A},\,\phi)$, wenn das Feld monochromatisch ist. Wie ich in mehreren anderen meiner Antworten (siehe hier , hier und hier ) den Algorithmus zur Berechnung des Skalarfelds auf einer beliebigen Querebene (der Form$z=const$) jenseits des Schlitzes in Bezug auf die Ebene des Schlitzes ($z=0$) ist (hier nehmen wir an, dass die ebenen Wellen nur positiv sind$k_z>0$Wellenvektor$x$-Komponenten, so dass sie von links nach rechts verlaufen, wie sie es sein würden, wenn ein Laserstrahl von einem sehr kleinen Schlitz abgeschirmt wird:

$$\begin{array}{lcl}\psi(x,y,z) &=& \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} \left[\exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right) \exp\left(i \sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2} z\right)\,\Psi(k_x,k_y)\right]{\rm d} k_x {\rm d} k_y\\ \Psi(k_x,k_y)&=&\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\left(-i \left(k_x u + k_y v\right)\right)\,\psi(x,y,0)\,{\rm d} u\, {\rm d} v\end{array}$$

Um dies zu verstehen, lassen Sie uns die algorithmischen Schritte, die in diesen beiden Gleichungen codiert sind, sorgfältig in Worte fassen:

1. Nehmen Sie die Fourier-Transformation des Skalarfelds über eine transversale Ebene, um es als Überlagerung von Skalarebenenwellen auszudrücken$\psi_{k_x,k_y}(x,y,0) = \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right)$mit Überlagerungsgewichten$\Psi(k_x,k_y)$;
2. Beachten Sie, dass sich ebene Wellen im ausbreiten$+z$Richtung, die die Helmholtz-Gleichung erfüllt, variieren als$\psi_{k_x,k_y}(x,y,z) = \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right) \exp\left(i \sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2} z\right)$;
3. Propagieren Sie jede solche ebene Welle von der$z=0$Flugzeug zum General$z$Ebene unter Verwendung der in Schritt 2 notierten Lösung für ebene Wellen;
4. Inverse Fourier-Transformation der fortgepflanzten Wellen, um das Feld am allgemeinen wieder zusammenzusetzen$z$Ebene.

Hier ist also die vollständige Beschreibung der Beugung von einer Querebene zur anderen. Um Ihren Schlitz zu analysieren, würden Sie setzen$\psi(x,y,0) = 1$im Schlitz und$0$außerhalb und setzen Sie diese Funktion dann in den obigen Algorithmus ein.

Wenn Ihr Spalt sehr eng ist - ein kleiner Bruchteil einer Wellenlänge, die Fourier-Transformation$\Psi(k_x,\,k_y)$:

$$\Psi(k_x,\,k_y) = \frac{\sin(k_x\,W_x) \sin(k_y W_y)}{2\,\pi\,k_x\,k_y}$$

Wo$W_x,\,W_y \ll \lambda$sind die$x$- Und$y$-Richtung Schlitzbreiten (wenn wir ein rechteckiges Loch haben) hat den größten Teil seines Spektrums in Ortsfrequenzbereichen, wo$k_x,\,k_y > k$. Dies sind abklingende Wellen: ihre$z$Wellenzahlen sind$k_z = \sqrt{k^2-k_x^2-k_y^2} = i\, \sqrt{k_x^2+k_y^2-k^2}$so dass die ebenen Wellen wie variieren$\exp(-z\,\sqrt{k_x^2+k_y^2-k^2})$, so dass sie mit zunehmender Intensität extrem schnell gedämpft werden$z$. Also, wenn wir die Fourier-Transformation einsetzen$\Psi(k_x,\,k_y)$in den obigen Algorithmus für$z>0$, werden die evaneszenten Komponenten in effektiv auf Null gesetzt$\exp\left(i \left(k-\sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2}\right) z\right)\,\Psi(k_x,k_y)$Begriff. So bleibt im Fernfeld:

$$\begin{array}{lcl}\psi(x,y,z) &=& \frac{\Psi(0,0)}{2\pi}\int_{\mathbb{D}} \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right) \exp\left(i \sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2} z\right){\rm d} k_x {\rm d} k_y \\ &=& \frac{A}{4\pi^2}\int_{\mathbb{D}} \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right) \exp\left(i \sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2} z\right){\rm d} k_x {\rm d} k_y\end{array}$$

Wo

$$\mathbb{D} = \left\{(k_x,\,k_y):\,k_x^2 + k_y^2\leq k^2\right\}$$

Und$A$ist die Fläche des Schlitzlochs. Wir können das Feld von jedem Schlitzloch als lineare Überlagerung von rechteckigen Löchern finden, also gilt die letzte Form der Gleichung für jedes Schlitzloch. Wir vereinfachen den Ausdruck weiter, indem wir die transversalen Wellenvektorkomponenten in polare Form umwandeln:

$$\begin{array}{lcl}\psi(x,y,z) &=& \frac{A}{2\pi} \int\limits_0^k\,u\,J_0(r\,u) \exp(i\,\sqrt{k^2-u^2} z)\,{\rm d} u \\&=& \frac{A}{2\pi} \int\limits_0^k\,u\,J_0(r\,\sqrt{k^2-u^2}) \,e^{i\,u\,z}\,{\rm d} u\end{array}$$

Wo$r = \sqrt{x^2+y^2}$. Dies ist ein schwer zu fassendes Integral: Es hat keine geschlossene Form und beides$J_0(u\,r)$Und$\exp(i\,\sqrt{k^2-u^2} z)$sind stark oszillierend, wenn$r$Und$z$sind viele Wellenlängen. Aber es ist ganz entschieden ungleich Null: Beachten Sie, dass die übertragene Leistung variiert wie$A^2$, also mit der vierten Potenz der Spaltbreite. Wir sehen also wieder die funktionale Abhängigkeit der Rayleigh-Streuung und der Fernfeld-Dipolantenne.

Die Übertragung des Strahlungsbeugungsfeldes ist nicht nur ineffizient, das Feld muss auch durch ein Loch mit beträchtlicher axialer Länge (der Dicke des Schirms), aber mit einer Breite von viel weniger als einer Wellenlänge tunneln . Ein rundes Loch unterstützt Modi der Form:

$$e^{-\sqrt{\frac{\omega_{\nu,j} ^2}{R^2}-k^2} z} J_\nu\left(\omega_{\nu\,j} \frac{r}{R}\right)\cos(\nu\theta + \delta)$$

Wo$\omega_{\nu,j}$ist der$j^{th}$Null der$\nu^{th}$Ordnung, Bessel-Funktion erster Art. Diese sind stark evaneszent und ihre Amplitude nimmt exponentiell mit der Siebdicke ab.

Die Vektortheorie ist komplizierter, aber wie die obige im Geschmack. Der einzige Unterschied besteht darin, dass eine Welle vom Eingang zum Schlitz reflektiert wird, um den Randbedingungen zu entsprechen.

Angenommen, der Fluss des einfallenden Lichts ist eine gegebene Konstante. Wenn der Schlitz zu klein ist, werden nur sehr wenige Photonen jemals das Glück haben, auf die Öffnung zu treffen. Es ist ein statistisches Problem: Es gibt 0 Chancen, dass jedes Photon einen unendlich kleinen Schlitz passieren kann.

Bevor Sie zu einem unendlich kleinen Schlitz kommen, gibt es eine weitere Grenze. Wenn die Spaltbreite ähnlich dem interatomaren Abstand ist (ungefähr ein Nanometer), dann können einige Elektronen des Materials von einer Seite des Spalts zur anderen Seite zirkulieren. Dieses 'Meer' von Elektronen kann die Lücke schließen, sodass kein Licht hindurchtreten kann.