Lagrangian von Yukawa-Wechselwirkung und Quark-Mischen

Question

Lagrangian von Yukawa-Wechselwirkung und Quark-Mischen

DDC

Ich versuche, das Original von Quark- und Leptonmasse zu verstehen. Hier ist ein Absatz aus dem Buch: "Massive Neutrinos in Physics and Astrophysics" von RN Mohapatra und PB Pal:

Die Eichinvarianz verhindert, dass ihnen im Lagrangian bloße Massen hinzugefügt werden. Sie ergeben sich aus den folgenden Yukawa-Wechselwirkungen, die durch die Eichsymmetrie zulässig sind:
$\begin{matrix} (2.14) & - L_{Y} = \sum_{A, B} [H_{A B}^{(u)} {\bar{Q}}_{A L} \hat{ϕ} u_{B R} + H_{A B}^{(D)} {\bar{Q}}_{A L} ϕ D_{B R} + H_{A B}^{(l)} {\bar{ψ}}_{A L} ϕ l_{B R}] + H . C . . \end{matrix}$ $-\mathcal{L}_{Y}=\sum_{a,b}[h^{(u)}_{ab}\bar{q}_{aL}\hat{\phi}u_{bR}+h^{(d)}_{ab}\bar{q}_{aL}\phi d_{bR}+h^{(l)}_{ab}\bar{\psi}_{aL}\phi l_{bR}]+\mathrm{h.c.}\ .\tag{2.14}$ Hier, $a,b$ stehen für Generationsindizes und $\begin{matrix} (2.15) & \hat{ϕ} = ich τ_{2} ϕ^{*} . \end{matrix}$ $\hat{\phi}=i\tau_{2}\phi^{*}\ .\tag{2.15}$ Beim Ersetzen der Nicht-Null-Vakuum-Erwartungswerte für $\phi_{0}=\sqrt{\frac{\mu^{2}}{2\lambda}}=v/\sqrt{2}$ ergeben sich folgende Massenterme für Up- und Down-Quarks sowie die Ladungsleptonen: $\begin{matrix} (2.16) & - L_{M A S S} = \sum_{A, B} [{\bar{u}}_{A L} M_{A B}^{(u)} u_{B R} + {\bar{D}}_{A L} M_{A B}^{(D)} D_{B R} + {\bar{l}}_{L B} M_{A B}^{(l)} l_{B R}] + H . C ., \end{matrix}$ $-\mathcal{L}_{mass}= \sum_{a,b}[\bar{u}_{aL}M^{(u)}_{ab}u_{bR}+\bar{d}_{aL}M^{(d)}_{ab} d_{bR}+\bar{l}_{Lb} M^{(l)}_{ab}l_{bR}]+\mathrm{h.c.}\ ,\tag{2.16}$ Wo $\begin{matrix} (2.17) & M_{A B}^{(F)} = H_{A B}^{(F)} v / \sqrt{2} \end{matrix}$ $M^{(f)}_{ab}=h^{(f)}_{ab}v/\sqrt{2} \tag{2.17}$ mit $f=u,d,l$ . Durch geeignete Wahl der Quark- und Leptonbasis entstehen die Kopplungsmatrizen $h^{(u)}$ Und $h^{(l)}$ kann diagonal gewählt werden, so dass wir haben $u^{0}_{a}=u_{a}$ Und $l^{0}_{a}=l_{a}$ . Der $M^{(d)}$ ist jedoch in dieser Basis eine komplexe nichtdiagonale Matrix und kann durch die folgende biunitäre Transformation diagonalisiert werden: $\begin{matrix} (2.18) & v_{L} M^{(D)} v_{R}^{†} = D^{(D)} . \end{matrix}$ $V_{L}M^{(d)}V_{R}^{\dagger}=D^{(d)}. \tag{2.18}$

Folgendes verstehe ich nicht: Warum sieht die Yukawa-Wechselwirkung Lagrange so aus? Ich dachte zuerst, dass es etwas damit zu tun hat

L_{Y u k A w A} = L_{D ich R A C} + L_{K l e ich N - G Ö R D Ö N} - G \bar{ψ} ψ ϕ,

$\mathcal{L}_{Yukawa}=\mathcal{L}_{Dirac}+\mathcal{L}_{Klein-Gordon}-g\bar{\psi}\psi\phi\ ,$ aber ich kann mathematisch keine offensichtliche Verbindung zwischen diesen beiden Lagrangianern erkennen. Ich verstehe auch nicht, was diese h-Matrizen sind

h_{a b}^{(u)}, h_{a b}^{(d)}, h_{a b}^{(l)}

$h^{(u)}_{ab},h^{(d)}_{ab},h^{(l)}_{ab}$ in Gleichung (2.14) sind. In Gleichung (2.15) gilt warum

\hat{ϕ}

$\hat{\phi}$ Sieht danach aus? Wie funktioniert in Gleichung (2.16).

{\bar{q}}_{a L}

$\bar{q}_{aL}$ werden

{\bar{u}}_{a L}

$\bar{u}_{aL}$ usw. Wie kann ich auch wissen, dass die Matrizen

M_{a b}^{(u)}

$M^{(u)}_{ab}$ Und

M_{a b}^{(l)}

$M^{(l)}_{ab}$ sind diagonal und

M_{a b}^{(d)}

$M^{(d)}_{ab}$ sind nicht? Warum muss ich endlich Indizes für die Matrix setzen?

V

$V$ ?

Ich wäre sehr dankbar für jeden, der zu Ende liest und meine langen Fragen beantwortet.

Antworten (1)

Lagrangian von Yukawa-Wechselwirkung und Quark-Mischen

Bosonando · Answer 1

Tatsächlich ist das Yukawa-Lagrangian (mehr oder weniger) nur der Begriff $\mathcal{L}_Y = -g \bar{\psi}\psi \phi$ . Der (masselose) Dirac-Lagrangian für Fermionen und der Klein-Gordon-Lagrangeian (Pluspotential) für die Higgs werden in Ihrer Formel nicht angezeigt. Der Hauptunterschied zwischen dem Yukawa Lagrangian und dem einfacheren $-g \bar{\psi}\psi \phi$ ist, dass das Standardmodell mehrere fermionische Felder hat, die in dieser Lagrange-Funktion gekoppelt sind.

Der $h$ Matrizen werden Yukawa-Kopplungen genannt und sind das Äquivalent zu $g$ über. Sie sind Matrizen anstelle von Zahlen, weil Sie am Ende Begriffe wie $-g \bar{s}d \phi$ (dazu später mehr).

Um den Unterschied zwischen zu verstehen $\bar{q}_{aL}$ Und $\bar{u}_{aL}$ Sie müssen sich daran erinnern, dass linkshändige Fermionen in Isospin-Dubletts vorliegen . Das Higgs-Feld ist auch ein Dublett des Isospins

ϕ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} ϕ_{1} + ich ϕ_{2} \\ ϕ_{0} + ich ϕ_{3} \end{matrix}) .

$\phi =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}\phi_1 + i \phi_2\\ \phi_0 +i\phi_3 \end{pmatrix}\ .$ Nach elektroschwacher spontaner Symmetriebrechung wird nur die

ϕ_{0}

$\phi_0$ Komponenten hat im Vakuum einen Wert ungleich Null. Wenn wir im Yukawa Lagrangian für ersetzen

d

$d$ -Typ Quarks oder Leptonen, erhalten wir

- L_{D} = \sum_{A, B} H_{A B}^{(D)} (\begin{matrix} {\bar{u}}_{A L} & {\bar{D}}_{A L} \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ ϕ_{0} \end{matrix}) D_{B R} = \sum_{A, B} H_{A B}^{(D)} ϕ_{0} {\bar{D}}_{A L} D_{B R} .

$-\mathcal{L}_d = \sum_{a,b} h_{ab}^{(d)} \begin{pmatrix} \bar{u}_{aL} & \bar{d}_{aL} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \phi_0 \end{pmatrix} d_{bR} = \sum_{a,b} h_{ab}^{(d)} \phi_0 \bar{d}_{aL} d_{bR}\ .$

Die Tatsache, dass das Higgs-Feld die Isospin-Symmetrie bricht, selektiert also nur die untere Komponente ( $T_3 = +\frac{1}{2}$ ) des Isospin-Dubletts. Dies erklärt die Masse von $d$ -Quarks und geladene Leptonen.

Dafür braucht man aber auch einen Massenbegriff $u$ -Quarks. Dies ist der Zweck des ersten Begriffs im Yukawa-Lagrange, der eine Art "transponierte Version" der anderen beiden Begriffe darstellt. Hier benötigen Sie das ladungskonjugierte Higgs-Feld $\hat{\phi}$ . Dieser Lagrangeian liest

- L_{u} = \sum_{A, B} H_{A B}^{(u)} (\begin{matrix} {\bar{u}}_{A L} & {\bar{D}}_{A L} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ_{0} \\ 0 \end{matrix}) u_{B R} = \sum_{A, B} H_{A B}^{(u)} ϕ_{0} {\bar{u}}_{A L} u_{B R} .

$-\mathcal{L}_u = \sum_{a,b} h_{ab}^{(u)} \begin{pmatrix} \bar{u}_{aL} & \bar{d}_{aL} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \phi_0 \\ 0 \end{pmatrix} u_{bR} = \sum_{a,b} h_{ab}^{(u)} \phi_0 \bar{u}_{aL} u_{bR}\ .$

Um den Grund für die (nicht) diagonalen Matrizen zu verstehen, beachten Sie, dass die Lagrange-Funktion unter unitären Transformationen unveränderlich ist

u_{R}^{ich} \to v_{u R}^{ich J} u_{R}^{J} D_{R}^{ich} \to v_{D R}^{ich J} D_{R}^{J} u_{L}^{ich} \to v_{u L}^{ich J} u_{L}^{J} D_{L}^{ich} \to v_{D L}^{ich J} D_{L}^{J}

$u_R^i \to V^{ij}_{uR} u_R^j \qquad \qquad d_R^i \to V^{ij}_{dR} d_R^j\\ u_L^i \to V^{ij}_{uL} u_L^j \qquad \qquad d_L^i \to V^{ij}_{dL} d_L^j$ Sie können diese Matrizen wählen, um die Massen zu diagonalisieren

D^{u, D} = \frac{v}{\sqrt{2}} v_{u, D L} H^{(u, D)} v_{u, D R}^{†} .

$D^{u,d} = \frac{v}{\sqrt{2}} V_{u,d L} h^{(u,d)} V_{u,d R}^\dagger\ .$

Aber vier verschiedene Matrizen sind einfach übertrieben. Du kannst nicht diagonalisieren $h^{(u)}$ Und $h^{(d)}$ gleichzeitig, also wird diagonalisiert gewählt $u$ -Quarks eingeben und drehen $d$ -Typ-Quarks unter Verwendung der CKM-Matrix . Diese Wahl ist nur eine Konvention, es könnte auch anders gemacht werden.

Die physikalische Bedeutung dieser Quarkmischung besteht darin, dass geladene Quarks mit geringer Wahrscheinlichkeit Quarks verschiedener Generationen verbinden können. Sie können es beschreiben, indem Sie sagen, dass die Schwachen $d'$ Quark ist eine Überlagerung von $d$ Und $s$ Quark-Masse-Eigenzustände, oder sagen wir, die Schwachen $u'$ Quark ist eine Überlagerung von $u$ Und $c$ Quark-Masseneigenzustände; es macht keinen Unterschied.

Ich glaube, ich muss mich mit einem grundlegenderen Problem befassen, bevor ich diese verstehen kann. Warum ist das Higgs-Feld ein Dublett? Was bedeutet Dublett in der Physik außer der Darstellung von $SU(2)$ Gruppe, und woher weiß ich, ob ich ein Feld in Form einer Dublette schreiben kann?
Im Falle der $SU(2)_L$ In einer Dublette zu sein bedeutet, dass die Teilchen in der Dublette einen schwachen Isospin haben $T=1/2$ , $T_3 = \pm 1/2$ , und dass beide Teilchen im Dublett über den Austausch von a wechselwirken $W$ Boson. Die Zuordnung von schwachem Isospin und schwacher Hyperladung wurde wie die Zuordnung von elektrischer Ladung vorgenommen, um experimentelle Beobachtungen zu reproduzieren.
Und was ist der Unterschied zw $T$ Und $T_{3}$ ? Das Higgs-Feld kann also in einer Dublette geschrieben werden, weil $T=\frac{1}{2}$ ? Und es ist ein experimentelles Ergebnis?
$T$ ist der Gesamt -Isospin, während $T_3$ ist die dritte Komponente des Isospins. Isospin ist mathematisch äquivalent zu Spin, und $T$ Und $T_3$ sind die Äquivalente von $S$ Ans $S_z$ .
Also ist $\phi =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}\phi_1 + i \phi_2\\ \phi_0 +i\phi_3 \end{pmatrix}\$ eine allgemeine Form eines Dubletts unter $SU(2)$ ?

Lagrangian von Yukawa-Wechselwirkung und Quark-Mischen

DDC

Antworten (1)

Bosonando

DDC

Bosonando

DDC

Bosonando

DDC

Welche Beziehung besteht zwischen dem Higgs-Feld und Quarks?

WW→tt¯WW→tt¯WW\to t\bar{t} Wachstum

Hauptgrund dafür, dass die Farb- und Geschmacksgruppe gleich sind?

Woher wissen Physiker, dass die Masse eines möglichen Higgs-Teilchens zwischen zwei Werten begrenzt ist?

Können Myonen in Quarks zerfallen?

Erhalten alle Teilchen im Standardmodell nur aufgrund des Higgs-Mechanismus Masse?

Form des Higgs-Verzweigungsverhältnisses zu ZZ

Was ist der Erwartungswert des Zahlenoperators, wenn das Vakuum ein VEV hat?

Higgs-Mechanismus-Verwirrung

Ist das Higgs-Boson ein Kraftträger? [Duplikat]