Magnetfeld und Fluss des Vektorpotentials

Es tut mir leid, wenn meine Frage nicht wirklich konkret ist, aber los geht's.

Betrachten Sie die Hamilton-Funktion

H ( X , ξ ) = 1 2 M | ξ − e A ( X ) | 2
entspricht einem geladenen Teilchen in einem Magnetfeld, wobei A ist ein Vektorpotential (dh ein Vektorfeld), e ist die Ladung und M ist die Masse.

Die klassischen Trajektorien in X ( T ) die Gleichung zweiter Ordnung erfüllen

M X ¨ = e ( X ˙ × C u R l A ( X ) ) ,
Insbesondere, wenn wir ersetzen A ( X ) von A ~ ( X ) := A ( X ) + ∇ F ( X ) für irgendeine Funktion F , erhalten wir die gleichen klassischen Trajektorien, weil C u R l A ~ = C u R l A .

Meine Frage ist: Let Θ T ( X ) sei der Fluss des Vektorfeldes A . Tut Θ T ( X ) Hat dieses Problem eine physikalische Bedeutung (klassisch oder quantenmechanisch)? Wenn ja, was ist es?

Die Antwort scheint auf den ersten Blick "nein" zu sein, denn der Durchfluss hängt offensichtlich stark von der Funktion ab F oben, was für die klassische Trajektorie hingegen keine Rolle spielt. Aber steckt mehr dahinter?

Ich denke, Ihre Interpretation ist richtig. A ist nur ein Vektorpotential , also ist es bis zu einem Gradienten einer doppelt differenzierbaren Skalarfunktion definiert. Was Sie physikalisch beobachten können, ist der Fluss der Locken, die nur die Kraftlinie des Feldes sind.

Antworten (2)

In meinem Kurs über Elektromagnetismus habe ich gelernt, dass das Vektorpotential als Bewegungsgröße pro Ladungseinheit oder als potentielle Energie pro Ladungs- und Geschwindigkeitseinheit interpretiert werden kann, zumindest bei stationären Strömen, denn darin Fall die magnetische Kraft ist

F = Q v × B = Q v × ( ∇ × A ) = Q [ ∇ ( v ⋅ A ) − ( v ⋅ ∇ ) A ] = − ∇ ( − Q v ⋅ A ) + D D T ( − Q A ) = − ∇ U + D P D T

und dann

U ≡ − Q v ⋅ A P ≡ − Q A

und die Interpretation folgt aus diesen Ausdrücken. Eine tiefergehende Diskussion über die Bedeutung des Vektorpotentials und seine Realität findet sich in den Feynman Lectures on Physics vol. 2

Seit A → kann nicht direkt beobachtet werden, ich sehe auch nicht ein, warum seine integralen Kurven (Manifestation des Flusses) beobachtet werden könnten. Es ist diese "Unkörperlichkeit", die Eichtransformationen ermöglicht. Schließlich wäre es nicht sinnvoll, die Transformation einer physikalischen Größe messen zu können. Es wäre völlig willkürlich!

Was die Bewegungsgleichung betrifft, erinnern Sie sich an die Definition des Magnetfelds:

B → = kräuseln ⁡ A →
Das, was wir beobachten, ist der Fluss ϕ T von B → . Erinnerst du dich an die Sache, die du in der Highschool oder Mittelschule mit den Eisenspänen und einem Magneten gemacht hast? Diese Linien, die Sie gesehen haben, waren die integralen Kurven von ϕ T .

Magnetfeld und Fluss des Vektorpotentials
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