Transversaler magnetischer (TM) und transversaler elektrischer (TE) Modus

Bare mit mir, ich erinnere mich nicht an jeden kleinen Schritt, aber ich hoffe, diese Herleitung hilft Ihnen.

Denken Sie zuerst daran, wie sich eine Welle durch einen Wellenleiter (Dielektrikum) ausbreitet.

$$E(x,y,z) = E^{0}(x,y)e^{-\gamma z}$$ $$H(x,y,z) = H^{0}(x,y)e^{-\gamma z}$$

Betrachten Sie dann die Gesetze von Ampere und Faraday für eine quellenfreie Region.

$$\triangledown \times H = j\omega\epsilon E$$ $$\triangledown \times E = -j\omega\mu H$$

Daraus ergeben sich jeweils 3 Gleichungen (für die x-, y- und z-Richtung):

$$1) \frac{\partial E_{z}}{\partial y} + \gamma E_{y} = -j\omega\mu H_{x}$$ $$2) \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + \gamma E_{x} = j\omega\mu H_{y}$$ $$3) \frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y} = -j\omega\mu H_{z}$$ $$4) \frac{\partial H_{z}}{\partial y} + \gamma H_{y} = j\omega\epsilon E_{x}$$ $$5) \frac{\partial H_{z}}{\partial x} + \gamma H_{x} = -j\omega\epsilon E_{y}$$ $$6) \frac{\partial H_{y}}{\partial x} - \frac{\partial H_{x}}{\partial y} = j\omega\epsilon E_{z}$$

Wir können (1) und (5) kombinieren und (2) und (4) aufgrund gleicher Terme kombinieren, um Gleichungen zu generieren$H_{x}$und$E_{x}$die zu (7) und (9) werden. Wir ordnen die Gleichungen (3) und (6) um für$H_{y}$und$E_{y}$, beziehungsweise.

$$7) H_{x} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial x} + \frac{j\omega\epsilon}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial y}$$

$$8) H_{y} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial x} - \frac{j\omega\epsilon}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial x}$$

$$9) E_{x} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial x} - \frac{j\omega\mu}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial y}$$

$$10) E_{x} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial y} + \frac{j\omega\mu}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial x}$$

Und merke dir$h^{2} = \gamma^{2} + \beta^{2}$, wo$\beta = \omega \sqrt{\mu\epsilon}$

Querkomponenten$E_{x}, E_{y}, H_{x}, H_{y}$werden als Längskomponenten ausgedrückt$E_{z}, H_{z}$. Und wir haben drei Fälle:

1) Quer elektrisch (TE):

$$E_{z} = 0, H_{z} \neq 0$$

2) Quermagnetisch (TM):

$$E_{z} \neq 0, H_{z} = 0$$

3) Transversale Elektromagnetik (TEM):

$$E_{z} = H_{z} = 0$$

Wobei im Fall von TEM-Modi die Gleichungen (7) bis (10) zusammenbrechen, es sei denn$h = 0$Bedeutung:

$$\gamma^{2} + \beta^{2} = 0$$ $$\gamma^{2} = -\beta^{2}$$ $$\gamma = j\beta = j\omega\sqrt{\mu\epsilon}$$

Hier müssen wir nun die Helmholtz-Gleichung einsetzen, um das partielle Differential für TE- und TM-Modi zu lösen:

$$\triangledown^{2} A + k^{2}A = 0$$

In TE-Modi brauchen wir$H_{z}$, das ist unser$A$in der Helmholtz-Gleichung und unserem Faktor$k^{2}$ist$\beta^{2}$.

Ersetzen:

$$\triangledown^{2} H_{z} + \beta^{2} H_{z} = 0$$

Erweitern:

$$\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial z^{2}} + \beta^{2} H_{z} = 0$$

$$\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial z^{2}} = -\gamma^{2}H_{z}^{0}(x,y)e^{-\gamma z}$$

$$\frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial y^{2}} + (\gamma^{2} + \beta^{2})H_{z}$$ Seit $h^{2}$= $\gamma^{2} + \beta^{2}$wir fassen zusammen: $$\frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial y^{2}} + h^{2}H_{z} = 0$$

Wiederholen Sie die gleichen Schritte oben für TM-Modi, wo wir sie brauchen$E_{z}$

$$\triangledown^{2} E_{z} + \beta^{2} E_{z} = 0$$

Und deshalb:

$$\frac{\partial^{2} E_{z}^{0}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{z}^{0}}{\partial y^{2}} + h^{2}E_{z} = 0$$

Der Grund dafür, dass es nur zwei Sätze von Komponenten gibt, liegt in der Tatsache, dass sich die Welle bei gegebenem Wellenleiter in einer einzigen Richtung ausbreitet. Der Schlüsselfaktor ist, dass elektrische und magnetische Felder IMMER senkrecht zueinander stehen. Dies ist ein primäres Prinzip, das Maxwell entdeckt hat. Die beiden reisen immer zusammen in elektromagnetischen Wellen.

Zum Beispiel:

Wo in TM-Modi das elektrische Feld in der Richtung senkrecht zu der Ausbreitung ist, breitet sich also NUR das Magnetfeld innerhalb des Wellenleiters aus und umgekehrt für TE-Modi. Aus diesem Grund werden die elektrischen oder magnetischen Komponenten als 0 betrachtet (da wir davon ausgehen, dass z die Ausbreitungsrichtung ist).

Sie haben also zwei Instanzen für TM- und TE-Wellen, bei denen das elektrische Feld null oder das magnetische Feld null ist - weshalb Sie zwei Gleichungssätze haben.

Dies unterscheidet sich bei TEM-Moden, bei denen sich keiner in Richtung des Wellenleiters ausbreitet, jedoch mindestens zwei Leiter erforderlich sind, damit TEM-Moden existieren.

Hinweise:

1. Wir sollen offensichtlich nur nach lösen$z$-Abhängigkeit (im Gegensatz zu$x$- und$y$-Abhängigkeit).

2. Beachten Sie, dass die beiden Variablen$E_z$und$H_z$eliminiert werden können.

3. Im reduzierten gekoppelten ODE-System von vier ODEs erster Ordnung und vier Variablen$(E_x,E_y,H_x,H_y)$, beachten Sie, dass die Variablen zwei und zwei miteinander koppeln. Welche Paare?

4. Innerhalb eines solchen Paares ist es möglich, eine der Variablen zu eliminieren, um eine ODE zweiter Ordnung in einer Variablen zu bilden. Welche bekannte ODE zweiter Ordnung wäre das?

5. Nehmen Sie an, dass die ODE zweiter Ordnung vom Oszillationstyp ist. Was bedeutet das? Er hat zwei Integrationskonstanten (z. B. Amplitude und Phase), die wir gemeinsam als Einzelmodus bezeichnen werden.

6. Durch Wiederholen von 4 und 5 ist es möglich, vier ODEs zweiter Ordnung in jeweils einer Variablen zu erhalten.

7. Denken Sie jedoch daran, dass die vier Variablen nicht unabhängig voneinander sind, sondern zwei und zwei gekoppelt sind.

8. Leiten Sie schließlich ab, wie viele unabhängige Moden existieren?

Beachten Sie, dass es drei Gleichungen für die Größen gibt$(E_y,H_x,H_z)$:

$$\frac{\partial E_y}{\partial z} = -i\omega\mu_0 H_x$$

$$i\beta E_y = i\omega\mu_0 H_z$$ $$\frac{\partial H_x}{\partial z} -i\beta H_z = -i\omega\varepsilon_0\varepsilon E_y$$

Diese sind völlig unabhängig von den Gleichungen für die drei anderen Komponenten,$(H_y,E_x,E_z)$. Wenn Sie genau die Lösungen für wüssten$(E_y,H_x,H_z)$, hätten Sie noch genau keine Zusatzinformationen zu den anderen Lösungen,$(H_y,E_x,E_z)$. Um diese Größen aufzulösen, müssten Sie immer noch die Differentialgleichungen lösen, die ihnen zugrunde liegen. Dies bedeutet, dass die TE-Moden, bestehend aus den drei Komponenten$(E_y,H_x,H_z)$, sind unabhängig von den TM-Modi, bestehend aus$(H_y,E_x,E_z)$.

Wenn die beiden Gleichungssysteme voneinander unabhängig sind, müssen Sie nur drei Gleichungen und drei Variablen gleichzeitig berücksichtigen. Es steht Ihnen frei, an der Lösung der TE-Modengrößen ohne Rücksicht auf die Werte der TM-Größen zu arbeiten. Dasselbe gilt für die TM-Größen, nach denen Sie ohne Rücksicht auf die TE-Werte auflösen können. Wenn Sie nur an drei Feldkomponenten gleichzeitig arbeiten und sich um die anderen nicht kümmern, können Sie die anderen genauso gut auf Null setzen. Dann würde sich der gesamte Satz von Gleichungen auf den Modus reduzieren, den Sie in Betracht ziehen. Dies gilt für beide Modi. Es ist nicht so, dass es genau zwei Lösungssätze gibt, aber die Lösungen entkoppeln sich in zwei Gruppen, die nichts miteinander zu tun haben, sodass es Ihnen freisteht, diese Gruppen unabhängig voneinander zu betrachten.

Die Felder haben im Allgemeinen alle sechs Komponenten, aber wenn Sie die Berechnungen durchführen, müssen Sie nur nach drei Komponenten gleichzeitig lösen. Das bedeutet Ihr Text über zwei Sätze in sich widerspruchsfreier Gleichungen.

Ihre Verwirrung ist gut begründet. TE- und TM-Modi sind keine strengen Lösungen für die Maxwell-Gleichungen. Aus diesem Grund haben Sie Schwierigkeiten herauszufinden, warum bestimmte Komponenten einfach auf Null gesetzt werden können. Sie können nicht! Dies ist nur eine Annäherung, um die Analyse zu erleichtern.

Sie sind jedoch sehr gute Näherungen. Ich habe eine strenge Modellierung von Wellenleitern durchgeführt, und die auf Null gesetzten Komponenten sind um viele Größenordnungen kleiner als die primären Feldkomponenten.