Sollte Entropie Einheiten und Temperatur in Bezug auf Energie haben? [Duplikat]

Ich stimme Jerry und Danu in ihren Kommentaren größtenteils zu, da Ihre vorgeschlagene Definition sehr sinnvoll wäre und die Boltzmann-Konstante in der Tat die Einheit in natürlichen (Planck-) Einheiten ist.

Eine einheitenlose Entropie hätte einen großen Reiz, insbesondere angesichts der engen Verbindungen zwischen der thermodynamischen Entropie und der informationstheoretischen Shannon-Entropie - sie wären in Ihren Einheiten für ein thermalisiertes System aus perfekt unkorrelierten (statistisch unabhängigen) Bestandteilen gleich - das Besondere Fall, den Boltzmanns Stosszahlansatz vorsieht (molekulares Chaos, obwohl Boltzmanns eigenes Wort "Kollisionszahlhypothese" bedeutet). Ihre Entropie würde dann in nats gemessen : Sie müssten Einheiten verwenden, in denen die Boltzmann-Konstante wäre$\log 2$um Entropie in Bits zu bekommen. Beachten Sie jedoch, dass die thermodynamische Entropie aus Randverteilungen berechnet wird$N \sum p_j \log p_j$ist in diesen Einheiten im Allgemeinen nicht gleich der Shannon-Entropie: Man muss im Allgemeinen Korrelationen zwischen Teilchen berücksichtigen, was die Entropie verringert (weil Teilchenzustände teilweise andere Teilchenzustände vorhersagen). Siehe für eine gute Erklärung dieser Ideen

ET Jaynes, „Gibbs vs. Boltzmann Entropies“, Am. J. Phys. 33, Heft 5, S. 391-398, 1965 sowie viele andere seiner Arbeiten auf diesem Gebiet

Es ist jedoch noch ein letzter Punkt zu beachten, nämlich dass die Vorstellung, dass die Temperatur proportional zur durchschnittlichen konstituierenden Energie ist, im Allgemeinen nur annähernd richtig ist. Wie Sie wissen, gilt dies für ein ideales Gas. Die allgemeinste Definition der thermodynamischen Temperatur ist jedoch, dass der Wirkungsgrad einer idealen reversiblen Wärmekraftmaschine, die zwischen zwei unendlichen Wärmespeichern bei unterschiedlichen Temperaturen arbeitet, das Verhältnis dieser Temperaturen definiert: Es ist:

$$\frac{T_1}{T_2} = 1 - \eta$$

Wo$\eta$ist der Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine,$T_2$die höhere Temperatur und die Temperatur des Reservoirs, aus dem der Motor Wärme entnimmt und$T_1$die niedrigere Temperatur des anderen Reservoirs, in das der Motor Abwärme abgibt. Sobald eine "Standard"-Einheitstemperatur definiert ist ( z. B. so etwas wie der Tripelpunkt von Wasser), folgt die vollständige Temperaturdefinition. Diese Definition kann als äquivalent zur Definition (in Ihren Einheiten, mit$k=1$:

$$T^{-1} = \partial_U S$$

dh die inverse Temperatur (manchmal auch als "Perk" bezeichnet) gibt an, wie stark sich ein bestimmtes System als Reaktion auf das Hinzufügen von Wärme zu seiner inneren Energie "thermalisiert".$U$(wie sehr das System aufwacht oder "muntert"). Siehe für eine gute Zusammenfassung den Abschnitt "Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik" auf der Wikipedia-Seite für Temperatur .

Wenden wir diese Definition also auf ein thermalisiertes System harmonischer Quantenoszillatoren an: Angenommen, sie befinden sich an unterscheidbaren Positionen. Im thermodynamischen Gleichgewicht lautet die Boltzmann-Verteilung für die Leiterzahl (Anzahl der Photonen / Phononen in einem bestimmten Oszillator):

$$p(n) = \left(e^{\beta\, \hbar\,\omega }-1\right) e^{-\beta\,\hbar\, \omega \, (n+1)}$$

Die mittlere Oszillatorenergie ist dann:

$$\left<E\right> = \frac{\hbar\,\omega}{2}\,\coth\left(\frac{1}{2}\,\beta\,\hbar\,\omega \right)$$

Die Shannon-Entropie (pro Oszillator) ist dann:

$$S = -\sum\limits_{n = 0}^\infty p(n) \log p(n) = \frac{\beta\,\hbar\,\omega\,e^{\beta \,\hbar\,\omega}}{e^{\beta\,\hbar\,\omega}-1} - \log \left(e^{\beta\,\hbar\,\omega}-1\right)$$

Die thermodynamische Temperatur ist also gegeben durch (wobei zu beachten ist, dass wir die Energie dieses Systems nur durch Variieren ändern können$\beta$):

$$T^{-1} = \partial_{\left<E\right>} S = \frac{\mathrm{d}_\beta S}{\mathrm{d}_\beta \left<E\right>} = \beta$$

aber diese Temperatur ist bei sehr niedrigen Temperaturen nicht gleich der mittleren Teilchenenergie; die mittlere Teilchenenergie ist:

$$\begin{array}{lcl}\left<E\right> &=& \frac{1}{\beta}+\frac{1}{12}\,\beta\,\hbar^2\omega^2-\frac{1}{720}\,\beta^3 \,\hbar^4\,\omega^4+\frac{\beta^5\,\hbar^6\,\omega^6}{30240}+O\left(\beta^7\right) \\ &=& T+\frac{1}{12}\,T^{-1}\,\hbar^2\,\omega^2-\frac{1}{720}\,T^{-3}\,\hbar ^4\, \omega^4+\frac{T^{-5}\,\hbar^6\,\omega^6}{30240}+O\left(T^{-7}\right)\end{array}$$

damit Sie sehen können, dass Ihre ursprüngliche Definition als mittlere Teilchenenergie zurückgewonnen wird$T>>\hbar\omega$, die Photonenenergie.