Quantenanomalien und Quantensymmetrien

In den Quantenfeldtheorien (QFT) gibt es ein bekanntes Phänomen der Anomalien, bei denen eine klassische Symmetrie in der Quantentheorie aufgrund einer sogenannten Anomalie gebrochen wird . Diese Symmetriebrechung kann in der Wegintegralformulierung als Ergebnis der Nichtinvarianz des Funktionsmaßes unter der klassischen Symmetrietransformation verstanden werden. Obwohl die Aktion selbst invariant ist, ist das funktionale Maß möglicherweise nicht invariant, und daher wäre das Pfadintegral in diesem Fall auch nicht invariant. Weitere Informationen finden Sie in Wikipedia .

Meine Frage ist: Ist es möglich, dass die Aktion nicht invariant wäre und das Maß auch nicht, aber das Pfadintegral? Das heißt, die fehlende Invarianz der Wirkung und des Maßes würden sich gegenseitig aufheben, um ein invariantes Pfadintegral zu bilden, und zwar derart, dass sich in der Quantentheorie eine Symmetrie ergeben würde, nicht aber in der klassischen.

Ich würde vermuten, dass es nicht möglich ist, aber gibt es einen Beweis?

Ich glaube, ich habe einen Vorschlag für einen Beweis - damit die Theorie unter der vorgeschlagenen Transformation invariant ist, müssen alle Korrelationsfunktionen der Symmetrie gehorchen. Indem Sie diese Korrelationsfunktionen mit der Ableitung der Partitionsfunktion in Beziehung setzen, erhalten Sie daher viele Ableitungen der Aktion. Diese Ableitungen müssen unter der Symmetrie invariant sein, und daher würden Sie erwarten, dass die Aktion selbst auch invariant ist, wenn alle Ableitungen invariant sind.
Sofern die Aktion nicht analytisch ist, liegt eine Kontraktion vor. Vielleicht könnten Sie Ihren Beweis als Antwort schreiben, und wir könnten sehen, ob es Sinn macht oder nicht.
@Adam - wird reichen.
Wenn ich darüber nachdenke, denke ich, dass mein "Beweis" fehlerhaft ist, weil Sie beim Erhalten der Korrelationsfunktionen die funktionalen Ableitungen in Bezug auf eine Hilfsfunktion nehmen. Die Tatsache, dass diese Ableitungen verschwinden sollten, reicht an sich nicht aus, da diese Ableitungen das Verhalten der Ableitungen in Bezug auf die Felder selbst nicht kapseln, was mich interessieren sollte.
In einigen Situationen kann eine Quantenanomalie durch eine klassische Anomalie aufgehoben werden (dh von der Aktion kommend). Ein Beispiel ist eine Chern-Simons-Theorie über eine Mannigfaltigkeit mit einer Grenze, wobei chirale Fermionen an der Grenze leben. Wenn ich mich richtig erinnere, gibt es auch Situationen, in denen eine Quantenanomalie in einer Beschreibung des Systems, etwa in der UV-Theorie, durch eine klassische Anomalie in der IR-Beschreibung reproduziert wird.
Siehe z. B. Globale Aspekte der aktuellen Algebra von Witten, Nucl Phys B 223, 422

Antworten (2)

Kommentare zur Frage (v2):

  1. Traditionell die klassische Aktion S sitzt im Boltzmann-Faktor exp ⁡ [ ich ℏ S ] hinter einer inversen Potenz von ℏ im Wegintegral , während das Wegintegralmaß unabhängig davon ist ℏ . In der konventionellen Zählweise sagen wir, dass der Jacobi J aus dem Wegintegralmaß ist ein Einschleifeneffekt proportional ℏ , während die Variation der klassischen Aktion S ist Baumebene, dh unabhängig von ℏ . Wie auch immer, das Ergebnis ist, dass in einer gewöhnlichen Umgebung die beiden Variationen unterschiedlich tragen ℏ -Bestellungen und können nicht stornieren.

  2. Grundsätzlich kann man jedoch eine Quantenwirkung einführen

    (EIN) W ( ℏ )   =   S + ∑ n = 1 ∞ ℏ n M n   =   S + ℏ M 1 + Ö ( ℏ 2 )
    mit Quantentermen. Dann wird der Boltzmann-Faktor
    (B) exp ⁡ [ ich ℏ W ]   =   exp ⁡ [ ich ℏ S ] e ich M 1 ( 1 + Ö ( ℏ ) ) ,
    damit eine Kündigung formell zwischen dem erfolgen kann M 1 -Aktionsfaktor und das Wegintegralmaß.

  3. Es scheint angebracht zu erwähnen, dass eine solche Auslöschung die Hauptidee hinter der Quanten-Master-Gleichung (QME) ist.

    (QME) 1 2 ( W , W )   =   ich ℏ Δ W
    im Batalin-Vilkovisky-Formalismus . Die linke. und rechts. des obigen QME sind mit der Aktion bzw. Jacobi verbunden, was zu einer (verallgemeinerten) BRST-Symmetrie des Pfadintegrals führt.

  4. In der Praxis in einem lokalen QFT hat der BV-Operator (alias der ungerade Laplace-Operator) jedoch Δ ist singuläres Objekt. Die QME ist typischerweise nur dann erfüllt, wenn beide Seiten der QME separat Null sind, dh sich in praktischen Anwendungen der Aktions- und der Taktanteil separat auslöschen.

Verweise:

  1. IA Batalin & GA Vilkovisky, Eichalgebra und Quantisierung, Phys. Lette. B 102 (1981) 27–31.

  2. W. Troost, P. van Nieuwenhuizen & A. Van Proeyen, Anomalies and the Batalin-Vilkovisky lagrangeian formalism, Nucl. Phys. B333 (1990) 727 .

  3. nLab .

1. Ich weiß, dass die Variation des Maßes einen One-Loop-Effekt ergibt, aber die Variation der Aktion trägt zu allen Loops bei, nicht nur zur Baumebene. Ich meine, eine Variation der Aktion würde über Propagatoren, die von der Aktion induziert werden, zu allen Schleifen beitragen. Die Beiträge der höheren Schleifen werden aus der Aktion induziert. Das klassische Bild wird aus der Aktion über die Diagramme auf Baumebene induziert, aber auch die Schleifendiagramme werden aus der Aktion induziert. Vielleicht meinen Sie, dass es eine Variation auf Baumebene gibt, die nicht durch die Maßvariation entfernt werden kann - das kann ich akzeptieren.
Ich denke, wir können Ihren ersten Kommentar einfacher umformulieren: Die Taktvariation ist unabhängig von ℏ während die Aktion eine hat ℏ Koeffizient, sie können sich also nicht gegenseitig aufheben.
Ich denke, die Kommentare 2, 3 und 4 sind nur verwirrend, und 1 ist eine gute Antwort für sich.
Ich habe die Antwort aktualisiert.

Es gibt einen einfachen Beweis dafür, dass die Stornierung unmöglich ist (zumindest es sei denn, Sie sind bereit, dem klassischen einen proportionalen Begriff hinzuzufügen ℏ ), formuliere ich eine Antwort von @Qmechanic in einer einfacheren Sprache um:

Die Anomalie oder die Maßvariation, die die typische Quelle der Anomalie ist, trägt einen Term bei, der davon unabhängig ist ℏ , während jede Variation der Aktion mit a kommt 1 ℏ Koeffizient. Daher können sie sich einfach nicht gegenseitig aufheben.

Quantenanomalien und Quantensymmetrien
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