Eine Anomalie ist eine Symmetrie der klassischen Aktion, die aufgrund der Nichtinvarianz des Pfadintegralmaßes keine Symmetrie des Pfadintegrals ist. Kommt es jemals vor, dass das Gegenteil passiert, dass also die klassische Wirkung keine Symmetrie besitzt, aber die kombinierte Transformation von Wirkung und Maß das Wegintegral invariant lässt? Gibt es einen Namen für eine solche Symmetrie der Quantentheorie, die es in der klassischen Theorie nicht gibt?
Die folgende Situation ist nicht ungewöhnlich: Klassischerweise kann eine Symmetrie (spontan) gebrochen werden, aber quantenmechanisch wird die Symmetrie wiederhergestellt. Anders ausgedrückt: Quantenfluktuationen können unter bestimmten, gut verstandenen Bedingungen die klassische Asymmetrie ("Ordnung") zerstören. Das einfachste Beispiel ist wohl das eindimensionale Doppeltopfpotential, symmetrisch um den Ursprung zentriert, mit Minima bei . Diese Minima stellen zwei – klassisch entartete – Grundzustände dar: Ein Teilchen, das von der zentralen Spitze abrutscht, landet entweder am linken oder am rechten Boden des Brunnens und ruht dort schließlich, wenn seine kinetische Energie weg ist. Also, die diskrete Reflexionssymmetrie, , der klassischen Wirkung (oder des Potentials) wird durch den Grundzustand minimaler Energie verletzt ("spontan gebrochen").
Quantenmechanisch wird die Symmetrie jedoch durch Tunneln wiederhergestellt: Quantenfluktuationen (um die Instantonen herum, die die klassischen Lösungen darstellen, die die Minima verbinden) erzeugen zwei tief liegende Zustände. Ihre Niveauaufspaltung kann unter Verwendung eines quantenmechanischen Pfadintegrals berechnet werden und ist durch die Fluktuationsdeterminante gegeben, die sich aus der Annäherung an die stationäre Phase (oder WKLB) ergibt. Eine schöne Darstellung findet sich in Colemans Buch Aspects of Symmetry , Kap. 7.
Die ganze Geschichte hat Verzweigungen in höheren Dimensionen. Eine kontinuierliche (eher als eine diskrete) Symmetrie kann nicht spontan in zwei Dimensionen gebrochen werden, da wiederum Quantenfluktuationen dominieren (oft als Mermin-Wagner-Coleman-Theorem bezeichnet). All dies kann in der Sprache der statistischen Feldtheorie umformuliert werden (Anwesenheit oder Abwesenheit von Phasenübergängen). Aber die allgemeine Idee ist wirklich, dass Quantenfluktuationen, wenn sie stark genug sind, die klassische Asymmetrie "auslöschen" und somit die Symmetrie wiederherstellen können.
Bitte beachten Sie, dass die klassische Asymmetrie nur eine des Grundzustands ist – die Wirkung selbst bleibt symmetrisch. Das ist das Hauptmerkmal der spontanen Symmetriebrechung.
Valter Moretti
asperanz
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