"Korrelationsenergie" unter Verwendung der Paarkorrelationsfunktion

In diesem Artikel über den Quanten-Hall-Effekt beziehen sich die Autoren auf etwas, das als Korrelationsenergie von Elektronen bezeichnet wird. Es ist oben auf Seite 5 definiert als

$E=\frac{n}{2}\int (g(r)-1)V(r)dA\ ,$

Wo$n$ist die Elektronendichte,$g(r)$ist die Paarkorrelationsfunktion,$V(r)$ist das Potenzial und$dA$ist das Flächenelement (Fläche, weil das System 2D ist).

Ich versuche zu verstehen, woher dieser Ausdruck kommt, aber wenn ich nach "Korrelationsenergie" suche, ist alles, was ich finden kann, mit der Hartee-Fock-Näherung verbunden, die meiner Meinung nach nichts damit zu tun hat.

Das Testen des Ausdrucks liefert die gleichen Ergebnisse wie andere Methoden zur Berechnung der Energie pro Teilchen, einschließlich der Hintergrundladung.

Hat jemand eine Erklärung für diesen Ausdruck?

BEARBEITEN: Aufgefordert durch eine Antwort unten werde ich die erwähnten "anderen Möglichkeiten zur Berechnung der Energie" ein wenig erweitern.

Zuerst haben wir die Wechselwirkung zwischen den Elektronen, die die folgende Energie pro Teilchen ergibt:

$E_{el}=\displaystyle\frac{\langle V\rangle}{N}=\frac{1}{N}\sum_{i<j}^N\int\prod_{k=1}^NdA_k\psi^*V(r_{ij})\psi=\frac{N-1}{2}\int\prod_{k=1}^NdA_k|\psi|^2V(r)\ , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Wo$\psi(r)=\langle r|\psi\rangle$ist die Wellenfunktion und wir haben die Tatsache ausgenutzt, dass sie eine Eigenfunktion von ist$r$und antisymmetrisch im Elektronenaustausch.

An dieser Stelle ist es angebracht zu erwähnen, dass sich all dies auf einer Kugel abspielt; das heißt, die Elektronen leben auf einer Kugelschale, in deren Zentrum wir einen magnetischen Dirac-Monopol haben. Ich habe dies nicht in den ursprünglichen Beitrag aufgenommen, weil ich denke, dass es für die Frage des Ausdrucks für die Korrelationsenergie nicht relevant ist, aber es erklärt den nächsten Begriff:

Um auch den Effekt der positiven Hintergrundladung einzubeziehen, können wir alles in die Mitte stellen. Die Energie pro Elektron, die sich aus der Wechselwirkung zwischen dem Hintergrund und den Elektronen und der Hintergrundladung mit sich selbst ergibt, ist dann:

$E_{bg}=-\frac{N}{2R}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

Wo$R$ist der Radius der Kugel (wie zB in Jains Buch "Composite Fermions" besser erklärt).

Um auf den Ausdruck für die Korrelationsenergie im ursprünglichen Beitrag zurückzukommen, stellen wir fest, dass die Definition der Paarkorrelationsfunktion für ein isotropes System (so dass wir nur die relative Koordinate benötigen, z$r=r_1-r_2$), Ist:

$g(r)=\frac{N(N-1)}{n^2}\displaystyle\int\prod_{k=3}^NdA_k|\psi|^2$.

Der Begriff inkl$g(r)$ist deshalb:

$\frac{n}{2}\displaystyle\int dA\ g(r)V(r)=\frac{N-1}{2}\int\prod_{k=1}^NdA_k|\psi|^2V(r)\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

wo wir die Tatsache verwendet haben, dass$g(r)$bezieht sich auf eines der Elektronen, um eine zusätzliche Integration einzuführen, über zB Elektron$1$, und stornieren Sie den Beitrag mit$1/A$, und die Tatsache, dass$g(r)$ist isotrop, um eine Integration über eine relative Koordinate (diejenige im ursprünglichen Integral) in zB über ein Elektron zu ändern$2$, wodurch die Integration auf alle Elektronen statt nur auf die Zahl gebracht wird$3$Zu$N$.

Zuletzt betrachten wir den letzten Term des ursprünglichen Ausdrucks:

$-\frac{n}{2}\displaystyle\int dA\ V(r)=-\frac{n}{2}\int_0^R\frac{4\pi r\ dr}{r}=-\frac{N}{2R}.\ \ \ \ \ \ \ (4)$

Wir sehen, dass (1) mit (3) und (2) mit (4) korrespondiert, so dass diese Art der Energieberechnung dasselbe Ergebnis liefert wie die „Korrelationsenergie“. Der Grund, warum ich daran interessiert bin, etwas über letzteres herauszufinden, ist, dass dieser Ausdruck in allgemeineren Fällen gültig zu sein scheint oder zumindest einfacher zu berechnen ist als die erste Methode oben. Ein Beispiel dafür ist, wenn man in der zweiten Landau-Ebene und mit einer effektiven Interaktion in der ersten Landau-Ebene, damit$V(r)\neq \frac{1}{r}$und es ist weniger klar, wie mit der Hintergrundladung umzugehen ist.