Weinberg Band II: Abelsche Anomaliefunktion

Das Folgende ist von Seite 363 von Weinberg Band II.

Wir möchten die RHS von auswerten

$$\begin{align}\label{EQbbvbv} [d \psi][d \bar{\psi}] \rightarrow(\operatorname{Det} \mathscr{U} \operatorname{Det} \overline{\mathscr{U}})^{-1}[d \psi][d \bar{\psi}], \end{align}$$

um die Auswirkung auf das Maß einer Änderung von Pfadintegrationsvariablen zu finden, die einer lokalen Matrixtransformation entsprechen$\begin{align} \psi(x) \rightarrow U(x) \psi(x) \end{align}$. Wir definieren

$$\begin{align}\notag \mathscr{U}_{x n, y m} &:=U(x)_{n m} \delta^{4}(x-y), \text{ and}\\\label{EQdwdf22vfr} %% %% \bar{\mathscr{U}}_{x n, y m} &:=\left[\gamma_{4} U(x)^{\dagger} \gamma_{4}\right]_{n m} \delta^{4}(x-y), \end{align}$$ Wo$\gamma_{4} := i \gamma^{0}$wird beim Definieren verwendet$\bar{\psi}=\psi^{\dagger} \gamma_{4}$.

Beachten Sie auch, dass die Indizes$n,m$Geschmacksetiketten und Dirac-Spin-Indizes überfahren.

Lass uns in Erwägung ziehen$\alpha(x)$in der Transformation eine infinitesimale Skalarfunktion sein

$$\begin{align}\label{EQmnmmb4} U(x)=\exp \left[i \gamma_{5} \alpha(x) t\right] \end{align}$$ Wo$t$ist eine allgemeine hermitesche Matrix.

Beachten Sie, dass Weinberg die Berechnung ab hier weglässt, daher sind die folgenden 3 Gleichungen meine eigene Arbeit.

Da die Taylor-Entwicklung des Exponentials in diesem Fall vernachlässigbare Beiträge von Ordnungsbedingungen hat, die größer als eins sind$\alpha$, das bekommt man

$$\begin{align} [\mathscr{U}-1]_{n x, m y}=i \alpha(x)[\gamma _5 t]_{n m} \delta^{4}(x-y). \end{align}$$ Deshalb, $$\begin{align} \operatorname{Det} \mathscr{U} &= \exp{\text{Tr} \ln \{1+i \alpha(x)\left[\gamma_{5} t\right]_{n m} \delta^{4}(x-y)\}}\\ %% %% &= \exp{\, i \alpha(x)\text{Tr}\{\gamma_{5} t\} \delta^{4}(x-y)}, \end{align}$$ wobei wir die Identität für die Determinante einer Matrix verwendet haben$M$,$\operatorname{Det} M=\exp \operatorname{Tr} \ln M$, und das$\ln (1+x)\rightarrow x$als$x\rightarrow 0.$Aber seit$\mathscr U$ist pseudo-hermitesch,$(\begin{align} \overline{\mathscr{U}}=\mathscr{U} \end{align})$wir haben

$$\begin{align} [d \psi][d \bar{\psi}] \rightarrow(\operatorname{Det} \mathscr{U})^{-2}[d \psi][d \bar{\psi}]. \end{align}$$

Weinberg behauptet nun, dass sich das Maß unter dieser Transformation so ändert

$$\begin{align}\label{EQnmnnghr3} [d \psi][d \bar{\psi}] \rightarrow \exp \left\{i \int d^{4} x \alpha(x) \mathscr{A}(x)\right\}[d \psi][d \bar{\psi}], \end{align}$$ wo wir die Anomaliefunktion definieren $$\begin{align}\label{EQvccvezz33r43} \mathscr{A}(x)=-2 \operatorname{Tr}\left\{\gamma_{5} t\right\} \delta^{4}(x-x). \end{align}$$ Wir verwenden „Tr“, um eine Spur zu bezeichnen, die über Dirac- und Artenindizes genommen werden soll.

Frage 1 : Woher kommt die$\delta^{4}(x-x)$kommt von? Ich sehe keinen Grund, warum sich das Argument der Delta-Funktion in den von mir durchgeführten Berechnungen ändern könnte.

Frage 2 : Wo endet das Integral?$d^4 x$kommt aus in der vorletzten Gleichung? Wenn wir mit der Jacobi-Zahl wie auf der rechten Seite der ersten Gleichung arbeiten, sehe ich nicht, wie ein Integral auftauchen könnte.

Frage 3 : Das ist definitiv eine eher triviale Frage, die mir aber noch nie begegnet ist$\gamma^4$vorher ... Ich bin an die Definition gewöhnt$\bar{\psi}=\psi^{\dagger} \gamma_{0}$. Dies ist wahrscheinlich nur eine andere Darstellung der Spinoren. Wenn ja, könnte ich bitte einen Namen dafür bekommen? Ich kann es nicht finden. Letzte triviale Frage: Was ist ein Artenindex?