Linearisierung von MHD-Gleichungen für ein kaltes Plasma und niedrige Frequenzen

Aus Präferenzgründen werde ich verwenden$\mathbf{Q}_{o}$Und$\delta \mathbf{Q}$für die quasistatischen und fluktuierenden Terme.

Erinnern Sie sich als Nächstes aus der Vektorrechnung daran, dass Folgendes gilt:

$$\mathbf{A} \times \left( \mathbf{B} \times \mathbf{C} \right) = \left( \mathbf{A} \cdot \mathbf{C} \right) \mathbf{B} - \left( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right) \mathbf{C} \tag{1}$$

Als nächstes verwenden wir den Ausdruck for$\delta \mathbf{v}$im Term des konvektiven elektrischen Feldes erhalten Sie:

$$\begin{align} \delta \mathbf{E} & = - \frac{ 1 }{ c } \ \delta \mathbf{v} \times \mathbf{B}_{o} \tag{2a} \\ & = - \frac{ i }{ \rho_{o} \ \omega \ c } \left[ \left( \delta \mathbf{j} \times \mathbf{B}_{o} \right) \times \mathbf{B}_{o} \right] \tag{2b} \\ & = \frac{ i \ B_{o}^{2} }{ \rho_{o} \ \omega \ c^{2} } \left[ \frac{ \mathbf{B}_{o} \times \left( \delta \mathbf{j} \times \mathbf{B}_{o} \right) }{ B_{o}^{2} } \right] \tag{2c} \\ & = \frac{ 4 \ \pi \ i }{ \omega } \left( \frac{ V_{A} }{ c \ B_{o} } \right)^{2} \left[ B_{o}^{2} \ \delta \mathbf{j} - \left( \delta \mathbf{j} \cdot \mathbf{B}_{o} \right) \mathbf{B}_{o} \right] \tag{2d} \end{align}$$

Das nächste, was zu bemerken ist, ist, dass Gleichung 2a uns dies sagt$\delta \mathbf{E}$ist orthogonal zu$\mathbf{B}_{o}$, daher muss der letzte Term in Gleichung 2d Null sein. Dies ist eine andere Art zu sagen, dass es keine feldausgerichteten Stromstörungen gibt. Dann können wir Gleichung 2d in Bezug auf den Strom umschreiben, um zu erhalten:

$$\delta \mathbf{j} = \frac{ \omega }{ 4 \ \pi \ i } \left( \frac{ c }{ V_{A} } \right)^{2} \delta \mathbf{E} \tag{3}$$

Schließlich geht das Amperesche Gesetz zu:

$$\begin{align} i \mathbf{k} \times \delta \mathbf{B} & = \frac{ 4 \ \pi }{ c } \delta \mathbf{j} - \frac{ i \ \omega }{ c } \delta \mathbf{E} \tag{4a} \\ \frac{ i \ c }{ \omega } \mathbf{k} \times \left( \mathbf{k} \times \delta \mathbf{E} \right) & = \frac{ 4 \ \pi }{ c } \left[ \frac{ \omega }{ 4 \ \pi \ i } \left( \frac{ c }{ V_{A} } \right)^{2} \delta \mathbf{E} \right] - \frac{ i \ \omega }{ c } \delta \mathbf{E} \tag{4b} \\ \mathbf{k} \times \left( \mathbf{k} \times \delta \mathbf{E} \right) & = - \left( \frac{ \omega }{ c } \right)^{2} \left( \frac{ c }{ V_{A} } \right)^{2} \delta \mathbf{E} - \left( \frac{ \omega }{ c } \right)^{2} \delta \mathbf{E} \tag{4c} \\ & = - \left( \frac{ \omega }{ c } \right)^{2} \left[ 1 + \left( \frac{ c }{ V_{A} } \right)^{2} \right] \delta \mathbf{E} \tag{4d} \\ & = - \omega^{2} \left[ \frac{ 1 }{ c^{2} } + \frac{ 1 }{ V_{A}^{2} } \right] \delta \mathbf{E} \tag{4e} \\ & = - \left( \frac{ \omega }{ V_{A} } \right)^{2} \left[ 1 + \left( \frac{ V_{A} }{ c } \right)^{2} \right] \delta \mathbf{E} \tag{4f} \end{align}$$ wobei Gleichung 4f die gleiche ist wie die, die Sie suchen.

Der einzige Teil, der hier vielleicht nicht sofort offensichtlich ist, ist das$\delta \mathbf{j}$ist orthogonal zu$\mathbf{B}_{o}$. Wenn der einzige Beitrag zum elektrischen Feld vom konvektiven Term stammt, können im Allgemeinen keine feldausgerichteten Ströme vorhanden sein. Wenn Sie andere Begriffe im verallgemeinerten Ohmschen Gesetz zulassen, können Sie feldausgerichtete Ströme erhalten, die je nach den interessierenden Grenzen / Randbedingungen einer bestimmten Form der Alfven-Welle entsprechen, die als kinetische oder Scher-Alfven-Wellen bezeichnet wird.