Möglicher Tippfehler in Schwartz's QFT, p. 629

Ich versuche herauszufinden, ob dies mein eigenes Missverständnis oder ein Tippfehler in Schwartz' QFT-Buch ist. Jede Hilfe oder Feedback geschätzt.

Schwartz spricht über chirale Anomalien aus dem Integralmaß. Die Transformation der Felder ist:

$$\psi \to e^{i \beta(x) \gamma_5} \psi$$

Transformationen messen als:

$$\int {\cal{D}}\psi {\cal{D}} \overline{\psi} \to \int \frac{1}{|{\cal{J}}|^2} {\cal{D}}\psi {\cal{D}} \overline{\psi}$$

Verwenden${\cal{J}} = \det \Delta = \exp tr \ln \Delta$, erhalten wir in (30.60):

$${\cal{J}} = \exp\left(i \int d^4x \, \beta(x) Tr\left[\gamma_5\right] \right)$$

Nun sagt Schwartz, dass dies zu verschwinden scheint, und daher wird das Maß singulär.

Ist nicht das einzige, was in dieser Formel verschwindet$Tr\left[\gamma_5 \right]$? Wenn dies der Fall ist - sollte nicht$\cal{J}$gleich 1 sein?

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Weinbergs Behandlung ist etwas anders und enthält möglicherweise auch einen Fehler (obwohl ich mir auch hier nicht sicher bin) :

$$\frac{1}{|{\cal{J}}|^2} = \exp \left\{ i \int d^4x \, \alpha(x) {\cal{A}}(x) \right\}$$

$${\cal{A}}(x) = -2 Tr \left\{ \gamma_5 \right\} \delta^4(x - x)$$

Nach meinem Verständnis$\delta^4(x - x)$sollte eigentlich nicht da sein. Zum Beispiel gegeben${\cal{U}} = \alpha(x)$Die Spur muss sein:

$$Tr \left\{ {\cal{U}} \right\} = \int d^4x \, \alpha(x)$$

Gibt es auch einen Fehler?

Update Nachdem ich ein bisschen darüber nachgedacht habe, sehe ich, dass Weinberg (wie immer) Recht hat. Bei dieser Art von Spur muss von der Delta-Funktion unendlich kommen, z. B. Transformation wie:

$$\psi \to 2 \psi$$

Sollte unendliche Jacobi haben, da wir das Feld an jedem Punkt der Raumzeit multiplizieren.