Maxwell-Boltzmann-Verteilung (Geschwindigkeit) als maximale Entropieverteilung und ihre Interpretation

Kurze Antwort.

Das Einbeziehen der Beschränkung auf die Erwartung des Logarithmus der Geschwindigkeit ist gleichbedeutend mit der Annahme einer einheitlichen Quantisierung des klassischen Phasenraums, von der wir aus Erfahrung wissen, dass sie die richtige Vorschrift für die Anwendung von MaxEnt auf die klassische statistische Mechanik ist.

Einzelheiten.

Jaynes hat gezeigt, dass die differentielle Entropie nur dann eine geeignete Kontinuumsverallgemeinerung der diskreten Shannon-Entropie ist, wenn die gewählte Diskretisierung einheitlich ist. Für eine nette Diskussion darüber würde ich empfehlen, zuerst Abschnitt 4b zu lesen. von Jaynes' Vorlesungen über Informationstheorie und statistische Mechanik , da dies die ursprüngliche Quelle dieser Beobachtung zu sein scheint. Ich habe auch einen netten Wikipedia-Artikel gefunden, der diesen Punkt diskutiert:

Begrenzung der Dichte diskreter Punkte

Jaynes zeigte, dass, wenn man die Informationsentropie von einer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion auf einem endlichen Zustandsraum zu einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer Teilmenge von verallgemeinern möchte$\mathbb R^n$, wie wenn wir uns mit dem klassischen Phasenraum befassen, dann, obwohl die von Ihnen niedergeschriebene differentielle Entropie wie die offensichtliche Verallgemeinerung erscheint, die man durch Diskretisieren des Raums und Anwenden der diskreten Version der Entropie erhalten würde, nimmt sie tatsächlich implizit eine einheitliche Diskretisierung an, wie die Aufspaltung den Raum in Würfel gleichen Volumens. Der allgemeinere Ausdruck, der eine Diskretisierung ermöglicht, in der die Dichte der Zustände$m(\vec x)$Auf dem Platz muss das nicht unbedingt einheitlich sein

$$H[\rho]=-\int \rho(\vec x) \ln \frac{\rho(\vec x)}{m(\vec x)}\, d^n \vec x.$$ Jaynes räumt ein, dass es im Kontext der klassischen Mechanik nicht klar ist, was die Auswahl eines bestimmten Elements rechtfertigt $m$übereinander, aber er argumentiert, dass wir, motiviert durch die Quantenmechanik, den üblichen "Quantisierungs"-Trick anwenden, den Phasenraum in Zellen gleichen Volumens aufzuteilen $d^{3}pd^{3}q/h^{3}$, dann sollten wir entsprechend wählen $m(\vec x) = const.$. Wenn wir dies tun und eine unwichtige Gesamtkonstante weglassen, die sich ergibt, können wir den naiven Ausdruck der differentiellen Entropie verwenden $$H[\rho] = \int\rho(\vec p, \vec q)\ln \rho(\vec p, \vec q)\, d^{3}\vec pd^{3}\vec q$$ Beachten Sie andererseits, dass, wenn Sie die Statistik eines klassischen Systems mithilfe einer Wahrscheinlichkeitsverteilung im Raum der Impulsgröße beschreiben möchten $p = |\vec p|$(oder äquivalent Geschwindigkeit), dann verwandelt sich die gleichmäßige Zustandsdichte im Impulsraum in eine zunehmende Zustandsdichte im Raum $p$-Raum, der von der Dimension des Raums abhängt Um dies zu sehen, beachten Sie, dass eine gleichmäßige Zustandsdichte im Phasenraum der Tatsache entspricht, dass die Anzahl der Zustände in einem bestimmten Bereich proportional zu seinem Volumen ist. In $d$-Dimensionen, die Anzahl der Zustände mit Impulsen dazwischen $p$Und $p+dp$ist also proportional zu $p^{d-1}\, dp$. Daraus folgt, dass wir nehmen sollten $$m(p) = (\text{const.})\,p^{d-1}$$ Vernachlässigung unwichtiger additiver Gesamtkonstanten, die sich aus der Normierung von ergeben $m$und dann inkl $m\sim p^{d-1}$bei der Berechnung von $H$entspricht dem Hinzufügen eines Lagrange-Multiplikatorterms, in dem der Lagrange-Multiplikator einen Wert hat $d-1$. Um dies zu sehen, beachten Sie einerseits, dass einschließlich $m$und die allgemeinere Version von verwenden $H$veranlasst uns, kritische Punkte der folgenden Funktion zu finden: $$\begin{align} J[\rho] &= -\int \rho(p)\ln \rho(p)\, dp \\ &\hspace{1cm}+ \lambda_0\left(\int \rho(p)\, dp - 1\right)+ \lambda_1\left(\int \rho(p) p^2\, dp - C\right) + (d-1)\int \rho(p)\ln(p)\, dp \end{align}$$ Andererseits führt die Verwendung der differentiellen Entropie und das Hinzufügen eines Lagrange-Multiplikatorterms dazu, dass wir kritische Punkte des Funktionals finden $$\begin{align} G[\rho] &= -\int \rho(p)\ln \rho(p)\, dp \\ &\hspace{1cm}+ \lambda_0\left(\int \rho(p)\, dp - 1\right)+ \lambda_1\left(\int \rho(p) p^2\, dp - C\right) + \lambda_2\left(\int \rho(p)\ln(p)\, dp - K\right) \end{align}$$ Wenn wir kritische Punkte von finden $G$, wir glauben, dass $$\rho(p) = C e^{\lambda_1 p^2}e^{\lambda_2 \ln p} = C p^{\lambda_2 }e^{\lambda_1 p^2}$$ Wenn wir richtig wählen $K$so dass $\lambda_2 = d-1$, dann erhalten wir $$\rho(p) = C p^{d-1}e^{\lambda_1 p^2}$$ Für $d=3$wir erhalten a $p^2$Faktor ein $\rho$, das ist genau das, was wir für die haben $3$-dimensionale Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung.