Neutrino-Modellierung in der Friedmann-Gleichung

Question

Neutrino-Modellierung in der Friedmann-Gleichung

Kosmos
Einheiten
Python
Kosmologie
Neutrinos

Robin Dillon

Ich versuche, Neutrinos in der Friedmann-Gleichung zu modellieren. Ich habe den Fall des Benchmark-Modells behandelt, wo wir Materie, Strahlung, Krümmung und die kosmologische Konstante Lambda haben. Ich weiß, dass meine Codierung der Friedmann-Gleichung funktioniert, weil ich die richtigen Diagramme bei verschiedenen Parametern erhalte, wie Sie unten im Anhang sehen werden.

Einschließlich Neutrinos wird die Friedmann-Gleichung

\begin{array}{rcl} H (z)^{2} & = & H_{0}^{2} [(Ω_{C} + Ω_{B}) (1 + z)^{3} + Ω_{γ} (1 + z)^{4} \\ + & Ω_{D E} (1 + z)^{3 (1 + w)} + Ω_{k} (1 + z)^{2} + \frac{ρ_{v, T Ö T} (z)}{ρ_{C R ich T, 0}}] . \end{array}

$\begin{eqnarray} H(z)^2 & = & H_0^2 \Big[ (\Omega_c + \Omega_b) ( 1 + z)^3 + \Omega_\gamma ( 1 + z) ^4 \\ & + & \Omega_{DE} ( 1 + z)^{3(1+w)} + \Omega_k ( 1 + z) ^2 + \frac{\rho_{\nu, tot}(z)}{\rho_{crit,0}} \Big]. \end{eqnarray}$

Um die Energiedichte als Funktion des Skalierungsfaktors (oder der Rotverschiebung) aufzulösen, können wir die Energiedichte durch den folgenden Ausdruck für die Energiedichte einer einzelnen Neutrino-Spezies auflösen:

ρ_{v} (T_{v}) = \frac{G}{(2 π)^{3}} \int \frac{\sqrt{P^{2} + M^{2}}}{e^{P / T_{v}} + 1} D^{3} P .

$\rho_\nu (T_\nu) = \frac{g}{(2\pi)^3} \int \frac{\sqrt{p^2 + m^2}}{e^{p/T_\nu} + 1} d^3 p.$

Entscheidend ist die Energiedichte $4870$ Mev/m $^3$ . Die Energiedichte der einzelnen Spezies kann als Funktion des Skalierungsfaktors geschrieben werden, indem die Temperatur als Funktion des Skalierungsfaktors geschrieben wird. $T$ ist einfach der unten gezeigte Ausdruck geteilt durch a:

In Gleichung 17 können wir schreiben $d^3p$ als $4\pi p^2 dp$ Und $g=2$ für eine Neutrino-Spezies. Eine weitere bemerkenswerte Sache ist, dass (17) in natürlichen Einheiten wo geschrieben wird $c = h = k = 1$ . Ich habe versucht, die Einheiten zu fixieren, und egal was ich tue, der Dichteparameter der Neutrino-Spezies ist immer sehr klein (Größenordnung von $10^{-9}$ ), wobei er zwischen 0,0013 und 0,007 liegen sollte, von Ryden, Einführung in die Kosmologie-Gleichung (7.54).

Ich hatte wirklich gehofft, dass mir jemand bei der Einheitenumrechnung von den natürlichen Einheiten in die richtigen Einheiten helfen kann. Alles andere, was ich herausgefunden habe, kann ich einfach nicht scheinen, um die Einheiten für Gleichung (17) festzulegen.

Ohne Neutrinos erhalte ich das folgende Diagramm, das aus verschiedenen Universumsmodellen besteht, und sie sind korrekt, sodass die Codierung nicht das Problem ist. Das Problem ist die Einheitenumrechnung in richtige SI-Einheiten von (17).

Sobald ich die Neutrinos herausgefunden habe, möchte ich sehen, wie sie die Universumsmodelle beeinflussen. Jede Hilfe wird sehr geschätzt!

ProfRob

Was ist Gleichung (17)? Was hast du selbst gemacht? Ich kann nicht sehen, welche Antwort Sie erwarten. Ihre Gleichung beinhaltet das Verhältnis der NeutrIno-Dichte zur kritischen Dichte, also ist sie einheitenlos und es spielt keine Rolle, welche Einheiten Sie verwenden, solange sie konsistent sind. Welchen Wert von

m

$m$ du benutzt. Wie hast du das Integral gemacht?

Robin Dillon

Entschuldigung, Gleichung 17 ist diejenige für die Energiedichte der einzelnen Neutrino-Spezies; es hat aus irgendeinem Grund abgeschnitten. Für die Werte von m wissen wir, dass es eine Einschränkung für die Summe der Neutrinomassen gibt, die ungefähr 0,06 eV/c^2 beträgt. Nur zur Überprüfung gehe ich davon aus, dass die Masse für eine einzelne Neutrino-Spezies 0,02 eV / c ^ 2 beträgt. Ich stimme Ihrer Aussage zu, dass das Verhältnis einheitenlos ist. Ich bin mir jedoch nicht sicher, was die Einheiten von (17) sind. Da sie natürliche Einheiten verwendeten, setzten sie c=h=k=1, sodass die Einheiten im Verhältnis nicht konsistent sind. Ich bin noch nie auf natürliche Einheiten gestoßen, daher weiß ich nicht, wie ich (17) so beheben kann, dass wir MeV / m ^ 3 haben.

seVenVo1d

@RobinDhillon Nimm alles in den gleichen Einheiten wie eV.

Antworten (1)

Neutrino-Modellierung in der Friedmann-Gleichung

Was ist Gleichung (17)? Was hast du selbst gemacht? Ich kann nicht sehen, welche Antwort Sie erwarten. Ihre Gleichung beinhaltet das Verhältnis der NeutrIno-Dichte zur kritischen Dichte, also ist sie einheitenlos und es spielt keine Rolle, welche Einheiten Sie verwenden, solange sie konsistent sind. Welchen Wert von $m$ du benutzt. Wie hast du das Integral gemacht?
Entschuldigung, Gleichung 17 ist diejenige für die Energiedichte der einzelnen Neutrino-Spezies; es hat aus irgendeinem Grund abgeschnitten. Für die Werte von m wissen wir, dass es eine Einschränkung für die Summe der Neutrinomassen gibt, die ungefähr 0,06 eV/c^2 beträgt. Nur zur Überprüfung gehe ich davon aus, dass die Masse für eine einzelne Neutrino-Spezies 0,02 eV / c ^ 2 beträgt. Ich stimme Ihrer Aussage zu, dass das Verhältnis einheitenlos ist. Ich bin mir jedoch nicht sicher, was die Einheiten von (17) sind. Da sie natürliche Einheiten verwendeten, setzten sie c=h=k=1, sodass die Einheiten im Verhältnis nicht konsistent sind. Ich bin noch nie auf natürliche Einheiten gestoßen, daher weiß ich nicht, wie ich (17) so beheben kann, dass wir MeV / m ^ 3 haben.

ProfRob · Answer 1

Die Energiedichte eines Fermi-Gases ist

ρ_{v} = \int ρ (P) D P = \int E (P) F (P) G (P) D P

$\rho_{\nu}= \int \rho(p)\ dp = \int E(p)F(p)g(p)\ dp$

ρ_{v} = \int (\sqrt{P^{2} C^{2} + M^{2} C^{4}}) {(\exp (E / k_{B} T) + 1)}^{- 1} (G_{S} 4 π P^{2} / H^{3}) D P

$\rho_{\nu} = \int \left(\sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}\right)\left(\exp (E/k_BT) + 1\right)^{-1} \left(g_s 4\pi p^2/h^3\right)\ dp$ in Energieeinheiten pro Volumeneinheit.

Vor der Neutrino-Entkopplung bei $k_B T \sim 1$ MeV, die Neutrinos sind mit ultrarelativistisch $pc \gg m_{\nu}c^2$ . Nach der Entkopplung ist die Form der Besetzungsindexfunktion $F(p)$ ändert sich nicht - so $F(p) = \left(pc/k_BT_{\nu} +1\right)^{-1}$ in der späteren Evolution.

Daher

ρ_{v} = \frac{G_{S} C}{H^{3}} \int \frac{\sqrt{P^{2} + M_{v}^{2} C^{2}}}{\exp (P C / k_{B} T_{v}) + 1} 4 π P^{2} D P

$\rho_{\nu} = \frac{g_s c}{h^3} \int \frac{ \sqrt{p^2 + m_{\nu}^2c^2}} {\exp(pc/k_BT_{\nu}) +1}\ 4\pi p^2\ dp$

Ich verstehe nicht, wo du bist $(2\pi)^3$ herkommt, außer darauf hinzuweisen, dass das Einheitensystem tatsächlich so ist $\hbar = 1$ .

Neutrino-Modellierung in der Friedmann-Gleichung

Robin Dillon

ProfRob

Robin Dillon

seVenVo1d

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ProfRob

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