Nennen Sie diesen multivariablen Kalkül Theorem

Das Ergebnis wird manchmal als Lemma von Flandern bezeichnet .

Der bemerkenswerte Punkt ist, dass es das nicht braucht$f$ist analytisch, aber genau das ist es$C^\infty$. Es stützt sich also nicht auf die Taylor-Reihe, wie es auf den ersten Blick scheinen könnte, da diese Reihe möglicherweise nicht konvergiert.

Es funktioniert in jeder offenen sternförmigen Nachbarschaft von Punkten in$\mathbb R^n$. Ein Satz$A\subset \mathbb R^n$soll in Bezug auf sternförmig sein$p \in A$wenn$q\in A$die Segmentverbindung$p$Und$q$vollständig enthalten ist$A$. Beispielsweise ist eine konvexe Menge in Bezug auf jeden zu ihr gehörenden Punkt sternförmig.

Satz . Lassen$A\subset \mathbb R^n$bzgl. offen und sternförmig sein$p\in A$. Betrachten Sie a$C^\infty$Funktion$f: A \to \mathbb R$. Dann gibt es$n$Funktionen$H_k=H_k(q)$mit$H_k \in C^\infty(A)$so dass:

Und

NACHWEISEN. Halten$q\in A$fest und betrachte die glatte Funktion

Die Ableitung im letzten Integral kann als Ableitung einer zusammengesetzten Funktion berechnet werden, wobei man erhält:

Schließlich nur durch die Definition von$H_k$findet man sofort:

QED

Als letzte Bemerkung bemerke ich, dass der Beweis auch dann gilt, wenn$f \in C^k(A)$mit$1\leq k <+\infty$. In diesem Fall die Funktionen$H_k$erweisen sich als$C^{k-1}$, überprüft aber die verbleibenden Eigenschaften.

Es ist die Taylorentwicklung um einen Punkt herum$a$einer multivariablen Funktion wo$H_{\mu}$ist ähnlich wie die hessische Matrix, aber für Ordnung 1. Sie können sie in Vector Calculus von Marsden, Tomba finden oder einfach googeln. Diese Darstellung wird mit der Einstein-Summe geschrieben

Beginnen wir mit dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung für$n=1$:

$F(x) - F(a) = \int_{a}^{x} F'(s)ds$

Verwenden Sie nun die Substitution$s=t(x-a)+a$. Das ist weil$s$skaliert das Intervall neu$[a,x]$Zu$[0,1]$. Dann$ds = dt(x-a)$, dann erhalten wir:

$F(x) - F(a) = (x-a)\int_{0}^{1} F'(t(x-a)+a)dt$,

und dies beweist$n =1$.

Definieren Sie nun einen Vektor

$y^{\mu} = t(x^{\mu} -a^{\mu})$

Dann nach der Kettenregel:

$\frac{dF}{dt} = \sum_{\mu} \frac{\partial F}{\partial y^{\mu}} \frac{d y^{\mu}}{dt} = \sum_{\mu}F'(x^{\mu} -a^{\mu})$

Und

$F(x) - F(a) = \int_{0}^{1}\frac{dF}{dt}dt = \int_{0}^{1} \sum_{\mu}F'(x^{\mu} -a^{\mu})dt = \sum_{\mu}(x^{\mu} -a^{\mu}) \int_{0}^{1}F'(t) = \sum_{\mu}(x^{\mu} -a^{\mu})H_{\mu}$

Wo$H_{\mu} = \int_{0}^{1}F'(t)$

was das gewünschte Ergebnis liefert