Können wir ein Objekt mit nur einer Kraft sowohl in Translations- als auch in Rotationsbewegung versetzen?

Sie benötigen nur eine Kraft, die vom Massenmittelpunkt des Objekts ausgeht. Wie Sie wissen, erzeugt eine solche Kraft eine Drehbewegung, aber sie muss auch eine lineare Bewegung erzeugen. Sie liefern dem Objekt im Laufe der Zeit, in der Sie die Kraft anwenden, eine gewisse Menge an linearem Impuls (denn das ist es, was Kräfte tun ). Wenn keine andere Kraft auf das Objekt wirkt, die diesen Impuls wegnehmen kann, muss sich der Massenmittelpunkt bewegen.

Jede Nettokraft, die nicht direkt mit der COM eines Objekts übereinstimmt, das keine feste Achse hat, verursacht sowohl eine räumliche Verschiebung als auch eine Drehung des Objekts. Damit das Objekt nur eine Translation hat, muss die Kraft direkt mit dem COM übereinstimmen. Um nur das Objekt zu drehen, müssten gleiche und entgegengesetzte Kräfte auf gleich gegenüberliegende Seiten des COM ausgeübt werden, so dass ihre entgegengesetzten Richtungen die Translation aufheben, aber an entgegengesetzten Punkten wirken, um ein Drehmoment zu erzeugen.

Du kannst es trivial machen. Stellen Sie sich eine Punktmasse vor$m$bei$\vec r_0$. In Ruhe. Wenden Sie nun eine Kraft an$\vec F$für die Zeit$\Delta t$. Du kannst schrumpfen$\Delta t\rightarrow 0$und halte den Impuls fest:

Das Teilchen hat dann Impuls$\vec p$und Geschwindigkeit$\vec v$. Es hat auch eine Winkelgeschwindigkeit um den Ursprung erlangt:

aus dem Drehmoment:

Das ist trivial und vielleicht unbefriedigend. Der einfachste nicht-triviale Fall ist eine ideale Hantel: zwei gleiche Massen$m$, am Ende eines masselosen, starren Längenstabes$L$.

Platzieren Sie das am Ursprung entlang der$y$-Achse. Es hat ein Trägheitsmoment:

Wenden Sie nun den gleichen Impuls aus dem trivialen Beispiel auf die untere Masse an, mit$\vec F$entlang der$+x$-Achse. Parallel dazu erhalten Sie COM-Motion$x$, und Drehung parallel zu$z$.

Eine einzelne Kraft (oder ein einzelner Impuls) kann eine Drehung verursachen, aber nicht alle Drehungen sind möglich.

Im obigen Beispiel führt eine auf den Rand eines Pucks ausgeübte Kraft ein Kippmoment um den Massenschwerpunkt ein. Dieser Moment wird berechnet als

Wo$\times$ist das Vektorkreuzprodukt . Dieses Kippmoment ist für die Drehung des Objekts verantwortlich, da es den Drehimpuls des Objekts ändert, ebenso wie die Kraft den Translationsimpuls ändert.

Auf der rechten Abbildung erhält der Körper ein Translationsmoment$\boldsymbol{p}$(und entsprechende Geschwindigkeit$\boldsymbol{v}$des Massenschwerpunktes) und Drehimpuls$\boldsymbol{L}$(und entsprechende Rotationsgeschwindigkeit$\boldsymbol{\omega}$um den Schwerpunkt).

Aufgrund des Kreuzprodukts kann jedoch keine Komponente dieses Moments parallel zur aufgebrachten Kraft sein. Von den möglichen 3 Momentenrichtungen können also nur 2 als äquipolentes Moment einer Kraft realisiert werden.

Um die Bewegung eines Körpers mit einem einzigen Impuls vollständig vorzuschreiben, benötigt man nicht nur eine Kraft in einer einzigen Richtung, sondern auch ein parallel wirkendes Kräftepaar, das für eine Drehung um die Kraftachse sorgt.

Es gibt viele Argumente, die zeigen, dass Sie es können:

1. Erhaltung des linearen Impulses. Angenommen, Sie werfen einen Handschuh auf einen Puck. Wenn der Handschuh den Puck trifft, wird er langsamer und verliert linearen Schwung. Dieser Schwung muss zum Puck gehen.

2. Stellen Sie sich ein zweimotoriges Flugzeug vor. Offensichtlich können die beiden Motoren zusammen einen linearen Impuls übertragen, obwohl sie diese Kraft nicht durch den Massenmittelpunkt aufbringen. Wenn nicht jeder Motor für sich allein einen linearen Impuls übertragen würde, wie könnten die beiden dies zusammen tun?

3. Betrachten Sie ein Objekt als mehrere miteinander verbundene. Angenommen, Sie haben zwei Pucks aneinander gebunden und wenden eine Kraft an, die durch den Massenmittelpunkt von einem von ihnen geht, aber nicht durch den Massenmittelpunkt des Zwei-Puck-Systems. Die Kraft überträgt einen linearen Impuls auf den einen Puck, und dieser Impuls verschwindet nicht, nur weil der Puck an einen anderen gebunden ist.

4. Angenommen, Sie haben eine Rakete im Orbit um die Sonne, und die Triebwerke zeigen entlang ihres Orbits. Das Zünden der Triebwerke ändert den linearen Impuls der Rakete, aber auch ihren Drehimpuls um die Sonne.

Eine Kraft von F, die über eine Zeit t ausgeübt wird, verleiht einen Impuls von Ft, unabhängig davon, ob sie durch den Massenmittelpunkt ausgeübt wird.