Maxwellsche Gleichungen, nichtlineare Medien und dynamische Reaktion

Maxwellsche Gleichungen im Vakuum mit elektrischer Permittivität ϵ 0 und magnetische Permeabilität μ 0 sind gegeben als:

∇ ⋅ E → = ρ ϵ 0
∇ ⋅ B → = 0
∇ × E → = − ∂ B → ∂ T
∇ × B → = μ 0 J → + ϵ 0 μ 0 ∂ E → ∂ T

In materiellen Medien ϵ Und μ sind größer oder kleiner als ϵ 0 Und μ 0 und kann davon abhängen X → und sogar von der Polarisationsrichtung.

Auf den ersten Blick scheint mir das alles in Ordnung zu sein. In nichtlinearen Medien jedoch ϵ Und μ darauf ankommen E → Und B → . Für nichtlineare Medien werden die Maxwell-Gleichungen daher oft wie folgt geschrieben:

∇ ⋅ E → = ρ ϵ ( E → , B → )
∇ ⋅ B → = 0
∇ × E → = − ∂ B → ∂ T
∇ × B → = μ ( E → , B → ) J → + ϵ ( E → , B → ) μ ( E → , B → ) ∂ E → ∂ T

(Als weitere Verallgemeinerung ϵ Und μ werden manchmal als Tensoren dargestellt, deren Komponenten Funktionen von sind E → Und B → , aber das ist für die aktuelle Frage nicht wichtig.)

Mein Problem mit der nichtlinearen materiellen Medienversion von Maxwells Gleichungen ist, dass sie anscheinend eine sofortige materielle Reaktion auf Änderungen annimmt E → Und B → , während es scheint, dass jedes physikalisch plausible Material nur in endlicher Zeit reagieren kann. Es wäre so, als würde man sagen, dass die Länge einer Feder proportional zur aufgebrachten Kraft ist – was nur zutrifft, wenn die aufgebrachte Kraft sehr langsam geändert wird. Das heißt, ich erwarte, dass jedes reale Material dynamisch auf Veränderungen reagiert E → Und B → .

Wenn das stimmt, dann scheint es für die Spezifikation von sinnvoller zu sein ϵ Und μ in Form von Differential- oder Integralgleichungen einschließlich Zeit vorliegen. Natürlich würde das die Mathematik sehr verkomplizieren, aber aus physikalischer Sicht wäre es plausibler. Meine Frage: Gibt es eine Form der Maxwell-Gleichungen in nichtlinearen Medien, die die dynamische Reaktion des Mediums berücksichtigt? Eine Folgefrage wäre: "Gibt es eine Lorentz-kovariante Form dieser Gleichungen?"

Die Maxwell-Gleichung berücksichtigt die dynamische Reaktion, indem sie zulässt, dass der Brechungsindex eine komplexe Zahl ist. Dies ermöglicht eine Phasendifferenz zwischen dem externen Feld und der Polarisationsantwort. Dies gilt für lineare und nichtlineare Antworten.
Mein Verständnis ist, dass ein komplexer Brechungsindex die Absorption und Verstärkung von EM-Wellen ermöglicht, die durch das Medium gehen. Ich sehe nicht ein, wie es ausreichen würde, eine allgemeinere Art dynamischer Reaktion zu erklären.
Dem lässt sich schwer widersprechen. Können Sie ein Beispiel geben, wo es scheitern würde?
Fragen Sie, ob ich ein Gegenbeispiel zu der Idee geben kann, dass ein komplexer Brechungsindex die Absorption und Verstärkung von EM-Wellen ermöglicht, die durch das Medium gehen?
Ich denke, ein komplexer Brechungsindex macht die Maxwell-Gleichungen nicht nichtlinear und beschreibt daher keinen Elektromagnetismus in einem nichtlinearen Medium.
Es gibt keinen Grund, warum ein komplexer Brechungsindex nicht vom Feld abhängen kann. Linear oder nichtlinear, ein komplexer Brechungsindex berücksichtigt die Dynamik.
Ok, hier ist ein Gegenbeispiel: Stellen Sie sich ein Medium vor, das aus mikroskopisch kleinen Kästen besteht, die ein leitfähiges, aber hochohmiges Material enthalten, das durch sehr dünnes, vollständig nicht leitfähiges Material getrennt ist. Wenn ein elektrisches Feld über das Medium gelegt wird, erreicht es möglicherweise mehrere Sekunden lang kein Gleichgewicht. Besser noch, lassen Sie das leitfähige Medium eine feldabhängige Leitfähigkeit haben.
Tatsächlich scheint der zweite Satz der MW-Gleichung nicht richtig zu sein. Normalerweise hängt Epsilon vom Raum ab (zumindest an der Grenze) und Sie können es nicht unter der Divergenz herausziehen.

Antworten (2)

Was Sie meinen, ist Zerstreuung. Dispersion ist nicht unbedingt ein nichtlineares Phänomen, sie tritt auch in linearen Medien auf. Darüber hinaus können Sie eine räumliche und zeitliche Streuung haben. Zeitliche Streuung bedeutet, dass die Systemreaktion davon abhängt, was der Stimulus gerade ist und was er früher war. Räumliche Streuung bedeutet, dass Ihre Materialreaktion an Position A davon abhängt, was das Feld an Position tut B ≠ A

Es gibt viele Möglichkeiten, diese Phänomene zu erklären, ich werde nur auflisten, wie es in Dielektrika gemacht wird. Andere Verallgemeinerungen sind ähnlich

In nicht-trivialer Dielektik hätten Sie

∇ . D = 0

∇ . B = 0

∇ × E = − ∂ T B

∇ × B = μ 0 ∂ T D

Jetzt können Sie Ihre gesamte komplexe Materialreaktion in die Verschiebung stecken. Willst du zeitliche Streuung (linearer Fall)? Bitte schön:

D ( T , R ) = ϵ 0 ∫ − ∞ T D T ' ϵ R ( T − T ' , R ) . E ( T ' , R )

Räumliche Streuung (linear)?

D ( T , R ) = ϵ 0 ∫ D 3 R ' ϵ R ( T , R − R ' ) . E ( T , R ' )

Für die nichtlineare Reaktion spielen Sie ähnliche Spiele, aber Sie neigen dazu, die Polarisationsdichte zu verwenden, dh P = D − ϵ 0 E . Nichtlinearität zweiter Ordnung mit zeitlicher Streuung:

P ( T , R ) = ∫ − ∞ T D T ' ∫ − ∞ T D T ″ χ ( 2 ) ( T − T ' , T − T ″ , R ) . E ( T ' , R ) . E ( T ″ , R )

usw. Die meisten Bücher über nichtlineare Optik behandeln dies

PS: ϵ R ist der relative Perimittivitätstensor, χ ( 2 ) ist der Suszeptibilitätstensor zweiter Ordnung.

Eigentlich frage ich ausdrücklich nicht nach Dispersion. Mein Interesse gilt der Beschreibung von Feld-/Material-Nichtlinearitäten auf Lagrange-abgeleitete, kovariante Weise.
Entschuldigung, mein fehler. Nun, können Sie nicht einen ähnlichen Weg gehen, aber anstelle der Polarisation hätten Sie einen asymmetrischen Polarisations-Magnetisierungs-Tensor auf Rang 2, der eine Funktion des elektromagnetischen Tensors ist? Sobald Sie dies getan haben, können Sie untersuchen, wie Sie die Streuung hineinbringen können, aber Sie werden wahrscheinlich mit einer Übertragungsfunktion enden, die sich über die "vergangene" Hälfte des Lichtkegels für den fraglichen Punkt der Raumzeit integriert. Es tut mir leid, dass ich vage bin, aber das ist mir noch nicht begegnet (abgesehen vom Polarisations-Magnetisierungs-Tensor).
Ich habe viel Literatur recherchiert, aber es scheint, dass dieses Thema vielleicht kompliziert genug ist, um die meisten Theoretiker zu entmutigen. Die meisten relevanten Artikel haben einen sehr begrenzten Fokus, wie z. B. nur nichtlineare Permittivität oder sich bewegende Medien oder Gummimagnete mit darin eingebetteten magnetischen Nanopartikeln; und diejenigen, die auf den ersten Blick am relevantesten erscheinen, ignorieren oft Details wie die relativistische Invarianz.
Ich wäre daran interessiert, Literatur über kovariante nichtlineare Optik zu sehen, wenn Sie sie finden. Entwickeln Sie die theoretische Behandlung selbst oder benötigen Sie eine verifizierte Publikation? Wenn es ersteres ist, sollten Sie meiner Meinung nach mit dem Polarisations-Magnetisierungs-Tensor arbeiten, der sich leicht in die Lagrange-Dichte einfügen lässt. Leider habe ich hier keine Erfahrung, um Ratschläge zu geben, auf die ich vertrauen kann, um gut zu sein.
Ich glaube, ich stochere in wenig erforschtem Gebiet herum. Werde gerne teilen, was ich finden kann.
Ich denke, Sie fragen tatsächlich nach Dispersion, denn die Tatsache, dass die Ladungen im Medium Zeit brauchen, um auf auftreffende elektromagnetische Felder zu reagieren, äußert sich tatsächlich als Dispersion! Außerdem zerstören Medien die relativistische Kovarianz der Maxwell-Gleichungen im Vakuum , und daher gibt es keine Lorentz-kovariante Formulierung der Maxwell-Gleichungen in Medien.
@MaxLein Es ist nicht klar, dass die Dispersion eine Polarisation erfordert, um verzögert zu reagieren. Hypothetisch könnte es, selbst wenn es in Phase mit dem elektrischen Feld schwingt, eine Dispersion geben, wenn die (reale) Permittivität frequenzabhängig wäre.
Frequenzabhängigkeit von ε Und μ ist genau äquivalent zu konstitutiven Beziehungen, die Faltungsintegrale in der Zeit sind. Nehmen Sie einfach die Fourier-Transformation in der Zeit: Dann werden direkte Produkte im Frequenzraum zu Faltungen im Zeitbereich. (In ähnlicher Weise führt Nicht-Lokalität im Realraum zu Lokalität im Impulsraum.)
@S.McGrew Ich denke, das kann man nicht (leicht) machen. Wenn Sie die Energie aus der Maxwells-Gleichung (Poynting-Theorem) ableiten, erhalten Sie ein Integral von EdD + HdB in Abhängigkeit von der vollständigen Historie der Konfiguration. Nur für lineare Medien reduziert sich dies auf das „normale“ Integral ED+HB. Da der Lagrangian in gewissem Sinne die legendäre Transformation der Energie ist, haben Sie am Ende das gleiche Problem. Persönlich denke ich, dass die Verwendung von D und H, obwohl es schön aussieht, nicht der richtige Weg ist, um über diese Probleme für nichtlineare Medien nachzudenken, sondern eine Mittelung (mikroskopisch bis makro) für jede einzelne Konfiguration / Einrichtung zu verwenden.

Gibt es eine Form der Maxwell-Gleichungen in nichtlinearen Medien, die die dynamische Reaktion des Mediums berücksichtigt?

Ja, das gibt es, aber es wird Sie wahrscheinlich nicht zufrieden stellen. Die allgemeine Form ist die gleiche wie die üblichen Maxwell-Gleichungen für Felder bei bekannter Ladungs- und Stromverteilung im Vakuum. Das Einzige, was sich durch das materielle Medium ändern soll, sind die Verteilungen ρ , J einen anderen Beitrag aufgrund materiellen Mediums haben.

Solche Maxwell-Gleichungen sind kein vollständiges System von Differentialgleichungen, sondern ein unterspezifiziertes System, sodass einige andere Annahmen eingeführt und verwendet werden müssen, um Ladungs- und Stromverteilungen auf der einen Seite und EM-Felder auf der anderen Seite in Beziehung zu setzen.

Diese Annahmen variieren je nach physikalischer Situation wie statischer dielektrischer Polarisation ( P ausreichend), statische ferromagnetische Magnetisierung ( M Und J F R e e reicht aus) oder hochfrequente dissipative EM-Wellenausbreitung (man arbeitet besser mit einem mikroskopischen Modell und ρ , J direkt). Sie hängen auch von der Qualität des materiellen Mediums ab, von dem es viele Arten gibt. Es gibt keine allgemeine Formulierung der EM-Theorie des materiellen Mediums, die ein geschlossenes Gleichungssystem liefern würde.

Das habe ich schon vermutet. Gibt es spezifische konzeptionelle oder mathematische Schwierigkeiten, die eine solche Formulierung verhindert haben? Wenn ja, kennen Sie Abhandlungen, in denen die Schwierigkeiten diskutiert werden?
@S.McGrew Ladung und Stromverteilung in makroskopischer Materie hängen davon ab, was eine sehr hohe Anzahl von Bestandteilspartikeln tut. Um eine Formulierung der Art zu erhalten, die Sie suchen, müsste es eine universelle Vereinfachung einer großen Anzahl mikroskopischer Variablen in wenige makroskopische Variablen geben. Niemand hat dafür einen universellen Weg gefunden, es gibt nur situationsangepasste Formulierungen von begrenzter Gültigkeit, wie in meiner Antwort beschrieben. Es gibt Abhandlungen und Bücher über Ableitungen der makroskopischen EM-Theorie aus mikroskopischen Modellen, klassischen und quantentheoretischen.
Dies wurde von niederländischen Physikern ausführlich untersucht, siehe zum Beispiel SR de Groot, J. Vlieger, Derivation of Maxwell's equations: The statistics of the macroscopic equations , Physica 31, 254-268 doi.org/10.1119/1.1976000
@JánLalinský Danke für den Hinweis. Das allgemeine Grobkörnungsverfahren gehört in jedes gute Lehrbuch (z. B. in Kapitel 6.6 von Jacksons Classical Electrodynamics).
Maxwellsche Gleichungen, nichtlineare Medien und dynamische Reaktion
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v