Lichtbeugung durch Schwarze Löcher

Die allgemeine Theorie des Gravitationslinseneffekts zeigt, dass ein Lichtstrahl, der sich innerhalb eines Radius nähert$r~>>~2GM/c^2$wird etwa um einen Winkel abgelenkt$\theta~=~GM/rc^2$. Allgemeiner ausgedrückt ist die Lichtablenkung durch den Einstein-Winkelradius gegeben

$$\theta_E~=~\sqrt{\frac{4GM}{c^2}\frac{d_{ls}}{d_ld_{s}}},$$ Wo $d_{ls},~d_l,~d_s$sind die Winkeldurchmesser zur Gravitationslinse, zur Quelle und der Abstand zwischen Gravitationslinse und Quelle. Für $d_{ls},~d_l,~d_s$die Winkeldurchmesser zur Gravitationslinse, die Quelle und der Abstand zwischen der Gravitationslinse und der Quelle. Die Bedingung $d_s~=~d_l~+~d_{sl}$erhält lokal dort, wo das kosmologische Rahmenziehen gering ist. Diese Theorie ist die schwache Gravitationslinsen-Näherung, bei der die Lichtablenkung im Wesentlichen ein Newtonsches Ergebnis ist. Die Abstandsverhältnisse werden durch bestimmt $\theta d_s~=~\beta d_s~+~\alpha' d_{ls}$, für die in der Abbildung angegebenen Winkel. Der Ablenkwinkel verringert den Ablenkwinkel $\alpha(\theta)~=~(d_{ls}/d_s)\alpha'(\theta)$gibt eine Beziehung zwischen den wichtigen Winkeln an $\alpha(\theta)~+~\beta~=~\theta$. Der dann verzerrte Hintergrund entspricht der Quadratwurzel der Masse des Schwarzen Lochs oder großen Gravitationskörpers. Bei einem festen Abstand wird also das Steradiantmaß der Distrotion beobachtet, je größer es ist.

Für die Position einer Quelle$\vec x$, die Ausbreitung des Lichts entlang der$z$Achse aus dieser Quelle reduziert dann das optische Erscheinungsbild des Objekts$\vec\xi~=~(\xi_x,~\xi_y)$entlang der optischen Ausbreitungsachse. Die schwache Gravitationslinse des Lichts zeigt dann an, dass die Ablenkung des Erscheinungsbildes dieses Objekts entlang der optischen Ausbreitungsachse durch die gegeben ist

$$\Delta{\vec\xi}~=~\nabla\Phi(\xi),$$ für $\xi$die Position des Bildes mit der vorhandenen Masse und $\Phi(\xi)$das Gravitationspotential. Der Unterschied in der Vektorposition des Bildes ${\vec\xi}_i~-~{\vec\xi}_s$ist der Unterschied zwischen der Position mit vorhandener Masse und ohne vorhandener Masse. Der Potentialterm gehorcht also der Poisson-Gleichung $$\nabla^2\Phi~=~2\frac{\Sigma(\vec\xi)}{\Sigma_c}$$ Die Integration über die Ausbreitungsrichtung ergibt dann die Massendichte in der Bildebene, oft Oberflächenmassendichte genannt $\Sigma(\vec\xi)$. Der Ablenkwinkel $\alpha$wird dann durch die Poisson-Gleichung und das Potential als bestimmt $${\vec\alpha}’(\vec\xi)~=~\frac{4G}{c^2}\int\frac{(\vec\xi~-~\vec\xi')\Sigma(\vec\xi')}{|\vec\xi~-~\vec\xi'|^2}d^2\xi',$$ für $\Sigma(\vec\xi)$eine Massen-/Flächendichteverteilung im Bild. Die Funktion $\Sigma(\vec\xi)$spielt die Rolle eines Brechungsindex basierend auf einer Massenverteilung, die für eine dünne Linse den Abweichungswinkel angibt. Für eine dünne Gravitationslinse ein schwaches Feld, das im Vergleich zur optischen Weglänge sehr klein ist, und $\Sigma(\vec\xi)$ist eine Konstante. Der Ablenkwinkel ist einfach $$\alpha(\xi)~=~\frac{4\pi G}{c^2}\frac{\Sigma(\xi) d_{ls}\xi}{d_s}$$ wo für kleine Winkel $|\vec\xi|~=\xi~=~d_l\theta$Und $$\alpha(\xi)~=~\frac{4\pi G\Sigma}{c^2}\frac{d_{ls}d_l}{d_s}~=~\frac{\Sigma}{\Sigma_c}\theta$$ für die kritische Massendichte $\Sigma_c~=~(c^2/4\pi G)(d_s/d_{ls}d_l)$. Dies ist die minimale Massendichte, die im Bereich eines Einsteinrings verteilt sein könnte.

Bekanntlich werden Sterne in Sonnennähe um 1,75 Bogensekunden abgelenkt, wie von Einstein vorhergesagt.
Ich berechne, dass Sterne auf der anderen Seite der Galaxie, deren Licht sehr nahe am Galaxienzentrum vorbeikam, zufällig um etwa den gleichen Betrag abgelenkt würden.
Wenn Sie im Submillimeterbereich beobachten, könnten Sie es sehen, genauso wie Doeleman das Schwarze Loch selbst sieht.
Aber es würde weit mehr als ein Leben dauern, bis irgendetwas hinter dem Schwarzen Loch im Zentrum der Galaxie vorbeikommt.
Der scheinbare Durchmesser des Schwarzschild-Radius beträgt etwa 40 Mikrobogensekunden oder etwa 10^-10 Radiant. So klein müsste man sehen, um die Sterne zu erkennen, deren Ablenkwinkel ein Radiant oder mehr beträgt.

Der scheinbare Radius des Einstein-Rings im Bogenmaß ist ungefähr die Quadratwurzel davon, dh 10^-5 Bogenmaß oder etwa 2 Bogensekunden, sehr ähnlich zu Einsteins Zahl, aber das ist nur ein Zufall.
Schlagen Sie die Einstein-Ringformel in Wikipedia nach und Sie können eine genaue Berechnung durchführen, wenn Sie möchten.

Bei einem Schwarzen Loch wird Licht immer mehr und unbegrenzter abgelenkt, wenn sich ein Strahl dem Loch nähert. Es gibt keine theoretische Grenze für den Winkel, aber es gibt eine praktische Grenze, wenn die Bilder näher zusammenrücken.

Eine Skizze der Nullgeodäten, die die ersten beiden relativistischen Bilder auf der Primärbildseite der optischen Achse bilden. Die Abbildung links stellt das erste relativistische Bild dar, das entsteht, wenn ein Photon das Schwarze Loch einmal umkreist. Die Abbildung rechts stellt das zweite relativistische Bild dar, das sich nach zweimaliger Umrundung noch näher am Schwarzen Loch bildet. In Wirklichkeit liegen beide Bilder auf der Linsenebene sehr nahe beieinander und sehr nahe an der Photonenkugel des Schwarzen Lochs.

Siehe Bild 1.4, Seite 39/18:

Bin-Nun, Amitai Yisrael, Gravitationslinsen mit großem Ablenkwinkel als Sonde der Allgemeinen Relativitätstheorie und des galaktischen Zentrums (2010). Öffentlich zugängliche Penn Dissertations. http://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1352&context=edissertations